Ez az ütős Matek 1 kurzus segít mindent azonnal megérteni és sikeresen vizsgázni. 275 rövid és szuper-érthető epizód és 29 teszt segítségével 16 témakörön keresztül vezet végig az őrülten jó Matek 1 rögös útjain. Mindezt olyan laza stílusban, mintha csak a rántotta elkészítésének problémájáról lenne szó.
A kurzus 16 szekcióból áll: Függvények és inverz függvények, Vektorok, koordináták, térelemek, Komplex számok, Sorozatok, Küszöbindex és monotonitás, Sorok, Függvények határértéke és folytonossága, A függvényhatárérték precíz definíciója, Deriválás, Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete, L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom, Szélsőértékfeladatok, könnyű függvényvizsgálatok, Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok, Határozatlan integrálás, Határozott integrálás, Kétváltozós függvények
FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA ÉS FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK
- Értelmezési tartomány, értékkészlet - Azokat a szerencsés x-eket, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot, a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Azokat az y-okat pedig, amelyeket hozzárendel értékkészletnek.
- Függvénytranszformációk - Külső és belső transzformációk.
- Eltolás és tükrözés - Tükrözés az x tengelyre és tükrözés az y tengelyre.
EXPONENCIÁLIS ÉS LOGARITMUS FÜGGVÉNYEK
- Exponenciális azonosságok - Lássuk a legfontosabb hatványazonosságokat.
- Exponenciális egyenletek - Megoldunk néhány exponenciális egyenletet.
- Exponenciális függvények - Az exponenciális függvények áttekintése.
- Logaritmus azonosságok - Lássuk a legfontosabb logaritmus azonosságokat.
- Logaritmikus egyenletek - Megoldunk néhány logaritmikus egyenletet.
- Logaritmus függvények - A logaritmus függvények áttekintése.
TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK ÉS AZ EGYSÉGKÖR
- Az egységkör - Az egységkör egy origo középpontú egységnyi sugarú kör és marhajó dolgokra képes...
- Kezdő sugár - Az egységkörben az x tengely irányába mutató sugárirány, innen kezdjük mérni a forgásszöget.
- Forgásszög - A kezdő sugártól mért szög.
- Koszinusz - Az egységkörben az egységvektor x koordinátája.
- Szinusz - Az egységkörben az egységvektor y koordinátája.
- Trigonometrikus függvények - Lássuk milyen trigonometrius függvények vannak.
- Periodikus függvények - Olyan függvények, amelyek időről időre megismétlik önmagukat.
- Trigonometrikus egyenletek - Lássuk hogyan kell megoldani trigonometrikus egyenleteket.
- Magasabb fokú trigonometrikus egyenletek - Néhány izgalmas feladat.
INVERZ FÜGGVÉNY
- Az inverz függvény - Lássuk hogyan kell kiszámolni az inverzt.
- Néhány fontosabb függvény inverze - Fontosabb függvények inverze és az inverz geometriai jelentése.
KOMPLEX SZÁMOK
- Valós számok - A számegyenes minden pontja egy valós szám.
- Imaginárius számok - Nekik már nincs hely a számegyenesen, így egy arra merőleges tengelyre helyezzük el őket. Ezt nevezzük imaginárius tengelynek.
- Komplex számok - Olyan számok, amelyek valós és képzetes részből épülnek fel.
- Műveletek komplex számokkal - Lássuk milyen műveleteket tudunk velük végezni.
- Komplex Konjugált - A komplex szám tükörképe az x tengelyre.
- Az algebra alaptétele - Minden polinom komplexben elsőfokú tényezők szorzatára bontható.
- Komplex számok abszolútértéke - Egy komplex szám abszolútértéke az origotól mért távoldága.
- A komplex számsík - Halmazok a komplex számsíkon.
- Algebrai alak - A komplex számok algebrai alakja.
- A trigonometrikus alak - A komplex számok osztását, szorzását és hatványozását megkönnyítő forma.
- Moivre formulák - A szorzásra, osztásra és hatványozásra vonatkozó azonosságok.
- Gyökvonás komplexben - A gyökvonás azonosságai.
SOROZATOK
- Sorozatok indexe - A sorozatok indexe azt mondja meg nekünk, hogy éppen hányadik tagnál járunk.
- Sorozatok határértéke - A sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.
- Nevezetes sorozatok - Exponenciális sorozatok határértéke, polinomiális sorozatok határértéke, gyökös sorozatok határértéke.
- Határérték és műveletek - Két sorozat összegének határértéke, két sorozat szorzatának határértéke, két sorozat hányadosának határértéke.
- A határérték kiszámolása - A törtes sorozatok határértékének kiszámolása: mindig a nevező legerősebb tagjával osztunk.
- Gyökös sorozatok - Lássuk mi a teendő gyökös sorozatok és ronda gyökös sorozatok esetén.
- e-hez tartó sorozatok - Egy nevezetes sorozatcsalád, az e-hez tartó sorozatok.
- Konvergens sorozatok - Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.
- Divergens sorozatok - Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensenk nevezzük.
- Oszcilláló sorozatok - Az ugráló sorozatokat oszcillálónak nevezzük. Lássunk néhány példát.
SOROK
- Mik azok a végtelen sorok? - A bolha ugrásai a számegyenesen.
- Konvergens és divergens sorok - Mikor konvergens és mikor divergens egy sor?
- A mértani sor - A mértani sor képlete, példák mértani sorokra.
- A mértani sor összegképlete - A mértani sorok összegének kiszámolása.
- Konvergenciakritériumok - A sorok konvergenciájának megállapítására vonatkozó képletek.
- Hányados-kritérium - Egy fontos konvergenciakritérium.
