Matematika alapok 1
A kurzus 16 szekcióból áll: Komplex számok, Függvények ábrázolása, függvénytranszformációk, Összetett függvény és inverzfüggvény, Sorozatok, Küszöbindex és monotonitás, Sorok, Függvények határértéke és folytonossága, A függvényhatárérték precíz definíciója, Deriválás, Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete, Szélsőértékfeladatok, könnyű függvényvizsgálatok, Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok, Határozatlan integrálás, Határozott integrálás, Vektorok, koordináták, térelemek, Kétváltozós függvények
Komplex számok
- -
Komplex számok összeadásakor összeadjuk a valós részeket és külön összeadjuk a képzetes részeket. Kivonáskor külön kivonjuk egymásból a valós részeket és a képzetes részeket.
- -
Egy képlet az a+bi alakú komplex számok szorzásához.
- -
A komplex számok egy valós és egy imaginárius (képzetes) számból épülnek föl. A valós számok a szokásos x tengelyen helyezkednek el, míg az imaginárius számok egy erre merőleges y tengelyen, amit imaginárius tegelynek, vagy képzetes tengelynek nevezünk.
- -
Olyan számok, amelyek valós és képzetes részből épülnek fel.
- -
A valós számokat úgy érdemes elképzelni, mint egy koordinátarendszer x tengelyét. És minden helyet ki is töltenek a valós számok ezen a számegyenesen. A komplex számok egy valós és egy imaginárius (képzetes) részből épülnek föl, és szemléltetésükhöz nem egy, hanem két koordinátatengelyre van szükség. Az x tengelyen vannak a valós számok, az y tengelyen pedig az imaginárius, vagyis a képzetes számok. A valós számok tengelyén az egység a szokásos 1, míg az imaginárius számok tengelyén az egység az i. A kétb tengely által kifeszített síkot nevezzük komplex számsíknak, vagy másknt Gauss-féle számsíknak.
- -
A komplex szám tükörképe az x tengelyre.
- -
Egy komplex szám abszolútértéke az origotól mért távolsága.
- -
A komplex számok osztását, szorzását és hatványozását megkönnyítő forma.
- -
Képlet komplex számok szorzásához és osztásához, ha azok trigonometrikus alakban vannak megadva.
- -
Egy képlet komplex számok hatványozásához, ha a komplex szám trigonometrikus alakban van.
- -
Egy képlet komplex számok gyökvonásához, ha a komplex szám trigonometrikus alakban van.
- -
Képlet komplex számok szorzásához és összeadásához, ha a komplex számok exponenciális alakban vannak megadva.
- -
Egy képlet komplex számok hatványozásához, ha a komplex szám exponenciális alakban van.
- -
Egy képlet komplex számok gyökvonásához, ha a komplex szám exponenciális alakban van.
Függvények ábrázolása, függvénytranszformációk
- -
A függvény értékkészlete azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban, amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.
- -
Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.
- -
Megnézzük, hogy melyik függvény hogyan néz ki, aztán megnézzük a külső és belső függvénytranszformációkat. Eltolás az x tengely mentén, eltolás az y tengely mentén, tükrözés, nyújtás.
- -
A függvény monotonitása lehet növekedő, csökkenő, szigorúan monton növekedő vagy szigorúan monoton csökkenő.
- -
Globális és lokális maximumok és minimumok.
- -
A függvény konvexitása megmondja, hogy a függvény szomorú vagy vidám hangulatban van.
- -
Mikor páros, mikor páratlan vagy éppen egyik sem egy függvény.
- -
Lássuk mik azok a polinomfüggvények, és hogyan kell őket ábrázolni.
Összetett függvény és inverzfüggvény
- -
Ha két függvényt egymásba ágyazunk, összetett függvényt kapunk.
- -
A függvény hozzárendelésének megfordításával kapjuk a függvény inverzfüggvényét, amennyiben a megfordított hozzárendelés is egy egyértelmű hozzárendelés.
Sorozatok
- -
Nevezetes 0-hoz tartó sorozatok.
- -
Nevezetes végtelenhez tartó sorozatok.
- -
Nevezetes gyökös sorozatok határértéke.
- -
Exponenciális kifejezések határértéke.
- -
Egy nevezetes sorozatcsalád, az e-hez tartó sorozatok.
- -
Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük. Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük. Az ugráló sorozatokat oszcillálónak nevezzük. Lássunk néhány példát.
- -
Ha két rendőr közrefog egy honpolgárt és a két rendőr konvergál a rendőrőrsre, akkor az általuk közrefogott honpolgárnak is szükségképpen konvergálnia kell a rendőrőrsre..
- -
- -
A végtelenbe tartó sorozatok nagyságrendi sorrendje azt mondja meg, hogy melyik sorozat milyen ütemben tart a végtelenbe. Minél nagyobb nagyságrendű egy sorozat, annál gyorsabban tart a végtelenbe
- -
Egy sorozatnak torlódási pontja az A szám, ha bármilyen kis környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja van.
- -
Egy sorozat limesz inferiorja a torlódási pontjainak infinuma. A limesz szuperiorja a torlódási pontjainak szuprémuma.
Küszöbindex és monotonitás
- -
A sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.
- -
Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.
- -
Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük.
- -
A sorozat monotonitása lehet monton nő, monoton csökkenő, szigorúan monoton nő, szigorúan monoton csökkenő.
Sorok
- -
A mértani sor képlete, példák mértani sorokra.
- -
Egy végtelen sor akkor konvergens, ha részletösszegsorozata konvergens.
- -
Ha egy sorozat határértéke nem 0, akkor a belőle képzett sor divergens.
- -
Speciális sorok.
- -
Egy másik fontos konvergenciakritérium, ami az n-edik tag n-edik gyökének segítségével dönti el a konvergenciát.
- -
Egy fontos konvergenciakritérium, amely az n+1-edik tag és az n-edik tag hányadosával dönti el a konvergenciát.
- -
Speciális sorok.
- -
A sorok konvergenciájának megállapítására vonatkozó képletek.
- -
Tört hatványának sorának konvergenciája a hatványkitevőtől függően.
- -
Olyan sorok, amelyek valójában az első és az utolsó tagon kívül semmilyen más tagot nem tartalmaznak.
- -
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.
- -
A hatványsorok konvergenciájának vizsgálata.
Függvények határértéke és folytonossága
- -
Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.
- -
Függvények szakadása négy féle lehet: megszüntethető szakadás, ugrás, nem megszüntethető, nem véges szakadás, nem megszüntethető oszcilláló szakadás.
A függvényhatárérték precíz definíciója
- -
Lássuk mi is az a függvényhatárérték!
- -
Lássuk mi is az a függvényhatárérték!
Deriválás
- -
Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.
- -
A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.
- -
Konstans deriváltja, polinomok deriválási szabálya. Az exponenciális és logaritmus függvények deriválása. Trigonometrikus függvények deriváltjai.
- -
Függvény konstansszorosának, két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriválási szabályai. Összetett függvények deriválási szabálya.
- -
A lánc-szabály az összetett függvények deriválási szabálya.
Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- -
Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.
- -
A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.
- -
A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.
Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- -
Az első derivált azt írja le, hogy a függvény mikor nő és mikor csökken.
- -
A második derivált a függvény hangulatát írja le, ha pozitív, akkor a függvény vidám, ha negatív, akkor szomorkodik.
- -
A deriválás után megállapítjuk a derivált előjelét. Amikor a derivált nulla, olyankor stacionárius pont van.
- -
Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.
Határozatlan integrálás
- -
Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.
- -
Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.
- -
Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.
- -
Integráláskor a konstans szorzó kivihető.
- -
Összeget külön-külön is integrálhatunk.
- -
Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.
- -
Szorzat integrálásának egy speciális esete, amikor a függvény n-edik hatványon van és meg van szorozva a deriváltjával.
- -
Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.
- -
Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.
- -
Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.
- -
Törtek integrálásának egy speciális esete, amikor a tört számlálója a nevező deriváltja.
- -
A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.
Határozott integrálás
- -
A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
- -
Egy zárt intervallumon értelmezett függvény akkor Riemann integrálható, ha egyetlen olyan szám létezik, amely bármely alsó közelítő összegénél nagyobb egyenlő, és bármely felső közelítő összegénél kisebb egyenlő.
- -
Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása egy fontos függvénnyel.
- -
Forgástestek térfogatának és felszínének képletei határozott integrálással.
Vektorok, koordináták, térelemek
- -
Vektorok összeadásakor összeadjuk az x koordinátákat és összeadjuk az y koordinátákat. Kivonáskor vesszük az x koordináták különbségét és az y koordináták különbségét.
- -
Egy vektor hosszát megkapjuk, ha vesszük a koordinátái négyzetösszegének a gyökét. Két pont távolsága az őket összekötő vektor hossza.
- -
Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.
- -
Két vektor skaláris szorzata a vektorok hosszának szorzata a közbezárt szögük koszinuszával.
- -
Egy vektor 90°-os elforgatásához megcseréljük a két koordinátáját és az egyik előjelét megváltoztatjuk.
- -
Két vektor skalárisszorzatát kiszámolhatjuk a vektorok hosszának és hajlásszögének segítségével, illetve a vektorok koordinátáival is.
- -
Két vektor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0.
- -
Az egyenes egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.
- -
A sík egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.
- -
Két pont közti vektort a vektorok koordinátáinak különbségével írhatunk fel.
- -
Két pont távolsága gyök alatt a koordináták különbségeinek négyzetösszege.
- -
Az egyenes egyenletének felírásához a síkban szükségünk van az egyenes egy pontjára és a normálvektorára.
- -
A sík egyenletének felírásához kell a sík egy pontja és a normálvektora.
- -
Két vektor vektoriális szorzatát egy 3x3-as mátrix determinánsával számíthatjuk ki, ahol a mátrix első sora egységvektorok, a második és harmadik sora pedig az a és b vektorok.
- -
Két vektor vektoriális szorzata egy olyan harmadik vektort ad, ami merőleges a két vektor által kifeszített síkra.
Kétváltozós függvények
- -
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.
- -
A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.
- -
A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.
- -
Egy általános módszer, amivel kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait lehet meghatározni
- -
Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.
- -
Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.
- -
másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.