Határozatlan és határozott integrálás

Itt az ideje, hogy megismerkedjünk az integrálással. Rögtön kétfélével is, a határozott és a határozatlan integrálással.

A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.

Van itt egy függvény

aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.

A határozatlan integrálás egészen máshogy működik.

Azért nevezzük határozatlannak, mert itt nincsenek a és b határai az integrálásnak, csak úgy egyszerűen integrálgatunk:

f(x) határozatlan integrálja egy függvény, amit primitív függvénynek neveztek el.

A primitív függvény jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et.

Ez a határozatlan integrálás tulajdonképpen nem más, mint a deriválás megfordítása.

Emiatt úgy is szokás emlegetni, mint antideriválás.

Lássunk néhány példát.

Itt van mondjuk ez:

Egy olyan függvényre van szükségünk, aminek a deriváltja 2x.

Ilyen függvény van, mégpedig az

Itt jön egy másik:

Olyan függvény is van, aminek deriváltja

Ha még emlékszünk rá

Ha valaki tudja, hogy mi az az abszolútérték, akkor nem fogja nagyon felzaklatni a hír, hogy az még kell ide. Ez amiatt van, mert az

függvényt negatív x-ekre is szeretnénk integrálni.

lnx viszont csak a pozitív x-eket szereti és ezt a kis problémát oldja meg az abszolútérték,

de elég annyit megjegyezni, hogy

Végül lássunk még egyet:

Mit kell deriválni vajon, hogy x2-et kapjunk?

Ez majdnem jó, csak el kell osztani 3-mal.

És még egy dolog. Ha deriváljuk az x2-et az persze 2x, de

Vagyis x2 után állhat tetszőleges konstans.

Sőt itt is, meg itt is.

Most pedig lássuk, mi a kapcsolat a határozott és a határozatlan integrálás között.

A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele.

Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

Ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor

ez itt azt jelenti, hogy a primitív függvény megváltozása, vagyis először be kell helyettesíteni a b-t, aztán pedig kivonni belőle, hogy behelyettesítjük az a-t

Próbáljuk is ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.

Itt jön a primitív függvény, aminek vennünk kell a megváltozását 0-tól 1-ig.

Probléma akkor van, ha nem jut eszünkbe a primitív függvény.

Számoljuk ki például az

görbe alatti területét 0 és 1 között.

Addig semmi gond, hogy felírjuk mit kéne integrálni.

Az viszont már baj, hogy fogalmunk sincs, mi lehet a primitív függvény.

A problémát tehát a primitív függvények keresése vagyis a határozatlan integrálás fogja okozni.

Vagyis itt az ideje, hogy fejlesszük ezt a képességünket.

Az igény ugyanakkor egyre nagyobb volt arra, hogy a bonyolult fizikai folyamatokat képesek legyenek leírni, csak éppen az nem volt világos, hogyan. Az 1700-as évek elejéig kellett várni erre, amikor nyilvánosan is megjelent egy angol fizikus-matematikus fluxió elmélete, amely alapjaiban változtatta meg a fizika és a matematika működését. Az illetőt Isaac Newtonnak hívták és elméletét már az 1660-as években kidolgozta, de akkor még nem érezte teljesen késznek a megjelentetésre, ugyanis voltak benne bizonyos definiálásból eredő pontatlanságok. Nos, ezeket a kisebb pontatlanságokat csak 100 évvel később, az 1800-as évek elejére sikerült kiiktatnia Augustin Louis Cauchy francia mérnök-matematikusnak, így aztán utólag megállapíthatjuk, Newton akár azon nyomban is előállhatott volna elméletével, ezzel megkímélve magát egy felesleges hiúsági versenytől, amelyet a kor másik hatalmas gondolkodójával Gottfried Wilhelm Leibniz-cel vívott.

