Egy fontos függvénytípus improprius integrálja | mateking
 

Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.

A képsor tartalma

Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.

Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.

Végtelenig fogunk integrálni.

Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:

Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,

és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.

Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.

A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:

De könnyebb őket így megjegyezni.

Itt jön egy másik:

Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:

Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.

Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.

Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.

Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.

Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.

Nos íme:

De a megoldás menete ugyanaz.

Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az

függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk

és 1-től végtelenig is.

Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.

Nos az esettel majd külön foglalkozunk.

Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.

Először az 1-et helyettesítjük be,

aztán lássuk mi történik, ha .

Tehát ha a kitevő pozitív szám,

akkor itt nulla jön ki.

Ha a kitevő negatív…

nos akkor a határérték végtelen.

Ha éppen 1:

Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.

Ha akkor a kitevő pozitív,

és ilyenkor az integrál divergens.

Ha pedig éppen 1:

Mindezt összefoglalva, ha akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.

Ha akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.

Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.

Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd.
  • Nem találsz külön tanárt? Ne is keress! Irány a mateking!!!!

    Bori, 19
  • Felsőbb éves egyetemisták ajánlották, "kötelező" címszóval.
    Ricsi, 19
  • A mateking miatt sikerült az érettségi és az összes egyetemi matekos tárgyam.

    Míra, 21
  • Konkrétan a hetedikes öcsém megtanult deriválni, ez elég bizonyíték, hogy az oldal érthetően magyaráz.

    Gábor, 18
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez