GTK matek 2
A kurzus 12 szekcióból áll: Improprius integrálok, Numerikus sorok, Komplex számok, Vektorok, egyenesek, síkok, Mátrixok, vektorok, Lineáris tér, függetlenség, Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze, Determináns, adjungált, kvadratikus alakok, Sajátérték, sajátvektor, diagonalizálás, Többváltozós függvények, Hatványsorok, Taylor-sorok, Számsorozatok
Improprius integrálok
- -
Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása egy fontos függvénnyel.
Numerikus sorok
- -
A mértani sor képlete, példák mértani sorokra.
- -
Egy végtelen sor akkor konvergens, ha részletösszegsorozata konvergens.
- -
Ha egy sorozat határértéke nem 0, akkor a belőle képzett sor divergens.
- -
Speciális sorok.
- -
Egy másik fontos konvergenciakritérium, ami az n-edik tag n-edik gyökének segítségével dönti el a konvergenciát.
- -
Egy fontos konvergenciakritérium, amely az n+1-edik tag és az n-edik tag hányadosával dönti el a konvergenciát.
- -
Speciális sorok.
- -
A sorok konvergenciájának megállapítására vonatkozó képletek.
- -
Tört hatványának sorának konvergenciája a hatványkitevőtől függően.
- -
Olyan sorok, amelyek valójában az első és az utolsó tagon kívül semmilyen más tagot nem tartalmaznak.
- -
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.
- -
A hatványsorok konvergenciájának vizsgálata.
Komplex számok
- -
Komplex számok összeadásakor összeadjuk a valós részeket és külön összeadjuk a képzetes részeket. Kivonáskor külön kivonjuk egymásból a valós részeket és a képzetes részeket.
- -
Egy képlet az a+bi alakú komplex számok szorzásához.
- -
A komplex számok egy valós és egy imaginárius (képzetes) számból épülnek föl. A valós számok a szokásos x tengelyen helyezkednek el, míg az imaginárius számok egy erre merőleges y tengelyen, amit imaginárius tegelynek, vagy képzetes tengelynek nevezünk.
- -
Olyan számok, amelyek valós és képzetes részből épülnek fel.
- -
A valós számokat úgy érdemes elképzelni, mint egy koordinátarendszer x tengelyét. És minden helyet ki is töltenek a valós számok ezen a számegyenesen. A komplex számok egy valós és egy imaginárius (képzetes) részből épülnek föl, és szemléltetésükhöz nem egy, hanem két koordinátatengelyre van szükség. Az x tengelyen vannak a valós számok, az y tengelyen pedig az imaginárius, vagyis a képzetes számok. A valós számok tengelyén az egység a szokásos 1, míg az imaginárius számok tengelyén az egység az i. A kétb tengely által kifeszített síkot nevezzük komplex számsíknak, vagy másknt Gauss-féle számsíknak.
- -
A komplex szám tükörképe az x tengelyre.
- -
Egy komplex szám abszolútértéke az origotól mért távolsága.
- -
A komplex számok osztását, szorzását és hatványozását megkönnyítő forma.
- -
Képlet komplex számok szorzásához és osztásához, ha azok trigonometrikus alakban vannak megadva.
- -
Egy képlet komplex számok hatványozásához, ha a komplex szám trigonometrikus alakban van.
- -
Egy képlet komplex számok gyökvonásához, ha a komplex szám trigonometrikus alakban van.
- -
Képlet komplex számok szorzásához és összeadásához, ha a komplex számok exponenciális alakban vannak megadva.
- -
Egy képlet komplex számok hatványozásához, ha a komplex szám exponenciális alakban van.
- -
Egy képlet komplex számok gyökvonásához, ha a komplex szám exponenciális alakban van.
Vektorok, egyenesek, síkok
- -
A vektor egy irányított szakasz.
- -
Vektorok összeadásakor összeadjuk az x koordinátákat és összeadjuk az y koordinátákat. Kivonáskor vesszük az x koordináták különbségét és az y koordináták különbségét.
- -
Egy vektor hosszát megkapjuk, ha vesszük a koordinátái négyzetösszegének a gyökét. Két pont távolsága az őket összekötő vektor hossza.
- -
Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.
- -
Két vektor skaláris szorzata a vektorok hosszának szorzata a közbezárt szögük koszinuszával.
- -
Egy vektor 90°-os elforgatásához megcseréljük a két koordinátáját és az egyik előjelét megváltoztatjuk.
