- Halmazok, rendezett párok, leképezések
- Függvények
- Összetett függvények és inverzfüggvény
- Pénzügyi számítások
- Küszöbindex és monotonitás
- Sorozatok
- Függvények határértéke
- Deriválás
- Differenciálhatóság és az érintő egyenlete
- L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom
- Teljes függvényvizsgálat
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Többváltozós függvények
Halmazok, rendezett párok, leképezések
Halmazműveletek
Vannak az $A$ és $B$ halmazok.
Az $A$ és $B$ halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak.
Jele: $A \cup B$
Az $A$ és $B$ halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak.
Jele: $A \cap B$
Az $A$ és $B$ halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az $A$ halmazba benne vannak, de a $B$ halmazba nem.
Jele: $A \setminus B$
Az $A$ halmaz komplementere a $H$ alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az $A$-ban.
Jele: $ \overline{A}$
Logikai szita formula
A logikai szita formula két halmazra:
\( \mid A \cup B \mid = \mid A \mid + \mid B \mid - \mid A \cap B \mid \)
A logikai szita formula három halmazra:
\( \mid A \cup B \cup C \mid = \mid A \mid + \mid B \mid + \mid C \mid - \mid A \cap B \mid - \mid A \cap C\mid - \mid B \cap C \mid + \mid A \cap B \cap C \mid \)
De Morgan azonosságok halmazokra
Az első De Morgan azonosság azt mondja, hogy a metszet komplementere pont megegyezik a komplementrek uniójával:
\( \overline{ A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \)
A második De Morgan azonosság pedig azt mondja, hogy az unió komplementere éppen megegyezik a komplementerek metszetével:
\( \overline{ A \cup B } = \overline{A} \cap \overline{B} \)
Hatványhalmaz
Egy halmaz összes részhalmazainak halmazát hatványhalmaznak nevezzük.
Pl.: az $A=\{x,y,z \}$ halmaz hatványhalmaza: $P(A)=\left\{ \emptyset. \{ x \}, \{ y \}, \{ z \}, \{ x, y \}, \{ x, z \}, \{ y, z \}, \{ x,y,z \} \right\} $
Szimmetrikus differencia
Az $A$ és $B$ halmazok szimmetrikus differenciája:
\( A \triangle B = \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right) = ( A \cup B ) \setminus ( A \cap B) \)
Érdemes megjegyezni, hogy $A \triangle A = \emptyset$ és $A \triangle \emptyset= A $
Adottak az $A$ és $B$ halmazok:
\( A= \{ 1, 2, 3, 4, 7, 8 \} \quad B= \{ 1,3,4,5,6 \} \)
Határozzuk meg...
a két halmaz metszetét!
a két halmaz unióját!
$ B\setminus A $-t!
Az $A$ halmaz legyen a $[2,6]$ zárt intervallum, a $B$ halmaz pedig az $]1,4[$ nyílt intervallum.
Határozzuk meg ezeket:
\( A \cap B \quad A \cup B \quad A \setminus B \)
a) Egy osztályban 12-en utálják a matekot és 18-an a fizikát. Összesen 20-an vannak, akik a kettő közül legalább az egyiket utálják. Hányan utálják mindkettőt?
b) Egy osztályba 20 tanuló jár. Az osztály összes tanulója közül 9-en szeretik a matekot és közülük 5 lány. Tudjuk még, hogy 5 fiú nem szereti a matekot. Hány lány jár az osztályba?
