- Függvények és inverz függvények
- Vektorok, koordináták, térelemek
- Komplex számok
- Sorozatok
- Küszöbindex és monotonitás
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A függvényhatárérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom
- Szélsőértékfeladatok, könnyű függvényvizsgálatok
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Határozatlan integrálás
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom
L’ Hôpital-szabály
Legyen $f$ és $g$ deriválható az $a$ szám környezetében (kivéve esetleg $a$-ban) és tegyük fel, hogy itt $g'(x) \neq 0 $.
Ekkor, ha $\lim_{x \to a}{f(x)} = \lim_{x \to a}{g(x)} =0 $ vagy $\lim_{x \to a}{g(x)} = \pm \infty$ és $\lim_{x \to a}{ \frac{ f'(x)}{ g'(x) }}$ létezik, ekkor a L’Hôpital-szabály (vagy L'Hospital-szabály) szerint:
\( \lim_{x \to a}{ \frac{f(x)}{g(x)}} = lim_{x \to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}\)
Néhány fontosabb határérték
\( e^{- \infty} = 0 \quad e^{\infty} = \infty \)
\( \ln{0} = - \infty \quad \ln{\infty} = \infty \)
\( \frac{1}{\infty} = 0 \quad \frac{1}{+0}=+\infty \quad \frac{1}{-0}=-\infty \)
Taylor polinom
Legyen $f(x)$ $k$-szor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt $k$-adfokú Taylor polinomja:
\( T(x) = \sum_{n=0}^k \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)
Taylor sor
Legyen $f(x)$ akárhányszor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt Taylor sora:
\( T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)
Nevezetes függvények Taylor sora
Az $e^x$, $\ln{x}$, $\sin{x}$ és $\cos{x}$ függvények Taylor sorai:
\( e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!} x^n } \quad \ln{x}=\sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{ (-1)^{n-1}}{n}(x-1)^n} \)
\( \cos{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{(-1)^n}{ (2n)!} x^{2n}} \quad \sin{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{ (-1)^n}{ (2n+1)!} x^{2n+1}} \)
Lagrange-féle maradéktag
Ha $f(x)$ egymás után $k$-szor folytonosan differenciálható az $[a,b]$ zárt intervallumon, és $k+1$-edszer differenciálható az $(a,b)$ nyílt intervallumon, akkor létezik olyan $c \in (a,b)$ amire
\( f(b) = T(b) + R(b) = \sum_{n=0}^{k} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (b-a)^n + \frac{ f^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}(b-a)^{k+1} \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 4}{ \frac{x^2-9x+20}{x^2-x-12} } \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x^2+4\sin{x}}{x+\cos{x}-1} } \)
c) \( \lim_{x \to 2}{ \frac{x^4-5x-6}{4x^3-16x} } \)
d) \( \lim_{x \to 4}{ \frac{\sqrt{x+12}-x}{x^2-3x-4} } \)
e) \( \lim_{x \to 2}{ \frac{x^3-4x^2+4x}{x^4-8x^2+16} } \)
f) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x+\cos{x}-e^x}{x^2+\sin{x}-x} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to \infty}{ x^2 e^{-x} } \)
b) \( \lim_{x \to 0^+}{ x \ln{x} } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ x^2 e^{ \frac{1}{x^2} }} \)
d) \( \lim_{x \to 1}{ \frac{\sqrt{x+7}-2x}{\sqrt{x+3}-2x^2} } \)
e) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x - \arctan{x} }{ x-\sin{x}+\sin^3{x} } } \)
f) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{e^x \ln{x}}{ e^x+x } } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0^+}{ x^x } \)
b) \( \lim_{x \to 0^+}{ x^{ \sin{x} } } \)
c) \( \lim_{x \to 1}{ x^{ \frac{1}{1-x}} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0}{ ( \cos{x} )^\frac{1}{x} } \)
b) \( \lim_{x \to 0^+}{ ( \sin{x} )^{ \sin{x} } } \)
c) \( \lim_{x \to 0^+}{ ( \sin{x} )^{ \ln{(1+x)}} } \)
d) \( \lim_{x \to 0}{ \left( \ln{x^2} \right)^{ \ln{(1+x)}} } \)
Adjuk meg az $ f(x)=\cos{x} $ függvény $a=0$ pontban felírt Taylor polinomját!
a) Írjuk fel az $ f(x)=e^x $ Taylor sorát $x=0$-nál.
b) Írjuk fel az $ f(x)=\ln{x} $ Taylor sorát $x=1$-nél.
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{ \sinh{(4x+3)} }{ \cosh{(5-4x)} } } \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x\cdot \sinh{4x}}{\cos{2x}-1} } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x \cdot \sin{4x}}{\cosh{2x}-1} } \)
d) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{e^x \cdot \cosh{4x} }{ \sinh{5x} } } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{2^x-\cos{x}}{ \arctan{x}+\sin{x} } } \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{e^x-\cos{x} }{\ln{(1+x)} + \sin{x} } } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{\sin{2x} - x}{\ln{(x+1)} +6x } } \)
d) \( \lim_{x \to 0^+}{ \frac{ \ln{(2x)}-x }{ \ln{(3x)}+x } } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0}{ \left( \frac{1}{e^x-1} - \frac{1}{x} \right) } \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{e^{x^2}-1 }{\cos{2x} - 1} } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x-\sin{x} }{e^{x^2} - \cos{x} } } \)
d) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{ x^2 \cdot \ln{x} }{ x^2+x+1 } } \)
