\( \int f \left( g(x) \right) \cdot g'(x) = F \left( g(x) \right) + c \)
Ez a tétel az összetett függvények integrálásáról szól. Csak sajnos az a gond az összetett függvényekkel, hogy az integrálásuk általában elég reménytelen vállalkozás.
Érdemes még néhány speciális esetet megjegyeznünk:
\( \int e^g \cdot g' = e^g +c \qquad \int a^g \cdot g' = \frac{a^g }{\ln{a}} + c \)
\( \int \frac{g'}{1+g^2} = \arctan{g} + c \qquad \int \frac{g'}{\sqrt{1-g^2}} = \arcsin{g} + c \)
Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.
Végezzük el az alábbi integrálásokat.
a) \( \int e^{2x^2+3x} (4x+3) \; dx = \; ? \)
b) \( \int 7^{x^3+1}\cdot 3x^2 \; dx = \; ? \)
c) \( \int \sin{ \left( x^2+5x \right)} \cdot (2x+5) \; dx = \; ? \)
d) \( \int (2x+3)e^{x^2+3x} \; dx = \; ? \)
e) \( \int (4x+1)5^{2x^2+x} \; dx = \; ? \)
f) \( \int \frac{3x^2}{1+\left(x^3 \right)^2} \; dx = \; ? \)