- -
Két vektor skalárisszorzatát kiszámolhatjuk a vektorok hosszának és hajlásszögének segítségével, illetve a vektorok koordinátáival is.
- -
Két vektor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0.
- -
Az egyenes egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.
- -
A sík egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.
- -
Két pont közti vektort a vektorok koordinátáinak különbségével írhatunk fel.
- -
Két pont távolsága gyök alatt a koordináták különbségeinek négyzetösszege.
- -
Az egyenes egyenletének felírásához a síkban szükségünk van az egyenes egy pontjára és a normálvektorára.
- -
A sík egyenletének felírásához kell a sík egy pontja és a normálvektora.
- -
Két vektor vektoriális szorzatát egy 3x3-as mátrix determinánsával számíthatjuk ki, ahol a mátrix első sora egységvektorok, a második és harmadik sora pedig az a és b vektorok.
- -
Két vektor vektoriális szorzata egy olyan harmadik vektort ad, ami merőleges a két vektor által kifeszített síkra.
Mátrixok, vektorok
- -
- -
Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.
- -
Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.
- -
Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.
- -
Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.
- -
Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)
- -
A mátrix összeadás kommutatív és asszociatív.
- -
A mátrixszorzás nem kommutattív, de asszociatív.
- -
A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.
- -
A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.
- -
Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.
- -
Az inverz mátrix egy olyan mátrix, hogy ha azzal szorozzuk az eredeti mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk. Ha balról szorozva kapunk egységmátrixot, akkor bal inverz, ha jobbról szorozva, akkor jobb inverz mátrix.
- -
A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése.
- -
Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.
- -
Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.
- -
Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.
- -
Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.
- -
Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.
- -
A skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.
- -
Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.
- -
Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak sorait.
- -
Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak egy oszlopában lévő elemeit.
- -
Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.
- -
Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.
Lineáris tér, függetlenség
- -
A vektorösszeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és létezik ellentett. A skalárszoros asszociatív, disztributív a vektorokra és a skalárokra is, és létezik egységszeres.
- -
Egy vektorrendszer akkor lineárisan független, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.
- -
Egy vektorrendszer akkor lineárisan összefüggő, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor úgy is elő tud állni, hogy nem minden szorzótényező 0.
- -
Vektorok generátor-rendszert alkotnak, ha minden vektortérbeli vektor elő áll az ő lineáris kombinációjuként.
- -
Egy vektorrendszer akkor alkot független rendszert, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.
- -
A bázis független generátorrendszer.
- -
Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok maximális száma
- -
W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.
- -
Egy vektor akkor állítható egy vektorrendszerrel, ha előáll azon vektorok lineáris kombinációjaként.
Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze
- -
Egy egyenletrendszer együtthatómátrixa az x-ek együtthatóiból álló mátrix.
- -
Az egyenletrendszer megoldásának egy szuper, de koránt sem a legszuperebb módja.
- -
Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.
- -
Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.
- -
Ha egy egyenletrendszernek több az ismeretlene, mint ahány egyenlete van, akkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.
- -
Ha egy egyenletrendszerben két olyan egyenlet szerepel, ahol az ismeretlenek együtthatói megegyeznek, de más az eredményük, akkor az ellentmondó egyenletrendszer, aminek nincs megoldása.
- -
A szabadságfok a szabadváltozók száma.
- -
Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.
- -
Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.
- -
Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.
- -
Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.
Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
- -
A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.
- -
Egy 2x2-es mátrix determinánsát úgy kapjuk, hogy a bal átló elemeinek szorzatából kivonjuk a jobb átló elemeinek szorzatát.
- -
Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.
- -
Egy túl jó módszer a determináns kiszámolására.
- -
Példák mikor nulla egy mátrix determinánsa. Két mátrix szorzatának determinánsa.
- -
Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla.
- -
Azokat a mátrixokat nevezzük regulárisnak, amelyek determinánsa nem nulla.
- -
A Cramer szabály egy újabb módszer az egyenletrendszerek megoldására.
- -
Mátrix adjungátlja egy egészen rettenetes dolog.
- -
A 2x2-es mátrix adjungátlja már könnyen megadható.
- -
Az adjungált egyik legnagyobb haszna, hogy segítségével meg tudunk alkotni egy képletet a négyzetes mátrixok inverzére.
- -
Hogyha szeretnénk egy olyan módszert, amivel rettentő lassan és őrülten sok számolással oldhatunk meg egyenletrendszereket, akkor ez lesz az.
