Gazdasági Matematika 1

Az A és B halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. Az A és B halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Az A és B halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az A halmazba benne vannak, de a B halmazba nem. Az A halmaz komplementere a H alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az A-ban.

A logikai szita formula a halmazok elemszámának meghatározását segítő képlet.

Az első De Morgan azonosság azt mondja, hogy a metszet komplementere pont megegyezik a komplementrek uniójával. A második De Morgan azonosság pedig azt mondja, hogy az unió komplementere éppen megegyezik a komplementerek metszetével.

Egy halmaz összes részhalmazainak halmazát hatványhalmaznak nevezzük.

Két halmaz szimmetrikus differenciája a halmazok kétféle különbségének uniója.

A függvény értékkészlete azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban, amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

Az A és B halmazok Descartes-szorzata úgy működik, hogy elkészítjük az összes lehetséges rendezett párt, aminek az első elemét A-ból, a második elemét pedig B-ből vesszük, és ezeket a rendezett párokat betesszük egy halmazba.

Az f halmazt függvénynek nevezzük, ha minden eleme rendezett pár és minden x-hez csak egy y tartozik.

A függvény értékkészlete azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban, amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

Megnézzük, hogy melyik függvény hogyan néz ki, aztán megnézzük a külső és belső függvénytranszformációkat. Eltolás az x tengely mentén, eltolás az y tengely mentén, tükrözés, nyújtás.

A függvény monotonitása lehet növekedő, csökkenő, szigorúan monton növekedő vagy szigorúan monoton csökkenő.

Globális és lokális maximumok és minimumok.

A függvény konvexitása megmondja, hogy a függvény szomorú vagy vidám hangulatban van.

Mikor páros, mikor páratlan vagy éppen egyik sem egy függvény.

Lássuk mik azok a polinomfüggvények, és hogyan kell őket ábrázolni.

Ha két függvényt egymásba ágyazunk, összetett függvényt kapunk.

A függvény hozzárendelésének megfordításával kapjuk a függvény inverzfüggvényét, amennyiben a megfordított hozzárendelés is egy egyértelmű hozzárendelés.

A kamatos kamat számításának képlete.

Ha a tartozásunk minden hónapban kamatozik is, akkor törlesztőrészlet számítással tudjuk kiszámolni mennyit is kell havonta fizetnünk...

Ha bizonyos időközönként fix pénzösszegeket fizetünk be a bankba, ami aztán kamatozik is, akkor gyűjtőjáradék számítással számolhatjuk ki, mennyi pénzünk is lesz...

A sorozat monotonitása lehet monton nő, monoton csökkenő, szigorúan monoton nő, szigorúan monoton csökkenő.

Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.

Függvények szakadása négy féle lehet: megszüntethető szakadás, ugrás, nem megszüntethető, nem véges szakadás, nem megszüntethető oszcilláló szakadás.

A sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.

Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.

Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük.

Nevezetes 0-hoz tartó sorozatok.

Nevezetes végtelenhez tartó sorozatok.

Nevezetes gyökös sorozatok határértéke.

Exponenciális kifejezések határértéke.

Egy nevezetes sorozatcsalád, az e-hez tartó sorozatok.

Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük. Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük. Az ugráló sorozatokat oszcillálónak nevezzük. Lássunk néhány példát.

Ha két rendőr közrefog egy honpolgárt és a két rendőr konvergál a rendőrőrsre, akkor az általuk közrefogott honpolgárnak is szükségképpen konvergálnia kell a rendőrőrsre..

Lássuk mi a teendő gyökös sorozatok és ronda gyökös sorozatok esetén.

A végtelenbe tartó sorozatok nagyságrendi sorrendje azt mondja meg, hogy melyik sorozat milyen ütemben tart a végtelenbe. Minél nagyobb nagyságrendű egy sorozat, annál gyorsabban tart a végtelenbe

Egy sorozatnak torlódási pontja az A szám, ha bármilyen kis környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja van.

Egy sorozat limesz inferiorja a torlódási pontjainak infinuma. A limesz szuperiorja a torlódási pontjainak szuprémuma.

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

Konstans deriváltja, polinomok deriválási szabálya. Az exponenciális és logaritmus függvények deriválása. Trigonometrikus függvények deriváltjai.

Függvény konstansszorosának, két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriválási szabályai. Összetett függvények deriválási szabálya.

A lánc-szabály az összetett függvények deriválási szabálya.

A sinh és cosh hiperbolikus függvények közt fennálló azonosságok.

A cosh, sinh és tanh függvények deriváltjai.

A cosh, sinh és tanh függvények inverzfüggvényei.

Az arcosh, arsinh és artanh függvények deriváltjai.

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.

A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.

A határérték számítás csodafegyvere, egy szuper módszer, amivel nagyon sok bonyolult határérték gyorsan kiszámolható.

Néhány exponenciális, logaritmusos és végtelenhez, nullához tartó nevezetes sorozatok határértékei.

Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...

Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...

Az $e^x$, lnx, sinx és cosx függvények Taylor sorai.

Amikor egy függvény x helyen lévő értékét szeretnénk közelíteni egy Taylor polinommal, akkor lesz egy kis hibánk, mivel a polinom nem teljesen követi a függvényt. Ennek a hibának a kifejezésére van a Lagrange-féle maradéktag. 

Egy függvény elaszticitása azt mondja meg, hogyha 1%-kal növeljük az x-et, akkor hány százalékkal változik a függvény értéke.

Az első derivált azt írja le, hogy a függvény mikor nő és mikor csökken.

A második derivált a függvény hangulatát írja le, ha pozitív, akkor a függvény vidám, ha negatív, akkor szomorkodik.

 A deriválás után megállapítjuk a derivált előjelét. Amikor a derivált nulla, olyankor stacionárius pont van.

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.

Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.

Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.

Integráláskor a konstans szorzó kivihető.

Összeget külön-külön is integrálhatunk.

Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.

Szorzat integrálásának egy speciális esete, amikor a függvény n-edik hatványon van és meg van szorozva a deriváltjával.

Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.

A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.

A helyettesítéses integrálás egyik legfurcsább esete az $u = \tan{ \frac{x}{2} } $. Olyankor használjuk, ha a törtben $\sin{x}$ és $\cos{x}$ is csak első fokon szerepel.

Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.

Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.

Törtek integrálásának egy speciális esete, amikor a tört számlálója a nevező deriváltja.

A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.

A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.

A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.

A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

Egy zárt intervallumon értelmezett függvény akkor Riemann integrálható, ha egyetlen olyan szám létezik, amely bármely alsó közelítő összegénél nagyobb egyenlő, és bármely felső közelítő összegénél kisebb egyenlő.

Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása egy fontos függvénnyel.

Forgástestek térfogatának és felszínének képletei határozott integrálással.

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.

A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

Egy általános módszer, amivel kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait lehet meghatározni

Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

 másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.

Az egyváltozós függvények mintájára bevezetjük az érintő fogalmát. Ez esetben most egy sík lesz az érintő.

A parciális deriváltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.

Azt mondja meg, hogy egy adott irányban haladva milyen meredeken emelkedik a felület. Nagyon érdekes. Az iránymenti derivált nagyon érdekes.

A sík azon pontjainak összességét, amelyekben az $f$ függvény ugyanazt a konstans értéket veszi fel, az $f$ függvény szintvonalának nevezzük.

Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.

Megismerkedünk az implicit függvényekkel, és ha már megismerkedtünk, nézzük meg, hogyan lehet deriválni őket.

Az egyváltozós függvények mintájára bevezetjük az érintő fogalmát. Ez esetben most egy sík lesz az érintő.

A parciális deriváltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.

Azt mondja meg, hogy egy adott irányban haladva milyen meredeken emelkedik a felület. Nagyon érdekes. Az iránymenti derivált nagyon érdekes.

Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.

Megismerkedünk az implicit függvényekkel, és ha már megismerkedtünk, nézzük meg, hogyan lehet deriválni őket.