Egy osztályba 20-an járnak. Közülük 16-an vannak, akik a matekot és a fizikát is utálják. Hányan vannak, akik legalább az egyik tantárgyat szeretik?
a) Adottak a $G$ és $H$ halmazok:
\( G= \{ 1,2,3,4,6,12 \} \quad H= \{ 1,2,4,8,16 \} \)
Határozzuk meg a $G \cap H$ és $G \setminus H $ halmazokat!
b) Az $A$ halmaz elemei a 28 pozitív osztói, a $B$ halmaz elemei a 49 pozitív osztói. Adjuk meg az $A \cap B$ és $B \setminus A$ halmazokat elemeik felsorolásával!
c) Egy városban 60 étterem, 56 bár és 36 reggeliző hely üzemel. Olyan, ami étterem és bár is egyben 16 darab van, ami reggelizőként és bárként is üzemel, olyanból 20 darab van, és ami reggeliző és étterem is, olyan 11 darab van. 4 olyan hely van, ami reggelizőként, étteremként és bárként egyszerre működik. Hány olyan bár működik a városban, ami nem étterem és nem reggeliző hely?
d) Van három halmaz, $A=\{ 2, 3, 5, 7, 11 \}$, $B=\{x \in Z^+ | 1 \leq x^2 \leq 24 \}$ és $C$ pedig a 15 pozitív osztóinak halmaza. Ábároljuk ezeket a halmazokat és adjuk meg elemeinek felsorolásával az $A\cup B \cap C$ és az $A \cap B \setminus C$ halmazokat.
a) Egyenlő-e ez a két halmaz?
\( A= \{ 4; 6; 5;7 \} \quad B = \{ 7, 6, 5, 4 \} \)
b) Soroljuk fel az $A=\{ x, y, z \}$ halmaz összes részhalmazát.
c) Hány elemű lesz $B$-nek a hatványhalmaza?
\( B= \{ 5, 6, 7, 8 \} \)
Bizonyítsuk be, hogy
a) \( (A \cup \overline{B}) \cap B = A \cap B \)
b) \( (A \setminus (B \setminus A) = ( A \cap B) \cup (A \setminus B ) \)
c) \( A \Delta ((B \cup A) \Delta A ) \Delta B = (A\cap B) \Delta (A \setminus B) \)
a) Hogyha $A$ és $B$ halmazokról tudjuk, hogy $A\cap B = A \cup B$, akkor vajon igaz-e, hogy $A \Delta B = A \setminus B$?
b) Hogyha $A$ és $B$ halmazokról tudjuk, hogy $A \Delta B = B$, akkor vajon igaz-e, hogy $ (A \cup B) \Delta (A \cap B)= B \setminus A$?
c) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $A$ és $B$ halmazokra teljesül, hogy:
\( (A \cup \overline{B} ) \cap B \subseteq (A \cup B) \setminus (B \setminus A) \)
d) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $A$, $B$ és $C$ halmazokra teljesül, hogy:
\( (A \cup B) \setminus (C \cap (B \setminus A)) = A \cup (B \setminus C) \)
Adjuk meg az $A=\{ 1,2 \}$ és $B=\{ a,b,c \}$ halmazok Descartes-szorzatát.
Halmazok, metszet, unió, és egyebek
Van itt egy A halmaz
aminek a komplementere ez. Minden ami körülötte van.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha kerítünk az A halmaz mellé
egy B halmazt is.
A halmaz komplementere:
Az a rész, ami mindkettőben benne van az A és B halmazok metszete.
A és B halmazok metszete:
Ez pedig az A és B halmazok uniója.
A és B halmazok uniója:
Ha pedig fogunk egy ollót és szépen kivágjuk az A halmazból azt a részt
ami a B-ben is benne van, nos amit így kapunk az a két halmaz különbsége.
A és B halmazok különbsége:
És most lássuk, mi az a részhalmaz.
A-nak egy részhalmaza például a páros számok halmaza:
Vagy éppen részhalmaza a páratlan számok halmaza is:
És részhalmaza mondjuk a 3-mal osztható számok halmaza is:
Adottak az A és B halmazok:
Határozzuk meg…
a két halmaz metszetét!
a két halmaz unióját!
a B\V-t!
Egy biztosítóhoz az egyik hónapban 24 autós biztosítási kárigény érkezett, és ezek közül
8-an más kárigényt is benyújtottak. Lakásbiztosításra 7 igény érkezett, és egyéb igény 17.
