- Halmazok, rendezett párok, leképezések
- Függvények
- Összetett függvények és inverzfüggvény
- Pénzügyi számítások
- Küszöbindex és monotonitás
- Sorozatok
- Függvények határértéke
- Deriválás
- Differenciálhatóság és az érintő egyenlete
- L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom
- Teljes függvényvizsgálat
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Többváltozós függvények
Összetett függvények és inverzfüggvény
Összetett függvény
Ha az $f(x)$ és $g(x)$ függvényeket egymásba ágyazzuk, azaz az $f$ függvény $x$ változójának helyére behelyettesítjük a $g(x)$ függvényt, összetett függvényt kapunk.
\( f \circ g = f(g(x)) \)
Ebben az összetett függvényben $f$ függvényt hívjuk külső függvénynek, a $g$ függvényt pedig belső függvénynek.
inverzfüggvény
Minden függvény egy $x \mapsto y$ hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az $y \mapsto x$ fordított hozzárendelés.
Inverze csak azoknak a függvényeknek van, amik két különböző $x$-hez különböző $y$-okat rendelnek, ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönesen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.
a) Itt ez a két függvény:
\( f(x)=\sqrt{x+5} \qquad g(x)=x^3+1 \)
És gyártsuk le belőlük ezeket:
\( f \circ g = ? \quad g \circ f = ? \quad f \circ f = ? \quad g \circ g = ? \)
b) Nézzük meg a két függvény és az $ f \circ g$ összetett függvény értelmezési tartományát.
\( f(x)=\log_2{(x-3)} \qquad g(x)=\sqrt{x-1} \)
a) Itt ez a két függvény:
\( f(x)=\sqrt{x} \qquad g(x)=\frac{x+4}{x-3} \)
Adjuk meg ezeket az összetett függvényeket és értelmezési tartományukat:
\( f \circ g \qquad g \circ f \)
b) Itt ez a két függvény:
\( f(x)=\lg{x} \qquad g(x)=\frac{x-4}{x-2} \)
Adjuk meg ezeket az összetett függvényeket és értelmezési tartományukat:
\( f \circ g \qquad g \circ f \)
Adjuk meg az \( f(x)=16-x^2 \) függvény inverzát, ha
a) \( x \in \mathbb{R} \)
b) \( x \in \mathbb{R}^+ \)
c) \( -4 \leq x \leq 0 \)
d) \( -4 \leq x \leq 4\)
Mi az inverzfüggvénye?
a) \( f(x)=\sqrt{x-2} \)
b) \( f(x)=2^x \)
c) \( f(x)=3+\log_2{(x-5)} \)
d) \( f(x)=4+e^{2x-1} \)
e) \( f(x)=7+ \ln{ \frac{x+3}{4 }} \)
Milyen \( A \) paraméter esetén invertálhatóak az alábbi függvények a \( [0;2] \) intervallumon?
a) \( f(x)= \begin{cases} x^2, &\text{ha } 0 \leq x < 1 \\ A-x, &\text{ha } 1 \leq x \leq 2 \end{cases} \)
b) \( f(x)= \begin{cases} x^2-A, &\text{ha } 0 \leq x < 1 \\ x+A, &\text{ha } 1 \leq x \leq 2 \end{cases} \)
Mi az inverzfüggvénye?
a) \( f(x)=\sqrt[5]{x+2} \)
b) \( f(x)= \left( 1-x^5 \right)^{\frac{1}{3}}+1 \)
c) \( f(x)=\frac{2x-3}{x+5} \)
d) \( f(x)=e^{5-4x} \)
e) \( f(x)=e^{1-2x}+4 \)
f) \( f(x)=1+\lg{(x-5)} \qquad x>5 \)
Milyen \( A \) paraméter esetén invertálhatóak az alábbi függvények a \( [0;2] \) intervallumon?
a) \( f(x)= \begin{cases} Ax+2, &\text{ha } 0 \leq x < 1 \\ 2A-x, &\text{ha } 1 \leq x \leq 2 \end{cases} \)
b) \( f(x)= \begin{cases} Ax^2, &\text{ha } 0 \leq x < 1 \\ 2A-x, &\text{ha } 1 \leq x \leq 2 \end{cases} \)
Adjuk meg az inverzét.
a) \( f(x)= \begin{cases} \frac{5x-2}{3}, &\text{ha } 0 \leq x < 1 \\ \frac{8}{x+1}, &\text{ha } 1 \leq x \leq 2 \end{cases} \)
b) \( f(x)= \begin{cases} x, &\text{ha } 0 \leq x < 1 \\ x^2, &\text{ha } 1 \leq x < 4 \\ 4x, &\text{ha } 4 \leq x < 9 \end{cases} \)
Mi az inverzfüggvénye?
\( f(x) = 1-x^2 \qquad -1 \leq x \leq 0 \)
Mi az inverzfüggvénye?
\( f(x) = \sqrt{4-x} +2 \qquad x \leq 4 \)
Mi az inverzfüggvénye?
\( f(x) = 3-x^2 \qquad -1 \leq x \leq 0 \)
Mi az inverzfüggvénye?
\( f(x) = \sqrt{3+x}+1 \qquad x \geq -3 \)
Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.
Az inverz kiszámolásának menete a következő:
Legyen mondjuk
Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:
Itt x-hez rendelünk y-t.
Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.
Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:
Az inverz jele:
Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.
Például az függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .
A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.
De ha a negatív számokat kiiktatjuk,
nos akkor már minden rendben.
Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez
különböző y-okat rendelnek.
Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.
Az függvény injektív, ha akkor .
Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.
És van itt még egy dolog.
Legyen a függvényünk az és értelmezési tartománya .
Nos, ekkor az értékkészlete .
Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.
Ha invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.
Nézzünk néhány példát.
Adjuk meg az függvény inverzét, ha
Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.
Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.
Lássuk az inverzt
Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.
Lássuk az inverzt!
Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.
Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Lássunk még egyet.
Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.
és
Végül nézzük meg ezt is.
Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.
Van itt egy függvény
és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.
Nos ez.
Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.
A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.
És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.
Itt jön aztán egy másik remek függvény az
Nos ennek a függvénynek az inverze az
Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.
És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.
Nézzük meg például ennek az inverzét:
A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.
Vagy itt van például egy másik:
Az és az szintén egymás inverzei.
Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.
De talán egy még belefér…
Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.
Az inverz kiszámolásának menete a következő:
Legyen mondjuk
Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:
Itt x-hez rendelünk y-t.
Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.
Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:
Az inverz jele:
Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.
Például az függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .
A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.
De ha a negatív számokat kiiktatjuk,
nos akkor már minden rendben.
Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez
különböző y-okat rendelnek.
Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.
Az függvény injektív, ha akkor .
Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.
És van itt még egy dolog.
Legyen a függvényünk az és értelmezési tartománya .
Nos, ekkor az értékkészlete .
Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.
Ha invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.
Nézzünk néhány példát.
Adjuk meg az függvény inverzét, ha
Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.
Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.
Lássuk az inverzt
Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.
Lássuk az inverzt!
Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.
Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.
Lássunk még egyet.
Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.
és
Végül nézzük meg ezt is.
Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.
Van itt egy függvény
és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.
Nos ez.
Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.
A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.
És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.
Itt jön aztán egy másik remek függvény az
Nos ennek a függvénynek az inverze az
Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.
És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.
Nézzük meg például ennek az inverzét:
A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.
Vagy itt van például egy másik:
Az és az szintén egymás inverzei.
Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.
De talán egy még belefér…
