Matek 1 epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogyan lehet polinomokat szorzattá alakítani a komplex számok segítségével. Az x2+4 például eddig nem volt szorzattá alakítható... De a komplex számok csodákra képesek. A komplex számok segítségével minden legalább elsőfokú polinom felírható elsőfokú polinomok szorzataként. Ezt mondja ki az Algebra alaptétele. A polinomok elsőfokú tényezőkre bontása komplexben tehát lazán megoldható. És így a korábban reménytelennek tekintett negatív diszkriminánsú másodfokú egyenleteknek is lesz megoldása.
Van itt egy ilyen… nos egy polinom, és próbáljuk meg felbontani elsőfokú tényezők szorzatára.
Épp itt jön ez az azonosság:
Most próbáljuk meg szorzattá alakítani ezt:
Olyan azonosság nincs, hogy
ezért megpróbáljuk itt is az előzőt használni egy kis bűvészkedéssel.
Lássunk most egy bonyolultabbat.
A komplex számok egyik jelentős haszna, hogy a segítségükkel minden polinom felbontható elsőfokú tényezők szorzatára.
Ezt nevezik az algebra alaptételének.
Most pedig oldjunk meg néhány, korábban reménytelennek hitt másodfokú egyenletet.
Itt jön a megoldóképlet:
Egy komplex szám abszolútértéke a nullától való távolsága.
Ezt a távolságot egy Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk kiszámolni.
Nézzünk meg még egyet.
A megoldóképlet helyett itt megpróbálunk szorzattá alakítani.
Most pedig lássuk mire jók még ezek a komplex számok.