30 olyan ügyfél volt, aki csak egy igényt nyújtott be, 1-1 olyan ügyfél volt, aki a lakáson
kívül még pontosan egy kárigéényt nyújtott be és nem volt olyan, aki mindhármat.
Készítsünk ábrát, és állapítsuk meg, hogy hányan vannak, akik pontosan két kárigényt
nyújtottak be!
Akik pontosan két kárigényt nyújtottak be:
Végül itt jön még egy nagyon érdekes mese bárányokról és számhalmazokról…
Beszélgessünk egy kicsit a számokról.
Ez itt például 3.
Ez pedig 4.
És néha sajnos szükség van negatív számokra is.
Így jutunk el az egész számok halmazáig, amit Z-vel jelölünk.
Aztán fölmerülhet az igény olyan számokra is,
amelyek arányokat fejeznek ki.
Ezeket racionális számoknak nevezzük.
Mondjuk ennek az egyenletnek
a megoldása:
A racionális számokat Q-val jelöljük.
Vannak aztán olyan egyenletek, amiknek
a megoldásai nem racionális számok.
Ilyen például ez az egyenlet:
És így megjelennek az irracionális számok,
amik feltöltik a racionális számok közötti
hézagokat a számegyenesen.
A racionális és az irracionális számok
alkotják együttesen a valós számokat.
Hogyha a számegyenest felszeleteljük részekre…
akkor intervallumokat kapunk.
Ez itt például az 1 és 5 közötti intervallum.
Az 1 és az 5 az intervallum végpontjai.
Olyankor, amikor a végpontok nincsenek benne az intervallumban…
az intervallumot nyílt intervallumnak hívjuk.
NYÍLT INTERVALLUM
Ha mindkét végpont benne van, akkor az a neve, hogy zárt intervallum.
ZÁRT INTERVALLUM
Előfordulhat az is, hogy az intervallum egyik vége nyílt, a másik pedig zárt.
BALRÓL NYÍLT, JOBBRÓL ZÁRT INTERVALLUM:
Az A halmaz
Most pedig nézzük, mi történik, hogyha két intervallumnak vesszük a metszetét…
vagy épp az unióját.
Az intervallumok
Az A halmaz legyen a [2,6] zárt intervallum, a B halmaz pedig az ]1,4[ nyílt intervallum.
Határozzuk meg ezeket:
Úgy tűnik, hogy a 4 nincs benne B-ben…
Így aztán amikor a B halmazt kivonjuk az A halmazból…
akkor a 4-et nem vonjuk ki, az benne marad A-ban.
És ezáltal egy mindkét végén zárt intervallumot kapunk.
Hát, ennyit az intervallumokról.
Próbáljuk meg eldönteni, hogy vajon egyenlő-e ez a két halmaz.
Két halmaz akkor egyenlő, hogyha ugyanazok az elemeik.
Nézzük meg…
Úgy néz ki, egyenlők.
Most lássuk mi a helyzet ezekkel:
Na, itt van egy kis gond.
Ezek az elemek nem ugyanazok.
Azért nem, mert az egyik maga is egy halmaz.
Így aztán C és D nem egyenlők.
Vannak tehát olyan halmazok, aminek az elemei is halmazok.
Mint amilyen például ez:
Ennek a halmaznak három eleme van.
Az egyik eleme egy egyelemű halmaz…
a másik eleme egy kételemű halmaz…
a harmadik eleme egy háromelemű halmaz.
És létezik olyan halmaz is, aminek egyáltalán nincsen eleme…
Ezt a halmazt üreshalmaznak nevezzük.
Az üreshalmaz jele egy ilyen áthúzott nulla.
Van itt egy A halmaz, és soroljuk föl az összes részhalmazát.
Itt jönnek az egyelemű részhalmazok.
