10 témakör, 254 rövid és szuper érthető epizód

Ez az ütős Matek 2 SZE kurzus segít mindent azonnal megérteni és sikeresen vizsgázni. 254 rövid és szuper-érthető epizód segítségével 10 témakörön keresztül vezet végig az őrülten jó Matek 2 SZE rögös útjain. Mindezt olyan laza stílusban, mintha csak a rántotta elkészítésének problémájáról lenne szó.

Tartalomjegyzék: 

A kurzus 10 szekcióból áll: Határozatlan integrálás, primitív függvény, Határozott integrálás, improprius integrál, Paraméteres síkgörbék, Differenciálegyenletek, Sorok & hatványsorok & Taylor-sorok, Mátrixok, vektorok, vektorterek, Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze, Determináns, sajátérték, sajátvektor, leképezések, Kétváltozós függvények, Kettős és hármas integrál

Határozatlan integrálás, primitív függvény

Határozott integrálás, improprius integrál

  • -

    A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

  • -

    Egy zárt intervallumon értelmezett függvény akkor Riemann integrálható, ha egyetlen olyan szám létezik, amely bármely alsó közelítő összegénél nagyobb egyenlő, és bármely felső közelítő összegénél kisebb egyenlő.

  • -

    Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása egy fontos függvénnyel.

  • -

    Forgástestek térfogatának és felszínének képletei határozott integrálással.

Paraméteres síkgörbék

  • -

    A ciklois egy olyan görbe, amelyet egy irányított görbén csúszás nélkül legördülő kör egy meghatározott pontja ír le.

  • -

    A görbe ívhossza egy differencálható görbe szakaszának a hossza.

  • -

    A paraméteres görbe egyenlete a görbén mozgó pont pillanatnyi koordinátáit írja le. A paraméteres görbe deriválásával kapjuk a $v(t)$ sebességvektort, ami minden időpillanatban megadja a görbén mozgó $P$ pont sebességének irányát és nagyságát.

  • -

    Binormálisvektornak nevezzük a görbe sebességvektorával és gyorsulásvektorával alkotott szorzatot.

  • -

    Az $r(t)$ paraméteres görbe első deriváltja a görbe érintővektora vagy más néven sebességvektora.

  • -

    Az $r(t)$ paraméteres görbe második deriváltja a görbe gyorsulásvektora. Ha ezt elosztjuk a saját hosszával, az így keletkező egységnyi hosszú vektor a görbe főnormálisvektora.

  • -

    A $\underline{T}(t)$, $\underline{N}(t)$ és $\underline{B}(t)$ vektorok együttes elnevezése kísérő triéder.

  • -

    Az $r(t)$ paraméteres görbe második deriváltja a gyorsulást írja le. Ezek a vektorok egy síkot feszítenek ki, ezt a síkot a görbe simulósíkjának nevezzük.

  • -

    A görbület azt írja le, hogy a simulósíkon belül milyen erősen kanyarodik a görbe. A térgörbék azonban nem csak a simulósíkon belül kanyarodnak, hanem közben ki is csavarodnak abból. Azt, hogy egy térgörbe éppen milyen ütemben csavarodik ki a simulósíkjából, a torzió írja le.

  • -

    A paraméteres görbe görbülete a görbe egyenestől való eltérését jellemző számérték.

  • -

    A simulókörök középpontjai által kirajzolt alakzatot evolutának hívjuk.

  • -

    Hogyha a görbének egy $P$ pontjában létezik nem nulla görbülete, akkor azt a kört, amel a $P$-ben érinti a görbét és a görbülete megegyezik a görbe $P$-beli görbületével és a középpontja a görbe konkáv részében található, a görbe $P$ pontbeli simulókörének nevezzük.

  • -

    Az ellipszis egy olyan görbe, amely azon pontok mértani helye egy síkon, ahol a pontok két rögzített ponttól mért távolságának összege a két pont távolságánál nagyobb állandó.

  • -

    A hiperbola azon pontok halmaza, melyeknek két rögzített ponttól való távolságának különbségének abszolút értéke állandó.

Differenciálegyenletek

Sorok & hatványsorok & Taylor-sorok

Mátrixok, vektorok, vektorterek

  • -

    mátrixok rendkívül barátságosak. Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.

  • -

    Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.

  • -

    Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.

  • -

    Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

  • -

    Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

  • -

    Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)

  • -

    A mátrix összeadás kommutatív és asszociatív.

  • -

    A mátrixszorzás nem kommutattív, de asszociatív.

  • -

    A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.

  • -

    Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.

  • -

    Az inverz mátrix egy olyan mátrix, hogy ha azzal szorozzuk az eredeti mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk. Ha balról szorozva kapunk egységmátrixot, akkor bal inverz, ha jobbról szorozva, akkor jobb inverz mátrix.

  • -

    A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.

  • -

    Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

  • -

    A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése.

  • -

    Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.

  • -

    skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.

  • -

    Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.

  • -

    Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.

  • -

    Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.

  • -

    Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.

  • -

    Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.

  • -

    Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak egy oszlopában lévő elemeit.

  • -

    Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.

  • -

    Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak sorait.

  • -

    Az egyenes egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.

  • -

    Az egyenes egyenletének felírásához a síkban szükségünk van az egyenes egy pontjára és a normálvektorára.

  • -

    Két pont közti vektort a vektorok koordinátáinak különbségével írhatunk fel.

  • -

    Két pont távolsága gyök alatt a koordináták különbségeinek négyzetösszege.

  • -

    A sík egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.

  • -

    A sík egyenletének felírásához kell a sík egy pontja és a normálvektora.

