- Mátrixok, vektorok, vektorterek
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze
- Determináns, sajátérték, sajátvektor
- Vektorok, koordináták, térelemek
- Komplex számok
- Függvények és a függvények ábrázolása
- Összetett függvény és inverz függvény
- Sorozatok
- Küszöbindex és monotonitás
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A függvényhatárérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom
- Szélsőértékfeladatok, könnyű függvényvizsgálatok
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Határozatlan integrálás
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
Szélsőértékfeladatok, könnyű függvényvizsgálatok
Elaszticitás gazdasági feladatokban
Az elaszticitás képlete:
\( E(x)=\frac{x}{f(x)}\cdot f'(x) \)
Egy függvény elaszticitása azt mondja meg, hogyha 1%-kal növeljük az x-et, akkor hány százalékkal változik a függvény értéke.
$E=0$ Teljesen rugalmatlan
$\mid E \mid < 1$ Rugalmatlan
$\mid E \mid = 1$ Egységnyi rugalmasságú
$\mid E \mid > 1$ Rugalmas
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=x^4 - 4x^3 \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=x^3 - 3x \)
Határozzuk meg az $a, b, c$ valós paramétereket úgy, hogy az $f(x)=ax^3+bx^2+cx+28$ függvénynek $x=2$-ben zérushelye, $x=-4$-ben lokális maximumhelye, $x=-1$-ben pedig inflexiós pontja legyen!
a) Egy vasúti alagút építése során minél mélyebbre helyezik a nyomvonalat, annál hosszabb alagutat kell fúrni és maga az építkezés is egyre drágább lesz. Az eredetileg kijelölt nyomvonal 340 méteres tengerszintfeletti magasságban halad és az építési költség 5,6 milliárd svájci frank. A nyomvonal $x$ méterrel mélyebbre helyezése az eredeti költséget ennyivel növeli: $a(x)=40x^4+160x^3$ frank.
A mélyebben futó nyomvonalnak az előnye, hogy az áthaladó vonatoknak a hegységben történő átkelés során kisebb szintkülönbséget kell megtenniük. Ennek évenkénti gazdasági haszna: $p(x)=80x^3$ frank.
Hogyha az alagút átadását követő 40 éves periódust vizsgálunk, hány méterrel lenne érdemes mélyebbre helyezni a nyomvonalat, hogy a lehető legnagyobb legyen a megtérülés?
b) Egy termék árbevétel függvénye $R(x)=12400x^2-4000x^3$, a költségfüggvénye pedig $C(x)=400x^2+2000$, ahol $x$ a termék ára dollárban. Milyen egységár esetén maximális a profit és mekkora ez a profit?
Egy termék keresleti függvénye
\( f(x)=20000x^2-1000x^3-72000x \)
ahol $x$ a termék árát jelöli euróban.
a) Milyen ár esetén maximális az árbevétel?
b) Mekkora a keresleti függvény elaszticitása 5 eurós ár esetén?
Egy másik termék keresleti függvénye
\( f(x)=260x^3-11x^4 \)
ahol $x$ a termék árát jelöli euróban.
A termék fajlagos költsége (tehát az egy termékre jutó költség) 12 euró.
a) Milyen ár esetén lesz maximális a profit?
b) Mekkora a keresleti függvény elaszticitása 16 eurós és 21 eurós ár mellett?
Egy 33x18 cm-es kartonlapból téglatest alakú dobozt készítünk. A doboz kiterített hálója és méretei itt láthatóak.
a) Mekkora a doboz térfogata, ha $a=7$ cm?
b) Hogyan kell megválasztani az $a, b, c$ élek hosszát ahhoz, hogy a doboz térfogata maximális legyen?
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=x^3+3x^2 \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=x^3-5x^2+3x-7 \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=2x^6-6x^4+\sqrt{37} \)
