Valószínűségszámítás epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogyan lehet integrálni összetett függvényeket. Az összetett függvények integrálása sok esetben sajnos reménytelen vállalkozás. Nem rendelkezik például elemi primitívfüggvénnyel a sin(x2) vagy épp a cos(x2) függvény sem. A helyzet akkor válik reménytelivé, ha az összetett függvény még meg van szorozva a belső függvény deriváltjával. Az ilyen esetekre ugyanis egy nagyon egyszerű integrálási szabály létezik. Tehát azokat az összetett függvényeket tudjuk könnyedén integrálni, amelyek f(g(x)*g'(x) alakúak. Ha az integrálandó függvény nem ilyen, akkor mindent meg kell tennünk annak érdekében, hogy ilyenné alakítsuk. Ez van amikor sikerül, és ezekben az esetekben tudjuk használni az S4 nevű képletet, és van amikor nem sikerül. Ha nem sikerül, akkor a helyettesítéses integrálás lehet az utolsó reményünk, amit egy későbbi epizódban mutatunk be.
Ez a tétel tulajdonképpen az összetett függvények integrálásáról szól. Csak sajnos az a gond az összetett függvényekkel, hogy az integrálásuk általában elég reménytelen vállalkozás.
Nem rendelkezik elemi primitívfüggvénnyel ezek közül a függvények közül egyik sem:
Ezeket az integrálokat tehát sajna nem tudjuk kiszámolni. Úgy értem nem ma, hanem egyáltalán. A helyzetünk akkor válik reménytelivé, ha ezek a függvények meg vannak szorozva a belső függvényeik deriváltjával.
néhány speciális esetet érdemes megjegyeznünk
Íme itt van hozzájuk pár feladat.
Vannak aztán olyan esetek is, amikor bele kell fektetnünk egy kis energiát, hogy minden stimmeljen.
alak eléréséhez.
Általában két lehetőség van.
A könnyebbik, amikor csak konstansban tér el az integrálandó függvény a reményteli állapottól, a másik, amikor már x-et tartalmazó tényezők is eltérnek.
Ha csak konstansbeli eltérés mutatkozik, az könnyen megoldható:
PÉLDÁK:
A másik lehetőség, már jóval kellemetlenebb. Nézzünk rá egy példát!
Első ránézésre ez egy
típusú esetnek tűnik, csakhogy van egy kis gond.
Itt ugyanis a kitevő deriváltjának kéne lennie, de az x2 deriváltja 2x.
Innen jön az ötlet, hogy ha ott 2x-nek kellene lennie, hát akkor írjunk oda 2x-et.
Persze így megváltoztatjuk a feladatot. Ahhoz, hogy ne változzon meg, ha beszorzunk 2x-el akkor el is kell vele osztani.
Be is szoroztunk 2x-el és el is osztottunk 2x-el, így az eredeti feladat nem változott meg.
Viszont itt megjelent a kitevő deriváltja, tehát most már tudjuk integrálni.
Az egetlen kérdés, hogy mihez kezdünk ezzel a résszel.
Parciálisan fogunk integrálni.
Itt még egy kicsit integrálunk, aztán kész is.
Valószínűségszámítás epizód