  • -

    Két vektor vektoriális szorzatát egy 3x3-as mátrix determinánsával számíthatjuk ki, ahol a mátrix első sora egységvektorok, a második és harmadik sora pedig az a és b vektorok.

  • -

    Két vektor vektoriális szorzata egy olyan harmadik vektort ad, ami merőleges a két vektor által kifeszített síkra.

  • -

    A vektorösszeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és létezik ellentett. A skalárszoros asszociatív, disztributív a vektorokra és a skalárokra is, és létezik egységszeres.

  • -

    Egy vektorrendszer akkor lineárisan független, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

  • -

    Egy vektorrendszer akkor lineárisan összefüggő, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor úgy is elő tud állni, hogy nem minden szorzótényező 0.

  • -

    A bázis független generátorrendszer.

  • -

    Egy vektorrendszer akkor alkot független rendszert, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

  • -

    Vektorok generátor-rendszert alkotnak, ha minden vektortérbeli vektor elő áll az ő lineáris kombinációjuként.

  • -

    Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok maximális száma

  • -

    W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.

  • -

    Egy vektor akkor állítható egy vektorrendszerrel, ha előáll azon vektorok lineáris kombinációjaként.

Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze

Determináns, sajátérték, sajátvektor, leképezések

  • -

    Egy 2x2-es mátrix determinánsát úgy kapjuk, hogy a bal átló elemeinek szorzatából kivonjuk a jobb átló elemeinek szorzatát.

  • -

    A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.

  • -

    Egy túl jó módszer a determináns kiszámolására.

  • -

    Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.

  • -

    Példák mikor nulla egy mátrix determinánsa. Két mátrix szorzatának determinánsa.

  • -

    Azokat a mátrixokat nevezzük regulárisnak, amelyek determinánsa nem nulla.

  • -

    Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla.

  • -

    A Cramer szabály egy újabb módszer az egyenletrendszerek megoldására.

  • -

    A sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet.

  • -

    A mátrix főátló elemeiből kivonunk $\lambda$-kat, majd ennek vesszük a determinánsát.

  • -

    Egy mátrix sajátértéke egy valós szám, amely azt mondja meg, hogy a sajátvektor hányszorosát kapjuk akkor, ha azt a mátrixszal szorozzuk.

  • -

    Egy mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, ami azt tudja, hogy megszorozva a mátrixszal az eredeti vektor skalárszorosát kapjuk. Ez igazán remek, de, hogy pontosan miért, nos ez mindjárt kiderül.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor a mátrix diagonizálható.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix spektrálfelbontását.

  • -

    Egy mátrix főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

  • -

    Egy nxn-es mátrix indefinit, ha van nullánál nagyobb és nullánál kisebb sajátértéke is..

  • -

    Egy nxn-es mátrix negatív definit, ha minden sajátértéke negatív.

  • -

    Egy nxn-es mátrix negatív szemidefinit, ha minden sajátértéke kisebb vagy egyenlő 0.

  • -

    Egy nxn-es mátrix pozitív definit, ha minden sajátértéke pozitív.

  • -

    Egy nxn-es mátrix pozitív szemidefinit, ha minden sajátértéke nagyobb vagy egyenlő 0.

  • -

    Egy mátrix sarok főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

  • -

    Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...

  • -

    A kvadratikus alakok mátrixa segít eldönteni a definitséget.

  • -

    A képtér és a magtér dimenzióinak összege éppen $V_1$ dimenziója.

  • -

    A képtér egy olyan altér $V_2$-ben, amely azokból a vektorokból áll, amiket a $V_1$-beli vektorokból csinál a leképezés.

  • -

    A lineáris leképezés egy test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény.

  • -

    Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal.

  • -

    A magtér egy olyan altér $V_1$-ben, amelyek képe a leképezés során nullvektor.

  • -

    Egy leképezésnek akkor létezik inverze, ha a leképezés mátrixának létezik inverze.

  • -

    Két leképezés kompozíciója a mátrixaik szorzata.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

  • -

    Ha a mátrixnak létezik diagonális alakja, akkor van sajátbázisa, ami fantasztikus dolgokra képes.

  • -

    A lineáris leképezések másnéven homomorfizmusok. Ezek a homomorfizmusok és azok mátrixai maguk is egy vektorteret alkotnak, ezt a vektorteret $Hom(V_1, V_2)$-nek nevezzük.

  • -

    Az A és B mátrixok hasonlók, ha létezik egy C mátrix, amivel ha jobbról szorozzuk a B-t, balról pedig a C inverzével szorozzuk, akkor ennek eredménye A.

Kétváltozós függvények

  • -

    A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

  • -

    A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

  • -

    A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.

  • -

     másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.

  • -

    Egy általános módszer, amivel kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait lehet meghatározni

  • -

    Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

  • -

    Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

  • -

    A sík azon pontjainak összességét, amelyekben az $f$ függvény ugyanazt a konstans értéket veszi fel, az $f$ függvény szintvonalának nevezzük.

  • -

    Az egyváltozós függvények mintájára bevezetjük az érintő fogalmát. Ez esetben most egy sík lesz az érintő.

  • -

    A parciális deriváltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.

  • -

    Azt mondja meg, hogy egy adott irányban haladva milyen meredeken emelkedik a felület. Nagyon érdekes. Az iránymenti derivált nagyon érdekes.

  • -

    Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.

  • -

    Megismerkedünk az implicit függvényekkel, és ha már megismerkedtünk, nézzük meg, hogyan lehet deriválni őket.

Kettős és hármas integrál