Aztán vannak kételemű részhalmazok…
Bármelyik két elemet kiválaszthatjuk…
Így ezekből is három van.
És az egész halmaz is részhalmaznak számít…
De van itt mégvalami.
Az üreshalmaz is A-nak részhalmaza.
Ez így összesen 8 darab részhalmaz:
Hogyha ezeket most betesszük szépen egy újabb halmazba…
Akkor ezt az újabb halmazt az eredeti A halmaz hatványhalmazának nevezzük.
Az A hatványhalmazának 8 eleme van, és maguk az elemek is mind halmazok.
Próbáljuk meg kideríteni, hogy vajon hány elemű halmaz lesz B-nek a hatványhalmaza.
A hatványhalmaz elemei B részhalmazai.
Éppen itt is jönnek...
Az egyik ilyen részhalmaz maga a B…
Hogyha a 8-ast nem tesszük bele…
akkor egy újabb részhalmazt kapunk.
Aztán az is lehet, hogy a 7-est nem tesszük bele…
A 8-ast pedig vagy igen, vagy nem.
Lesz olyan részhalmaz is, amiben a 6-os nincs benne…
A 7-es pedig vagy benne van, vagy nem.
És így szép lassan kirajzolódik az összes lehetőség.
Az eredeti B halmaz minden eleménél két eset van: vagy kiválasztjuk, vagy nem.
Az összes lehetőség így
Az ilyen szorzatoknak van valami speciális neve…
Meg is van, úgy hívják, hogy hatványozás.
A 4 itt nem véletlen…
Ez a B halmaz elemszáma.
Egy H halmaz hatványhalmazának az elemszáma tehát:
Remek, hogy ezt is megtudtuk…
Van itt még egy halmazművelet, ami úgy működik, hogy két halmaz uniójából kivágja…
a metszetüket.
Ezt a műveletet szimmetrikus differenciának nevezzük, és így jelöljük:
Érdemes megjegyezni, hogy
És azt is, hogy
Most pedig lásuk, hogy a szimmetrikus differencia vajon asszociatív-e, tehát igaz-e, hogy:
Az ilyen halmazokkal kapcsolatos állítások igazolására az egyik módszer a rajzolgatás.
Készítünk egy Venn diagramot.
Nézzünk aztán, hogy igaz-e például ez:
Megint jön a Venn diagram.
Hát, ezt most egy kicsit végig kell gondolni.
Ezeknek kell vennünk az unióját…
és aztán kivonjuk a metszetüket.
Hopp, ez éppen a B halmaz.
Ez a Venn diagramos rajzolgatás hatalmas vizuális élményt nyújt.
De már ennél a rövid kis feladatnál is könnyű belezavarodni.
Jobb lenne tehát valamilyen megbízhatóbb módszer.
A megbízhatóbb módszer az lesz, hogy használjuk a halmazműveletekre vonatkozó azonosságokat.
Ennél a konkrét esetnél például azt, hogy a szimmetrikus differencia kommutatív és asszociatív:
Most pedig lássuk, hogy milyen halmazműveleti azonosságok vannak még…
Elérkezett az idő, hogy készítsünk egy listát a halmazokkal kapcsolatos azonosságokról.
Van néhány alap azonosság, mint például ezek itt:
Aztán itt vannak még a De Morgan azonosságok is:
Meg van ez a szimmetrikus differencia…
És most lássunk néhány feladatot. Bizonyítsuk be, hogy
Hogyha nagyon szeretünk rajzolgatni…
Ez itt a B halmaz komplementere…
Ez pedig az uniója az A-val.
Hogyha most még vesszük ennek a metszetét B-vel…
De létezik egy teljesen rajzmentes megoldás is.
Készítünk egy táblázatot, nullákkal és egyesekkel.
Az alaphalmaz minden eleme négy tulajdonság közül pontosan az egyikkel rendelkezik.
Vagy nem eleme sem A-nak, sem B-nek…
vagy A-nak eleme de B-nek nem…
vagy A-nak nem eleme de B-nek igen…
vagy A-nak és B-nek is eleme.
Más lehetőség nincs.
Most pedig szépen kitöltjük a táblázatot.
A komplementer úgy működik, hogy a 0-ból 1-et és az 1-ből 0-t csinál.
Aztán az unió a szokásos…
Olyan elemek vannak benne, amelyek legalább az egyik halmaznak eleme.
Végül vesszük ennek a metszetét B-vel.
Az egyenlőség másik oldalán egy sima A metszet B van.
És most hasonlítsuk össze a sorokat…
Ha mindegyik sor egyezik, akkor egyenlők.
Nézzünk meg egy másikat is. Igazoljuk, hogy fennáll ez az egyenlőség:
Hát, itt rajzolni már nem fogunk…
Jöhet a táblázat.
És most hasonlítsuk össze a sorokat…
Ha mindegyik sor egyezik, akkor egyenlők.
Végül itt jön még egy:
Hát, ez nem néz ki túl jól…
Kezdjük egy kis átalakítással.
Ezek csak olyankor egyenlők, hogyha A és B metszete üres.
És most megpróbálunk választ adni néhány nagyon nyugtalanító kérdésre.
Olyanokra, mint amilyen ez, hogyha A és B halmazokról tudjuk, hogy
akkor vajon igaz-e, hogy
Készítsünk ehhez egy rajzot.
Ezek olyankor egyenlők, hogyha A minden eleme B-ben is benne van…
és B minden eleme A-ban is benne van.
Röviden, ha A=B.
Hogyha A=B, akkor itt mindenhol a B-t lecseréljük…
És hopp, így minden sokkal egyszerűbbé válik.
Úgy néz ki, hogy ez tényleg igaz.
Nézzünk meg még egy ilyet…
Hogyha A és B halmazokról tudjuk, hogy
akkor vajon igaz-e, hogy
Kicsit rajzolgatunk…
Íme, a szimmetrikus differencia.
Ez olyankor lesz B-vel egyenlő, hogyha A nincs is…
Mármint, hogyha A az üreshalmaz.
a \
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges A és B halmazokra teljesül, hogy
Megint jön a szokásos táblázat.
Aztán megyünk szépen tovább.
Az unióban olyan elemek vannak, amelyek legalább az egyik halmaznak eleme.
És így szép lassan kitöltjük a táblázatot.
Most pedig hasonlítsuk össze a sorokat…
X akkor részhalmaza Y-nak…
ha minden elem, ami benne van X-ben, az benne van Y-ban is.
Lássuk, mi a helyzet itt.
.
X-ben csak ilyen típusú elemek vannak.
És ezek mind benne vannak Y-ban is.
A jelek szerint tehát .
Itt jön aztán egy rondább ügy. Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B és C halmazokra teljesül, hogy
Megint jön a táblázat…
Adottak a G és H halmazok:
Határozzuk meg a …. és … halmazokat!
Az A halmaz elemei a 28 pozitív osztói, a B halmaz elemei a 49 pozitív osztói.
Adjuk meg az … és … halmazokat elemeik felsorolásával!
28 pozitív osztói: 49 pozitív osztói:
Hány kételemű részhalmaza van a (2, 3, 5, 7, 11) halmaznak?
Egy városban 60 étterem, 56 bár és 36 reggeliző hely üzemel. Olyan, ami étterem és bár is egyben 16 darab van, ami reggelizőként és bárként is üzemel, olyanból 20 darab van, és ami reggeliző és étterem is, olyan 11 darab van. 4 olyan hely van, ami reggelizőként, étteremként és bárként egyszerre működik. Hány olyan bár működik a városban, ami nem étterem és nem reggeliző hely?
Mindig a közös metszettel érdemes kezdeni.
A jelek szerint 24 olyan bár működik a városban, ami nem étterem és nem reggeliző hely.
