Az $f$ $[a,b]$ intervallumon korlátos függvény Riemann integrálható az $[a,b]$ intervallumon, ha egyetlen olyan $I$ szám létezik, hogy bármely felosztásra:
\( s \leq I \leq S \)
ahol $s$ az alsó közelítő összeg: $ s= \sum_{i=1}^{n}{ m_i (x_i - x_{i-1}) } \qquad m_i = \inf{ \left\{ f(x), \; x \in \left[ x_{i-1}, x_i \right] \right\} }$
ahol $S$ a felső közelítő összeg: $ S= \sum_{i=1}^{n}{ M_i (x_i - x_{i-1} )} \qquad M_i= \sup{ \left\{ f(x), \; x \in \left[ x_{i-1}, x_i \right] \right\}}$
Egy zárt intervallumon értelmezett függvény akkor Riemann integrálható, ha egyetlen olyan szám létezik, amely bármely alsó közelítő összegénél nagyobb egyenlő, és bármely felső közelítő összegénél kisebb egyenlő.