A dolog ugyanis úgy áll, hogy Newton és Leibniz lényegében egyszerre jött rá egymástól függetlenül és más-más okok által motiválva ugyanarra a dologra. Míg Newtont a fizikai világ matematikai leírása vezérelte, addig Leibniz – aki inkább volt filozófus, mint matematikus – egészen más irányból közelített a problémához. Newton egy módszert fejlesztett ki, amely képessé tette az emberiséget arra, hogy leírhassa a minket körülvevő világ fizikai folyamatait. Leírhassa, hogy ezáltal lehetőség nyíljon a problémák megoldására. Amint az később számos alkalommal kiderült, a probléma leírását egyáltalán nem követi azonnal a megoldás megtalálása, de ha leírni sem vagyunk képesek a problémát, akkor egészen biztosan nem tudjuk megoldani. Ezzel szemben Leibniz arra érzett rá, hogy az 1600-as évek matematikusai rátaláltak valamire, de „mintha bekötött szemmel jártak volna” nem voltak képesek ezt egy kerek egységes elméletté kidolgozni. Leibniz megtette azt a sorsdöntő lépést, hogy egységes és nagyon okos jelölést vezetett be és ezen  jelölésének köszönhetően képes volt olyan új összefüggéseket is meglátni, melyeket maga Newton sem látott.

A Newton és Leibniz közötti prioritási vita voltaképpen azért volt igazán tragikus, mert ha nem egymással szemben, hanem egymás mellett dolgoztak volna, közösen talán képesek lettek volna betömni azokat a réseket, amelyeknek a betömésére még több mint 100 évet kellett várni.

A primitív függvények keresését úgy fogjuk kezdeni, hogy visszaemlékszünk néhány fontosabb függvény deriváltjára.

Itt van mindjárt az xn

Ha deriválunk, akkor a kitevő 1-el csökken. Ha integrálunk, akkor 1-el nő.

Kis probléma van ugyan, ha

De éppen itt jön a megoldás.

Aztán végre egy biztos pont az életünkben.

A lista elég hosszú lesz.

És ez még csak a kezdet. Most viszont tisztáznunk kell néhány nagyon fontos dolgot.

Itt az egyik:

 de  

És itt a másik:

Próbáljuk meg kitalálni, hogy mi lehet vajon

Logikusnak tűnik, hogy

De sajnos van egy kis gond:

Az integrálás a deriválás fordítottja, tehát ha egy függvényt integrálunk majd deriválunk, akkor pontosan vissza kell kapnunk az eredeti függvényt. Most viszont ez nem mondható el.

Nem kapjuk vissza az eredeti függvényt, mert a deriválásnál bejön ide ez a 3-as szorzó.

Mondjuk ezen lehet segíteni.

Ha a kitevőben valami ax+b típusú kifejezés szerepel

akkor az integrálásnál szorozni kell -val

Vegyük például ezt:

Most nem a kitevőben, hanem a nevezőben van egy ax+b típusú kifejezés.

Ez a módszer gyakran fog kelleni így hát valami közeli helyen raktározzuk el a fejünkben.

Most pedig jöjjenek az izgalmak!

Integrálni sokkal viccesebb elfoglaltság lesz, mint deriválni.

Itt van például egy szorzat.

Deriválni nagyon egyszerű, egyetlen szabályt kell csak megjegyeznünk és aztán bármilyen szorzatra használhatjuk.

Ha viszont integrálni kell, nos akkor a helyzet sokkal izgalmasabb.

Lesz legalább öt különböző szabály és ki kell tudnunk találni, hogy épp melyik módszerrel kell majd integrálni.

Egy apró változás és máris másik módszer kell.

Vagyis nem fogunk unatkozni.

Ahhoz, hogy sikerüljön felülkerekednünk ezeken a kis nehézségeken, az integrálási szabályokat úgy fogjuk csoportosítani, hogy a legegyszerűbbtől indulunk el és haladunk az egyre bonyolultabbak felé.

Lássuk a szabályokat.

INTEGRÁLÁSI SZABÁLYOK

A legelső szabály pont olyan, mint a deriválásnál. A konstans szorzó kivihető.

A második szabály az összegek integrálására vonatkozik. Még ez is olyan, mint a deriválásnál: összeget külön-külön integrálunk.

A szorzatokra vonatkozó szabály már izgalmasabb. Nincs ugyanis ilyen szabály.

Ha egy szorzatot kell integrálni, akkor több különböző módszert is választhatunk. Pontosan ötöt.

De azt is el kell majd tudnunk dönteni, hogy mikor melyik szabályra lesz szükség és ezt nem javasolt pénzfeldobással.