- -
A Vandermonde-determináns egy speciális determináns, amit nagyon egyszerű kiszámolni.
- -
Egy mátrix sarok főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.
- -
Egy mátrix főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.
- -
Egy nxn-es mátrix pozitív definit, ha minden sajátértéke pozitív.
- -
Egy nxn-es mátrix negatív definit, ha minden sajátértéke negatív.
- -
Egy nxn-es mátrix pozitív szemidefinit, ha minden sajátértéke nagyobb vagy egyenlő 0.
- -
Egy nxn-es mátrix negatív szemidefinit, ha minden sajátértéke kisebb vagy egyenlő 0.
- -
Egy nxn-es mátrix indefinit, ha van nullánál nagyobb és nullánál kisebb sajátértéke is..
- -
Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...
- -
A kvadratikus alakok mátrixa segít eldönteni a definitséget.
Sajátérték, sajátvektor, diagonalizálás
- -
Egy mátrix sajátértéke egy valós szám, amely azt mondja meg, hogy a sajátvektor hányszorosát kapjuk akkor, ha azt a mátrixszal szorozzuk.
- -
Egy mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, ami azt tudja, hogy megszorozva a mátrixszal az eredeti vektor skalárszorosát kapjuk. Ez igazán remek, de, hogy pontosan miért, nos ez mindjárt kiderül.
- -
A sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet.
- -
A mátrix főátló elemeiből kivonunk $\lambda$-kat, majd ennek vesszük a determinánsát.
- -
Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.
- -
Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix spektrálfelbontását.
- -
Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor a mátrix diagonizálható.
- -
A sajátfelbontás egy olyan, kizárólag diagonalizálható mátrixokkal végezhető felbontás, ami megkönnyíti a hatványozást.
- -
A spektrálfelbontás segítségével könnyebben hatványozhatunk.
Többváltozós függvények
- -
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.
- -
A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.
- -
A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.
- -
Egy általános módszer, amivel kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait lehet meghatározni
- -
Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.
- -
Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.
- -
másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.
- -
Az egyváltozós függvények mintájára bevezetjük az érintő fogalmát. Ez esetben most egy sík lesz az érintő.
- -
A parciális deriváltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.
- -
Azt mondja meg, hogy egy adott irányban haladva milyen meredeken emelkedik a felület. Nagyon érdekes. Az iránymenti derivált nagyon érdekes.
- -
Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.
- -
Megismerkedünk az implicit függvényekkel, és ha már megismerkedtünk, nézzük meg, hogyan lehet deriválni őket.
Hatványsorok, Taylor-sorok
- -
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.
- -
A hatványsorok konvergenciájának vizsgálata.
- -
Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...
- -
Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...
- -
Az $e^x$, lnx, sinx és cosx függvények Taylor sorai.
- -
Amikor egy függvény x helyen lévő értékét szeretnénk közelíteni egy Taylor polinommal, akkor lesz egy kis hibánk, mivel a polinom nem teljesen követi a függvényt. Ennek a hibának a kifejezésére van a Lagrange-féle maradéktag.
- -
A végtelen sorok egy speciális fajtája.
Számsorozatok
- -
Nevezetes 0-hoz tartó sorozatok.
- -
Nevezetes végtelenhez tartó sorozatok.
- -
Nevezetes gyökös sorozatok határértéke.
- -
Exponenciális kifejezések határértéke.
- -
Egy nevezetes sorozatcsalád, az e-hez tartó sorozatok.
- -
Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük. Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük. Az ugráló sorozatokat oszcillálónak nevezzük. Lássunk néhány példát.
- -
Ha két rendőr közrefog egy honpolgárt és a két rendőr konvergál a rendőrőrsre, akkor az általuk közrefogott honpolgárnak is szükségképpen konvergálnia kell a rendőrőrsre..
- -
- -
A végtelenbe tartó sorozatok nagyságrendi sorrendje azt mondja meg, hogy melyik sorozat milyen ütemben tart a végtelenbe. Minél nagyobb nagyságrendű egy sorozat, annál gyorsabban tart a végtelenbe
- -
Egy sorozatnak torlódási pontja az A szám, ha bármilyen kis környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja van.
- -
Egy sorozat limesz inferiorja a torlódási pontjainak infinuma. A limesz szuperiorja a torlódási pontjainak szuprémuma.