Gazdasági Matematika 1
A kurzus 7 szekcióból áll: PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK, FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS, DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA, FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT, TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK, INTEGRÁLÁS
PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK
- -
Hogyan írjuk fel, ha egy értéket x %-al növeltünk, vagy csökkentettünk.
- -
A kamatos kamat számításának képlete.
FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
- -
Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.
- -
Függvények szakadása négy féle lehet: megszüntethető szakadás, ugrás, nem megszüntethető, nem véges szakadás, nem megszüntethető oszcilláló szakadás.
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
- -
Függvény konstansszorosának, két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriválási szabályai. Összetett függvények deriválási szabálya.
- -
Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.
- -
Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.
- -
Konstans deriváltja, polinomok deriválási szabálya. Az exponenciális és logaritmus függvények deriválása. Trigonometrikus függvények deriváltjai.
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA
- -
Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.
- -
Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.
- -
A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.
- -
A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.
- -
A határérték számítás csodafegyvere, egy szuper módszer, amivel nagyon sok bonyolult határérték gyorsan kiszámolható.
- -
Néhány exponenciális, logaritmusos és végtelenhez, nullához tartó nevezetes sorozatok határértékei.
- -
Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...
- -
Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...
- -
Az $e^x$, lnx, sinx és cosx függvények Taylor sorai.
FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT
- -
Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.
- -
A második derivált a függvény hangulatát írja le, ha pozitív, akkor a függvény vidám, ha negatív, akkor szomorkodik.
- -
Az első derivált azt írja le, hogy a függvény mikor nő és mikor csökken.
- -
A deriválás után megállapítjuk a derivált előjelét. Amikor a derivált nulla, olyankor stacionárius pont van.
TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
- -
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.
- -
A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.
- -
A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.
- -
másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.
- -
Egy általános módszer, amivel kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait lehet meghatározni
- -
Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.
- -
Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.
- -
Az egyváltozós függvények mintájára bevezetjük az érintő fogalmát. Ez esetben most egy sík lesz az érintő.
- -
A parciális deriváltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.
- -
Azt mondja meg, hogy egy adott irányban haladva milyen meredeken emelkedik a felület. Nagyon érdekes. Az iránymenti derivált nagyon érdekes.
- -
Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.
- -
Megismerkedünk az implicit függvényekkel, és ha már megismerkedtünk, nézzük meg, hogyan lehet deriválni őket.
INTEGRÁLÁS
- -
Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.
- -
A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
- -
Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.
- -
Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.
- -
Integráláskor a konstans szorzó kivihető.
- -
Összeget külön-külön is integrálhatunk.
- -
Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.
- -
Szorzat integrálásának egy speciális esete, amikor a függvény n-edik hatványon van és meg van szorozva a deriváltjával.
- -
Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.
- -
Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.
- -
Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.
- -
Törtek integrálásának egy speciális esete, amikor a tört számlálója a nevező deriváltja.
- -
A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.
- -
A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.
- -
A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.
A helyettesítéses integrálás egyik legfurcsább esete az $u = \tan{ \frac{x}{2} } $. Olyankor használjuk, ha a törtben $\sin{x}$ és $\cos{x}$ is csak első fokon szerepel.
- -
A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.