Van három halmaz, , és pedig a 12 pozitív osztóinak halmaza.
Ábrázoljuk ezeket a halmazokat és adjuk meg elemeinek a felsorolásával az és az halmazokat.
Lássuk, milyen számok vannak a B halmazban.
És itt jön a C halmaz.
Van itt ez a két halmaz.
És vannak olyan helyzetek, amikor szükség lenne arra, hogy összepárosítsuk az elemeiket…
Ezeket a párokat rendezett pároknak nevezzük.
A rendezett párok maguk is halmazok, a pontos definícióhoz pedig itt jön most egy kis unalmas elméleti bűvészkedés.
Az x és y által alkotott rendezett pár egy halmaz.
Ez a halmaz itt:
Az y és x által alkotott rendezett pár pedig egy másik halmaz.
A definíció nagyon ravasz, mert a régóta használt halmaz fogalomra vezeti vissza a rendezett pár fogalmát…
Közben pedig benne van a rendezett párnak az a tulajdonsága is, hogy a két elem sorrendje számít.
És most készítsük el az összes olyan rendezett párt, aminek az első eleme az A halmazból van, a második eleme pedig a B-ből…
Hát, még jó sok van…
A hét minden napjához tartozik 4 lehetőség:
Ez összesen 28 darab rendezett pár.
Na, még írjuk ide az utolsót…
És most a rendezett párokat betesszük szépen egy halmazba…
Ezt a halmazt hívjuk az A és B halmazok Descartes-szorzatának.
Vannak, akik úgy hívják, hogy direkt-szorzat. Ezt könnyebb leírni…
Az A és B halmazok Descartes-szorzata tehát úgy működik, hogy elkészítjük az összes lehetséges rendezett párt, aminek az első elemét A-ból vesszük, a másodikat pedig B-ből.
Hogyha például itt vannak ezek a halmazok…
akkor a Descartes-szorzatuk…
Az A és B halmazok Descartes-szorzatának elemszáma mindig a két halmaz elemszámának a szorzata.
Van itt ez az A halmaz…
És nézzük meg, mi történik akkor, hogyha megszorozzuk önmagával.
Hogyha az A halmazba betesszük még a 4-et is…
Akkor a helyzet már valahogy így néz ki.
Valahonnan mintha már ismerős lenne ez…
Ja meg is van, hogy honnan.
Hogyha az A halmaz éppen a valós számok halmaza, vagyis R…
akkor az RxR Descartes szorzat épp a koordinátarendszert adja.
Most pedig lássuk, mire használhatnánk a Descartes-szorzatot, jóra vagy rosszra…
Ha meg szeretnénk mondani, hogy egy héten milyen lesz az idő…
akkor szükségünk lesz hét darab rendezett párra.
Ezeket a rendezett párokat az A és B halmazok Descartes-szorzatából választjuk ki.
Minden napra csak egy elemet választhatunk.
Ezt jó lenne valahogy megüzenni a meteorológusoknak is…
Hogyha ugyanis mondjuk keddre két elemet is választunk…
na, akkor most esernyőt vigyünk vagy fürdőruhát?
A jó előrejelzés titka az, hogy ugyanarra a napra nem jósol két különböző időjárást…
Vagyis, ha van egy és egy akkor szükségképpen .
Hogyha ez varázslatos dolog teljesül, azt úgy nevezzük, hogy függvény.
Az f halmazt függvénynek nevezzük, ha minden eleme rendezett pár, és ha és akkor szükségképpen .
Ha keddre két elemet is választunk, akkor ez nem függvény.
Hogyha viszont csak egyet, akkor igen.
Ez azt jelenti, hogy a hét minden napjához hozzárendelünk valamilyen időjárást.
És ezzel eljutottunk az általános iskolából ismert függvény-ábrához.
Ez jó jel, ezek szerint, amit általános iskolában tanulunk, annak van értelme.
Rögtön folytatjuk.