Szerencsére mindegyik módszerről lesz egy külön képsor, amiből kiderül róla hogyan kell használni, sőt az is kiderül majd, hogy mikor kell használni.

Aztán ugyanez a helyzet a törtekkel. Törtek integrálására is lesz néhány módszer. Lássuk csak, úgy kábé három.

És összetett függvényekre is van minimum kettő.

Úgyhogy vágjunk is bele.

Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk

Hát nem ez volt életünk legnehezebb integrálása.

És valószínűleg ez sem az lesz:

Itt az ideje, hogy lássunk valami érdekesebbet.

Jöhet a következő integrálási szabály.

Lássunk erre egy példát.

Itt jön egy másik.

És egy harmadik.

Néha bele kell fektetnünk egy kis energiát, hogy minden stimmeljen.

Itt van például ez:

Megkezdjük az azonosítást.

A jelek szerint kéne ide egy 6-os szorzó.

Így hát az integráláson belül szorzunk 6-tal, az integráljel előtt pedig osztunk.

Nézzük mi jöhet még.

Ezen még javítanunk kell egy kicsit, aztán hopp, kész is.

Itt jön aztán ez.

Vannak egészen trükkös esetek is.

Ilyenkor az fα a nevezőben van így először meg kell kérni, hogy jöjjön föl onnan,

és utána használhatjuk a képletet.

Itt van még egy.

És itt jön még egy.

Végül pedig nézzünk meg néhány bűvészmutatványt.

 Nos ez az integrálási szabály ennyit tud. De van még bőven sok másik integrálási módszer is. Éppen itt jön a következő, ami az egyik legizgalmasabb.

Ez a tétel tulajdonképpen az összetett függvények integrálásáról szól. Csak sajnos az a gond az összetett függvényekkel, hogy az integrálásuk általában elég reménytelen vállalkozás.

Nem rendelkezik elemi primitívfüggvénnyel ezek közül a függvények közül egyik sem:

Ezeket az integrálokat tehát sajna nem tudjuk kiszámolni. Úgy értem nem ma, hanem egyáltalán.  A helyzetünk akkor válik reménytelivé, ha ezek a függvények meg vannak szorozva a belső függvényeik deriváltjával.

néhány speciális esetet érdemes megjegyeznünk

Íme  itt van hozzájuk pár feladat.

Vannak aztán olyan esetek is, amikor bele kell fektetnünk egy kis energiát, hogy minden stimmeljen.

   alak eléréséhez.

Általában két lehetőség van.

A könnyebbik, amikor csak konstansban tér el az integrálandó függvény a reményteli állapottól, a másik, amikor már x-et tartalmazó tényezők is eltérnek.

Ha csak konstansbeli eltérés mutatkozik, az könnyen megoldható:

PÉLDÁK:

A másik lehetőség, már jóval kellemetlenebb. Nézzünk rá egy példát!

Első ránézésre ez egy

típusú esetnek tűnik, csakhogy van egy kis gond.

Itt ugyanis a kitevő deriváltjának kéne lennie, de az x2 deriváltja 2x.

Innen jön az ötlet, hogy ha ott 2x-nek kellene lennie, hát akkor írjunk oda 2x-et.

Persze így megváltoztatjuk a feladatot. Ahhoz, hogy ne változzon meg, ha beszorzunk 2x-el akkor el is kell vele osztani.

Be is szoroztunk 2x-el és el is osztottunk 2x-el, így az eredeti feladat nem változott meg.

Viszont itt megjelent a kitevő deriváltja, tehát most már tudjuk integrálni.

Az egetlen kérdés, hogy mihez kezdünk ezzel a résszel.

Parciálisan fogunk integrálni.

Itt még egy kicsit integrálunk, aztán kész is.

Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.

Ez a földarabolásos módszer általában akkor hasznos, ha a nevező egyetlen tagból áll, vagyis ha nincs a nevezőben összeadás.

De néha előfordulhat, hogy akkor is működik, ha van.

Vannak aztán egészen trükkös esetek is.

Na ennyit a feldarabolásról.

T2

Lássunk erre egy példát

deriváljuk

Itt jön egy másik:

Megeshet, hogy a számláló nem a nevező deriváltja, de majdnem.

