Matek 1

FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA ÉS FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK

• Értelmezési tartomány, értékkészlet - Azokat a szerencsés x-eket, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot, a függvény értelmezési tartományának nevezzük. Azokat az y-okat pedig, amelyeket hozzárendel értékkészletnek.
• Függvénytranszformációk - Külső és belső transzformációk.
• Eltolás és tükrözés - Tükrözés az x tengelyre és tükrözés az y tengelyre.

EXPONENCIÁLIS ÉS LOGARITMUS FÜGGVÉNYEK

• Exponenciális azonosságok - Lássuk a legfontosabb hatványazonosságokat.
• Exponenciális egyenletek - Megoldunk néhány exponenciális egyenletet.
• Exponenciális függvények - Az exponenciális függvények áttekintése.
• Logaritmus azonosságok - Lássuk a legfontosabb logaritmus azonosságokat.
• Logaritmikus egyenletek - Megoldunk néhány logaritmikus egyenletet.
• Logaritmus függvények - A logaritmus függvények áttekintése.

TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK ÉS AZ EGYSÉGKÖR

• Az egységkör - Az egységkör egy origo középpontú egységnyi sugarú kör és marhajó dolgokra képes...
• Kezdő sugár - Az egységkörben az x tengely irányába mutató sugárirány, innen kezdjük mérni a forgásszöget.
• Forgásszög - A kezdő sugártól mért szög.
• Koszinusz - Az egységkörben az egységvektor x koordinátája.
• Szinusz - Az egységkörben az egységvektor y koordinátája.
• Trigonometrikus függvények - Lássuk milyen trigonometrius függvények vannak.
• Periodikus függvények - Olyan függvények, amelyek időről időre megismétlik önmagukat.
• Trigonometrikus egyenletek - Lássuk hogyan kell megoldani trigonometrikus egyenleteket.
• Magasabb fokú trigonometrikus egyenletek - Néhány izgalmas feladat.

INVERZ FÜGGVÉNY

• Az inverz függvény - Lássuk hogyan kell kiszámolni az inverzt.
• Néhány fontosabb függvény inverze - Fontosabb függvények inverze és az inverz geometriai jelentése.

KOMPLEX SZÁMOK

• Valós számok - A számegyenes minden pontja egy valós szám.
• Imaginárius számok - Nekik már nincs hely a számegyenesen, így egy arra merőleges tengelyre helyezzük el őket. Ezt nevezzük imaginárius tengelynek.
• Komplex számok - Olyan számok, amelyek valós és képzetes részből épülnek fel.
• Műveletek komplex számokkal - Lássuk milyen műveleteket tudunk velük végezni.
• Komplex Konjugált - A komplex szám tükörképe az x tengelyre.
• Az algebra alaptétele - Minden polinom komplexben elsőfokú tényezők szorzatára bontható.
• Komplex számok abszolútértéke - Egy komplex szám abszolútértéke az origotól mért távoldága.
• A komplex számsík - Halmazok a komplex számsíkon.
• Algebrai alak - A komplex számok algebrai alakja.
• A trigonometrikus alak - A komplex számok osztását, szorzását és hatványozását megkönnyítő forma.
• Moivre formulák - A szorzásra, osztásra és hatványozásra vonatkozó azonosságok.
• Gyökvonás komplexben - A gyökvonás azonosságai.

SOROZATOK

• Sorozatok indexe - A sorozatok indexe azt mondja meg nekünk, hogy éppen hányadik tagnál járunk.
• Sorozatok határértéke - A sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.
• Nevezetes sorozatok - Exponenciális sorozatok határértéke, polinomiális sorozatok határértéke, gyökös sorozatok határértéke.
• Határérték és műveletek - Két sorozat összegének határértéke, két sorozat szorzatának határértéke, két sorozat hányadosának határértéke.
• A határérték kiszámolása - A törtes sorozatok határértékének kiszámolása: mindig a nevező legerősebb tagjával osztunk.
• Gyökös sorozatok - Lássuk mi a teendő gyökös sorozatok és ronda gyökös sorozatok esetén.
• e-hez tartó sorozatok - Egy nevezetes sorozatcsalád, az e-hez tartó sorozatok.
• Konvergens sorozatok - Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.
• Divergens sorozatok - Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensenk nevezzük.
• Oszcilláló sorozatok - Az ugráló sorozatokat oszcillálónak nevezzük. Lássunk néhány példát.

SOROK

• Mik azok a végtelen sorok? - A bolha ugrásai a számegyenesen.
• Konvergens és divergens sorok - Mikor konvergens és mikor divergens egy sor?
• A mértani sor - A mértani sor képlete, példák mértani sorokra.
• A mértani sor összegképlete - A mértani sorok összegének kiszámolása.
• Konvergenciakritériumok - A sorok konvergenciájának megállapítására vonatkozó képletek.
• Hányados-kritérium - Egy fontos konvergenciakritérium.
• Gyök-kritérium - Egy másik fontos konvergenciakritérium

FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE

• Függvényhatárérték - Lássuk mi is az a függvényhatárérték!
• Határérték kiszámolása - Néhány remek módszer a függvények határértékének kiszámolására.
• Racionális törtfüggvények határértéke - Racionális törtfüggvényeknél előforduló 0/0 és szám/0 típusú határértékek kiszámolásának módszerei.
• Trigonometrikus függvények határértéke - Beszéljünk egy kicsit a trigonometrikus függvények határértékéről. Néhány nevezetes határérték, élükön a sinx/x típusúval.

FOLYTONOSSÁG

• Függvények folytonossága - Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.
• Szakadás - Ha egy adott pontban a függvényérték és a határérték nem egyezik meg, akkor a függvénynek szakadása van az adott pontban. Ennek számos típusa lehet...
• Megszüntethető szakadás - Ez olyankor van, ha a függvénynek létezik határértéke az adott pontban, de az nem egyezik meg a függvényértékkel.
• Ugrás - Ez olyankor van, ha a függvénynek nem létezik határértéke az adott pontban, de van jobb és bal oldali véges határértéke.
• Nem megszüntethető nem véges szakadás - Ez olyankor van, ha a függvénynek nem véges a határértéke az adott pontban.
• Nem megszüntethető oszcilláló szakadás - Ez mindegyik közül a legszörnyűbb eset, ilyenkor a függvénynek jobb és bal oldali határértéke sincs.

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

• Mi az a deriválás? - A derivált a függvény grafikonjához húzott érintő meredeksége. Lássuk a sztorit..
• A deriválás definíciója - A deriválás bemutatása és a precíz definíció.
• Differencia hányados - A szelő meredeksége a differencia hányados.
• Differenciál hányados - Az érintő meredeksége a differenciál hányados.
• Alapderiváltak - Fontosabb függvények deriváltjai.
• Deriválási szabályok - Összeg, szorzat és hányados függvények deriváltjai.
• Lánc-szabály - Egy csodálatos szabály az összetett függvények deriválására.
• Összetett függvények deriválása - Példák összetett függvények deriválására.

A TELJES FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

• Az első derivált és a monotonitás - Az első derivált azt írja le, hogy a függvény mikor nő és mikor csökken.
• A második derivált és a konvexitás - A második derivált a függvény hangulatát írja le, ha pozitív, akkor a függvény vidám, ha negatív, akkor szomorkodik.
• Stacionárius pontok és a derivált előjele - A deriválás után megállapítjuk a derivált előjelét. Amikor a derivált nulla, olyankor stacionárius pont van.
• A függvény grafikonja - Lássuk, hogyan kell megrajzolni a függvény grafikonját.
• Gazdasági feladatok - Néhány izgalmas gazdasági feladat.

INTEGRÁLÁS, PRIMITÍV FÜGGVÉNY

• Határozott és határozatlan integrálás - A határozott integrálással függvények görbéje alatti területeket tudunk kiszámolni, míg a határozatlan integrálással az úgynevezett primitív függvényt tudjuk meghatározni. A kétféle integrálás között a Newton-Leibniz formula létesít kapcsolatot.
• Primitív függvény - Egy f(x) függvény primitív függvénye az a F(x) függvény, amelyet deriválva f(x)-et kapjuk.
• Newton-Leibniz formula - A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
• Alapintegrálok - Tekintsük át a fontosabb függvények integráljait.
• Integrálási szabályok - Lássuk, milyen integrálási szabályok vannak...
• Szorzatok integrálása - Lássuk, milyen módszerek vannak szorzatok integrálására.
• Törtek integrálása - Lássuk, milyen módszerek vannak törtek integrálására.
• Parciális integrálás - Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.
• Összetett függvények integrálása - Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.
• Helyettesítéses integrálás - Bizonyos esetekben érdemes bevezetni egy helyettesítést, amivel az integrálás egyszerűbbé válik. Nézzük meg, hogyan!

HATÁROZOTT INTEGRÁLÁS

• Határozott és határozatlan integrálás - A határozott integrálással függvények görbéje alatti területeket tudunk kiszámolni, míg a határozatlan integrálással az úgynevezett primitív függvényt tudjuk meghatározni. A kétféle integrálás között a Newton-Leibniz formula létesít kapcsolatot.
• Primitív függvény - Egy f(x) függvény primitív függvénye az a F(x) függvény, amelyet deriválva f(x)-et kapjuk.
• Newton-Leibniz formula - A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
• Két függvény közötti terület kiszámolása - Néhány tipikus feladat két függvény grafikonjai által közrezárt terület kiszámítására.
• Improprius integrál - Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása.