Matek 1
- Függvények és inverz függvények
- Vektorok, koordináták, térelemek
- Komplex számok
- Sorozatok
- Küszöbindex és monotonitás
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A függvényhatárérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom
- Szélsőértékfeladatok, könnyű függvényvizsgálatok
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Határozatlan integrálás
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
1.
a) Mi lesz az \( f(x)=x^2+5x-7 \) függvények a deriváltja az \( x_0=2 \)-ben?
b) Mi lesz az \( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \) függvények a deriváltja az \( x_0=1 \)-ben?
c) Mi lesz az \( f(x)=-4x^2+5x \) függvények a deriváltja az \( x_0=-3 \)-ban?
Megnézem, hogyan kell megoldani
2.
a) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = 2 \) pontban?
\( f(x)= \begin{cases} 9-x^2, &\text{ha } x<2 \\ 3x-1, &\text{ha } x \geq 2 \end{cases} \)
b) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = -3 \) pontban?
\( f(x)= \begin{cases} x^4-4x^2, &\text{ha } x<-3 \\ \sqrt{x^2+16}, &\text{ha } x \geq -3 \end{cases} \)
c) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = 2 \) pontban?
\( f(x)= \begin{cases} 4x^2-7e^{x-2}-9, &\text{ha } x<2 \\ \ln{ \left( x^3-3x-1 \right)}, &\text{ha } x \geq 2 \end{cases} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
3.
a) Milyen \( A \) paraméter esetén deriválható az alábbi függvény az \( x_0 = 1 \) pontban?
\( f(x)= \begin{cases} \sqrt[4]{\ln{x}+6x+10}, &\text{ha } x>1 \\ \frac{A}{x^2+4}, &\text{ha } x \geq 1 \end{cases} \)
b) Megadható-e az \( A \) és \( B \) paraméter úgy, hogy ez a függvény deriválható legyen az \( x_0 = -2 \) pontban?
\( f(x)= \begin{cases} Ax^4+4x, &\text{ha } x \leq -2 \\ x^3+Bx^2, &\text{ha } x > -2 \end{cases} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
4.
a) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, ami az \( f(x)=2x^3+1 \) függvényt az \( y_0=55 \) pontban érinti.
b) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, ami az \( f(x)=x^2-x+4 \) függvényt egy olyan pontban érinti, aminek \( x \) koordinátája negatív, \( y \) koordinátája 24.
c) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, amely érinti az \( f(x)=x^4+5x+12 \) függvényt és párhuzamos az \( y=-27x+1 \) egyenessel.
d) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, ami az \( f(x)=2e^{x-4}+5 \) függvényt az \( y_0=7 \) pontban érinti.