Egy fontos függvény improprius integrálja

Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az

\( f(x) = \frac{1}{x^{\alpha} } \)

függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk és 1-től végtelenig is.

Ha 0-tól 1-ig integrálunk:

\( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha} } \; dx = \begin{cases} \frac{1}{-\alpha + 1} \; \text{ha} \; \alpha < 1 \\ \infty \; \text{ha} \; \alpha \geq 1 \end{cases} \)

Ha 1 és végtelen között integrálunk:

\( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha} } \; dx = \begin{cases} \frac{1}{\alpha - 1} \; \text{ha} \; \alpha > 1 \\ \infty \; \text{ha} \; \alpha \leq 1 \end{cases} \)