- Improprius integrálok
- Numerikus sorok
- Komplex számok
- Vektorok, egyenesek, síkok
- Mátrixok, vektorok
- Lineáris tér, függetlenség
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze
- Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
- Sajátérték, sajátvektor, diagonalizálás
- Többváltozós függvények
- Hatványsorok, Taylor-sorok
- Számsorozatok
Improprius integrálok
Egy fontos függvény improprius integrálja
Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az
\( f(x) = \frac{1}{x^{\alpha} } \)
függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk és 1-től végtelenig is.
Ha 0-tól 1-ig integrálunk:
\( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha} } \; dx = \begin{cases} \frac{1}{-\alpha + 1} \; \text{ha} \; \alpha < 1 \\ \infty \; \text{ha} \; \alpha \geq 1 \end{cases} \)
Ha 1 és végtelen között integrálunk:
\( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha} } \; dx = \begin{cases} \frac{1}{\alpha - 1} \; \text{ha} \; \alpha > 1 \\ \infty \; \text{ha} \; \alpha \leq 1 \end{cases} \)
a) \( \int_1^\infty \frac{5}{x^4} \; dx = \; ? \)
b) \( \int_{-\infty}^1 e^{2x-2} \; dx = \; ? \)
c) \( \int_{-\infty}^\infty \frac{4x^3}{ \left( x^4+1 \right)^4} \; dx = \; ? \)
d) \( \int_0^1 \frac{1}{ \sqrt{x} } \; dx = \; ? \)
Végezzük el az alábbi improprius integrálásokat
a) \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \; dx \)
b) \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \; dx \)
Döntsük el, hogy konvergens vagy divergens.
a) \( \int_{1}^{\infty} \frac{\sin{x}}{x^2} \; dx \)
b) \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \; dx \)
c) \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\tan{x}} \; dx \)
Végezzük el az alábbi improprius integrálásokat.
a) \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \; dx \)
b) \( \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \; dx \)
c) \( \int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{1-4x}} \; dx \)
d) \( \int_{0}^{\infty} x \cdot e^{-4x} \; dx \)
e) \( \int_{0}^{1} x \cdot \ln{x} \; dx \)
f) \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \; dx \)
Mekkora az a terület, amit az $f$ függvény és a koordinátatengelyek határolnak?
\( f(x)=\frac{x}{e^{x^2}} \)
Számítsuk ki az alábbi improprius integrált, ha létezik.
\( \int_{0}^{2} \frac{1}{2-x} \; dx \)
Számítsuk ki az alábbi improprius integrált, ha létezik.
\( \int_{2}^{\infty} \frac{4}{x^3} \; dx \)
Számítsuk ki az improprius integrált, ha létezik.
\( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{x}} \; dx \)
Számítsuk ki az alábbi improprius integrált, ha létezik.
\( \int_{-\infty}^{1} \frac{7}{7x+11} \; dx \)
Számítsuk ki az alábbi improprius integrált, ha létezik.
\( \int_{1}^{2} \frac{x^{-1}}{\ln{x}} \; dx \)
Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.
Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.
Végtelenig fogunk integrálni.
Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:
Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,
és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.
Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.
A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:
De könnyebb őket így megjegyezni.
Itt jön egy másik:
Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:
Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.
Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.
Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.
Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.
Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.
Nos íme:
De a megoldás menete ugyanaz.
Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az
függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk
és 1-től végtelenig is.
Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.
Nos az esettel majd külön foglalkozunk.
Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.
Először az 1-et helyettesítjük be,
aztán lássuk mi történik, ha .
Tehát ha a kitevő pozitív szám,
akkor itt nulla jön ki.
Ha a kitevő negatív…
nos akkor a határérték végtelen.
Ha éppen 1:
Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.
Ha akkor a kitevő pozitív,
és ilyenkor az integrál divergens.
Ha pedig éppen 1:
Mindezt összefoglalva, ha akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.
Ha akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.
Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.
Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.
Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.
Végtelenig fogunk integrálni.
Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:
Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,
és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.
Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.
A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:
De könnyebb őket így megjegyezni.
Itt jön egy másik:
Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:
Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.
Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.
Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.
Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.
Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.
Nos íme:
De a megoldás menete ugyanaz.
Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az
függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk
és 1-től végtelenig is.
Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.
Nos az esettel majd külön foglalkozunk.
Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.
Először az 1-et helyettesítjük be,
aztán lássuk mi történik, ha .
Tehát ha a kitevő pozitív szám,
akkor itt nulla jön ki.
Ha a kitevő negatív…
nos akkor a határérték végtelen.
Ha éppen 1:
Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.
Ha akkor a kitevő pozitív,
és ilyenkor az integrál divergens.
Ha pedig éppen 1:
Mindezt összefoglalva, ha akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.
Ha akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.
Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.
