GTK matek 2 | mateking
 
10 témakör, 172 rövid és szuper érthető epizód
Ezt a nagyon laza GTK matek 2 kurzust úgy terveztük meg, hogy egy csapásra megértsd a lényeget. Tudásszinttől függetlenül, teljesen az alapoktól magyarázzuk el a tananyagot, a saját ritmusodban lépésről lépésre. Így tudjuk a legbonyolultabb dolgokat is elképesztően egyszerűen elmagyarázni.
3 450 Forint

Tartalomjegyzék: 

A kurzus 10 szekcióból áll: Improprius integrálok, Komplex számok, Mátrixok, vektorok, Lineáris tér, függetlenség, Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze, Sajátérték, sajátvektor, diagonalizálás, Többváltozós függvények, Számsorozatok, Végtelen számsorok, Hatványsorok, Taylor-sorok

Improprius integrálok

Komplex számok

Mátrixok, vektorok

  • -

    mátrixok rendkívül barátságosak. Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.

  • -

    Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.

  • -

    Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.

  • -

    Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

  • -

    Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

  • -

    Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)

  • -

    A mátrix összeadás kommutatív és asszociatív.

  • -

    A mátrixszorzás nem kommutattív, de asszociatív.

  • -

    A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.

  • -

    Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.

  • -

    Az inverz mátrix egy olyan mátrix, hogy ha azzal szorozzuk az eredeti mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk. Ha balról szorozva kapunk egységmátrixot, akkor bal inverz, ha jobbról szorozva, akkor jobb inverz mátrix.

  • -

    A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.

  • -

    Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

  • -

    A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése.

  • -

    Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.

  • -

    skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.

  • -

    Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.

  • -

    Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.

  • -

    Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.

  • -

    Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.

  • -

    Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.

  • -

    Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak egy oszlopában lévő elemeit.

  • -

    Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.

  • -

    Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak sorait.

  • -

    Az egyenes egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.

  • -

    Az egyenes egyenletének felírásához a síkban szükségünk van az egyenes egy pontjára és a normálvektorára.

  • -

    Két pont közti vektort a vektorok koordinátáinak különbségével írhatunk fel.

  • -

    Két pont távolsága gyök alatt a koordináták különbségeinek négyzetösszege.

  • -

    A sík egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.

  • -

    A sík egyenletének felírásához kell a sík egy pontja és a normálvektora.

Lineáris tér, függetlenség

  • -

    A vektorösszeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és létezik ellentett. A skalárszoros asszociatív, disztributív a vektorokra és a skalárokra is, és létezik egységszeres.

  • -

    Egy vektorrendszer akkor lineárisan független, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

  • -

    Egy vektorrendszer akkor lineárisan összefüggő, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor úgy is elő tud állni, hogy nem minden szorzótényező 0.

  • -

    A bázis független generátorrendszer.

  • -

    Egy vektorrendszer akkor alkot független rendszert, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

  • -

    Vektorok generátor-rendszert alkotnak, ha minden vektortérbeli vektor elő áll az ő lineáris kombinációjuként.

  • -

    Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok maximális száma

  • -

    W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.

  • -

    Egy vektor akkor állítható egy vektorrendszerrel, ha előáll azon vektorok lineáris kombinációjaként.

Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze

Sajátérték, sajátvektor, diagonalizálás

  • -

    Egy 2x2-es mátrix determinánsát úgy kapjuk, hogy a bal átló elemeinek szorzatából kivonjuk a jobb átló elemeinek szorzatát.

  • -

    A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.

  • -

    Egy túl jó módszer a determináns kiszámolására.

  • -

    Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.

  • -

    Példák mikor nulla egy mátrix determinánsa. Két mátrix szorzatának determinánsa.

  • -

    Azokat a mátrixokat nevezzük regulárisnak, amelyek determinánsa nem nulla.

  • -

    Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla.

  • -

    Egy mátrix főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

  • -

    Egy nxn-es mátrix indefinit, ha van nullánál nagyobb és nullánál kisebb sajátértéke is..

  • -

    Egy nxn-es mátrix negatív definit, ha minden sajátértéke negatív.

  • -

    Egy nxn-es mátrix negatív szemidefinit, ha minden sajátértéke kisebb vagy egyenlő 0.

  • -

    Egy nxn-es mátrix pozitív definit, ha minden sajátértéke pozitív.

  • -

    Egy nxn-es mátrix pozitív szemidefinit, ha minden sajátértéke nagyobb vagy egyenlő 0.

  • -

    Egy mátrix sarok főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

  • -

    Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...

  • -

    A képtér és a magtér dimenzióinak összege éppen $V_1$ dimenziója.

  • -

    A képtér egy olyan altér $V_2$-ben, amely azokból a vektorokból áll, amiket a $V_1$-beli vektorokból csinál a leképezés.

  • -

    A lineáris leképezés egy test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény.

  • -

    Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal.

  • -

    A magtér egy olyan altér $V_1$-ben, amelyek képe a leképezés során nullvektor.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

  • -

    Ha a mátrixnak létezik diagonális alakja, akkor van sajátbázisa, ami fantasztikus dolgokra képes.

  • -

    A lineáris leképezések másnéven homomorfizmusok. Ezek a homomorfizmusok és azok mátrixai maguk is egy vektorteret alkotnak, ezt a vektorteret $Hom(V_1, V_2)$-nek nevezzük.

  • -

    Az A és B mátrixok hasonlók, ha létezik egy C mátrix, amivel ha jobbról szorozzuk a B-t, balról pedig a C inverzével szorozzuk, akkor ennek eredménye A.

Többváltozós függvények

  • -

    A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

  • -

    A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

  • -

    A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.

  • -

     másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.

  • -

    Egy általános módszer, amivel kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait lehet meghatározni

  • -

    Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

  • -

    Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

  • -

    Az egyváltozós függvények mintájára bevezetjük az érintő fogalmát. Ez esetben most egy sík lesz az érintő.

  • -

    A parciális deriváltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.

  • -

    Azt mondja meg, hogy egy adott irányban haladva milyen meredeken emelkedik a felület. Nagyon érdekes. Az iránymenti derivált nagyon érdekes.

  • -

    Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.

  • -

    Megismerkedünk az implicit függvényekkel, és ha már megismerkedtünk, nézzük meg, hogyan lehet deriválni őket.

Számsorozatok

Végtelen számsorok

Hatványsorok, Taylor-sorok

  • -

    Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.

  • -

    hatványsorok konvergenciájának vizsgálata.

  • -

    Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...

  • -

    Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...

  • -

    Az $e^x$, lnx, sinx és cosx függvények Taylor sorai.

  • -

    Amikor egy függvény x helyen lévő értékét szeretnénk közelíteni egy Taylor polinommal, akkor lesz egy kis hibánk, mivel a polinom nem teljesen követi a függvényt. Ennek a hibának a kifejezésére van a Lagrange-féle maradéktag. 

  • -

    A végtelen sorok egy speciális fajtája.