Ilyen esetekben, hogy ihletet merítsünk, deriváljuk a nevezőt, és hasonlítsuk össze a számlálóval, hogy kiderüljön, mit kell tennünk a siker érdekében.

A számlálóban sajna csak x van, de nekünk 4x kéne.

A számlálót szorozzuk 4-gyel, cserébe pedig az integráljel előtt osztunk 4-gyel.

Nem csak az lehet baj, ha kevesebb x van a számlálóban, hanem az is, ha több.

A nevező deriváltja , de a számlálóban  van, ami több, mint kéne, ezért kihozunk onnan egy 3-as szorzót.

Végül vannak egészen furmányos esetek is.

Vannak aztán trükkösebb esetek is.

A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.

Van itt egy függvény, aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.

Mindez persze akkor, ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon.

Ez a bizonyos primitív függvény a F(x), másnéven a határozatlan integrál.

Ha ilyen primitív függvény nem létezik, nos akkor a görbe alatti terület kiszámolása rémálommá változik.

A rémálmokkal egy külön képsor foglalkozik majd.

Most inkább próbáljuk ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.

Szóval Newton és Leibniz szerint ez a terület:

Itt jön a primitív függvény:

És ebbe kell behelyettesíteni először az 1-et, aztán pedig a 0-t.

Most nézzük meg hogyan tehetnénk mindezt izgalmasabbá.

Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.

A terv a következő:

Először kiszámoljuk a piros függvény görbe alatti területét a és b között,

aztán a sárga függvény területét is,

végül a kettőt egymásból kivonjuk.

Ugyanakkor azt sem ártana tudnunk, mennyi lehet a és b.

Nos ez az a és b azt tudja, hogy ilyenkor a két függvény egyenlő.

Ezt az egyenletet kell tehát megoldanunk.

Az ilyen típusú tartományokat, mint aminek a területét most éppen kiszámoltuk normáltartománynak nevezzük.

A normáltartományokat alulról is és felülről is egy függvény határolja,

oldalai pedig x=a és x=b.

Megeshet, hogy az egyik oldalon a két függvény találkozik,

sőt, lehet, hogy mindkét oldalon.

Az ilyen normáltartományok területe:

vagy ha éppen a g függvény van felül, mint például itt a rajzunkon,

akkor fordítva.

Ennek a módszernek a haszna, hogy csak egyszer kell integrálni. Nézzük is meg.

Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.

Először kiszámoljuk a metszéspontokat,

aztán jöhet az integrálás.

Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.

Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.

Végtelenig fogunk integrálni.

Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:

Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,

és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.

Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.

A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:

De könnyebb őket így megjegyezni.

Itt jön egy másik:

Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:

Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.

Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.

Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.

Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.

Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.

Nos íme:

De a megoldás menete ugyanaz.

Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az

függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk

és 1-től végtelenig is.

Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.

Nos az  esettel majd külön foglalkozunk.

Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.

Először az 1-et helyettesítjük be,

aztán lássuk mi történik, ha .

Tehát ha a kitevő pozitív szám,

akkor itt nulla jön ki.

Ha a kitevő negatív…

nos akkor a határérték végtelen.

Ha  éppen 1:

Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.

Ha  akkor a kitevő pozitív,

és ilyenkor az integrál divergens.

Ha pedig  éppen 1:

Mindezt összefoglalva, ha  akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.

Ha  akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.

Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.

Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.

Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.

Végtelenig fogunk integrálni.

Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:

Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,

és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.

Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.

A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:

De könnyebb őket így megjegyezni.

Itt jön egy másik:

Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:

Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.

Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.

Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.

Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.

Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.

Nos íme:

De a megoldás menete ugyanaz.

Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az

függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk

és 1-től végtelenig is.

Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.

Nos az  esettel majd külön foglalkozunk.

Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.

Először az 1-et helyettesítjük be,

aztán lássuk mi történik, ha .

Tehát ha a kitevő pozitív szám,

akkor itt nulla jön ki.

Ha a kitevő negatív…

nos akkor a határérték végtelen.

Ha  éppen 1:

Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.

Ha  akkor a kitevő pozitív,

és ilyenkor az integrál divergens.

Ha pedig  éppen 1:

Mindezt összefoglalva, ha  akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.

Ha  akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.

Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.