- Gyök-kritérium - Egy másik fontos konvergenciakritérium
FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
- Függvényhatárérték - Lássuk mi is az a függvényhatárérték!
- Határérték kiszámolása - Néhány remek módszer a függvények határértékének kiszámolására.
- Racionális törtfüggvények határértéke - Racionális törtfüggvényeknél előforduló 0/0 és szám/0 típusú határértékek kiszámolásának módszerei.
- Trigonometrikus függvények határértéke - Beszéljünk egy kicsit a trigonometrikus függvények határértékéről. Néhány nevezetes határérték, élükön a sinx/x típusúval.
FOLYTONOSSÁG
- Függvények folytonossága - Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.
- Szakadás - Ha egy adott pontban a függvényérték és a határérték nem egyezik meg, akkor a függvénynek szakadása van az adott pontban. Ennek számos típusa lehet...
- Megszüntethető szakadás - Ez olyankor van, ha a függvénynek létezik határértéke az adott pontban, de az nem egyezik meg a függvényértékkel.
- Ugrás - Ez olyankor van, ha a függvénynek nem létezik határértéke az adott pontban, de van jobb és bal oldali véges határértéke.
- Nem megszüntethető nem véges szakadás - Ez olyankor van, ha a függvénynek nem véges a határértéke az adott pontban.
- Nem megszüntethető oszcilláló szakadás - Ez mindegyik közül a legszörnyűbb eset, ilyenkor a függvénynek jobb és bal oldali határértéke sincs.
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
- Mi az a deriválás? - A derivált a függvény grafikonjához húzott érintő meredeksége. Lássuk a sztorit..
- A deriválás definíciója - A deriválás bemutatása és a precíz definíció.
- Differencia hányados - A szelő meredeksége a differencia hányados.
- Differenciál hányados - Az érintő meredeksége a differenciál hányados.
- Alapderiváltak - Fontosabb függvények deriváltjai.
- Deriválási szabályok - Összeg, szorzat és hányados függvények deriváltjai.
- Lánc-szabály - Egy csodálatos szabály az összetett függvények deriválására.
- Összetett függvények deriválása - Példák összetett függvények deriválására.
A TELJES FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT
- Az első derivált és a monotonitás - Az első derivált azt írja le, hogy a függvény mikor nő és mikor csökken.
- A második derivált és a konvexitás - A második derivált a függvény hangulatát írja le, ha pozitív, akkor a függvény vidám, ha negatív, akkor szomorkodik.
- Stacionárius pontok és a derivált előjele - A deriválás után megállapítjuk a derivált előjelét. Amikor a derivált nulla, olyankor stacionárius pont van.
- A függvény grafikonja - Lássuk, hogyan kell megrajzolni a függvény grafikonját.
- Gazdasági feladatok - Néhány izgalmas gazdasági feladat.
INTEGRÁLÁS, PRIMITÍV FÜGGVÉNY
- Határozott és határozatlan integrálás - A határozott integrálással függvények görbéje alatti területeket tudunk kiszámolni, míg a határozatlan integrálással az úgynevezett primitív függvényt tudjuk meghatározni. A kétféle integrálás között a Newton-Leibniz formula létesít kapcsolatot.
- Primitív függvény - Egy f(x) függvény primitív függvénye az a F(x) függvény, amelyet deriválva f(x)-et kapjuk.
- Newton-Leibniz formula - A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
- Alapintegrálok - Tekintsük át a fontosabb függvények integráljait.
- Integrálási szabályok - Lássuk, milyen integrálási szabályok vannak...
- Szorzatok integrálása - Lássuk, milyen módszerek vannak szorzatok integrálására.
- Törtek integrálása - Lássuk, milyen módszerek vannak törtek integrálására.
- Parciális integrálás - Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.
- Összetett függvények integrálása - Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.
- Helyettesítéses integrálás - Bizonyos esetekben érdemes bevezetni egy helyettesítést, amivel az integrálás egyszerűbbé válik. Nézzük meg, hogyan!
HATÁROZOTT INTEGRÁLÁS
- Határozott és határozatlan integrálás - A határozott integrálással függvények görbéje alatti területeket tudunk kiszámolni, míg a határozatlan integrálással az úgynevezett primitív függvényt tudjuk meghatározni. A kétféle integrálás között a Newton-Leibniz formula létesít kapcsolatot.
- Primitív függvény - Egy f(x) függvény primitív függvénye az a F(x) függvény, amelyet deriválva f(x)-et kapjuk.
- Newton-Leibniz formula - A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
- Két függvény közötti terület kiszámolása - Néhány tipikus feladat két függvény grafikonjai által közrezárt terület kiszámítására.
- Improprius integrál - Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása.
KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
- Mik azok a kétváltozós függvények? - Néhány elképesztően izgalmas példa kétváltozós függvényekre.
- Lokális szélsőértékek - A kétváltozós függvények minimumai és maximumai olyanok, mint hegycsúcsok és völgyek.
- Nyeregpont - Ez egy speciális pont a kétváltozós függvények felületén, amely bizonyos irányok szerint maximum, míg más irányok mentén minimum.
- Parciális deriválás - A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.
- x szerinti derivált - A kétváltozós függvény azon parciális deriváltja, ahol x-et tekintjük változónak.
- y szerinti derivált - A kétváltozós függvény azon parciális deriváltja, ahol y-t tekintjük változónak.
- Másodrendű deriváltak - Az első deriváltak tovább deriválása újra parciális deriválással történik. Így négy darab másodrendű deriváltat kapunk. Két tiszta másodrendű deriváltat és két vegyes másodrendű deriváltat.
- Young tétel - A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.
- Stacionárius pont - Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.
- Hesse mátrix - A másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen gyeregpontja van-e.