Műszaki matematika 1

Komplex számok összeadásakor összeadjuk a valós részeket és külön összeadjuk a képzetes részeket. Kivonáskor külön kivonjuk egymásból a valós részeket és a képzetes részeket.

Egy képlet az a+bi alakú komplex számok szorzásához.

A komplex számok egy valós és egy imaginárius (képzetes) számból épülnek föl. A valós számok a szokásos x tengelyen helyezkednek el, míg az imaginárius számok egy erre merőleges y tengelyen, amit imaginárius tegelynek, vagy képzetes tengelynek nevezünk.

Olyan számok, amelyek valós és képzetes részből épülnek fel.

A valós számokat úgy érdemes elképzelni, mint egy koordinátarendszer x tengelyét. És minden helyet ki is töltenek a valós számok ezen a számegyenesen. A komplex számok egy valós és egy imaginárius (képzetes) részből épülnek föl, és szemléltetésükhöz nem egy, hanem két koordinátatengelyre van szükség. Az x tengelyen vannak a valós számok, az y tengelyen pedig az imaginárius, vagyis a képzetes számok. A valós számok tengelyén az egység a szokásos 1, míg az imaginárius számok tengelyén az egység az i. A kétb tengely által kifeszített síkot nevezzük komplex számsíknak, vagy másknt Gauss-féle számsíknak. 

A komplex szám tükörképe az x tengelyre.

Egy komplex szám abszolútértéke az origotól mért távolsága.

A komplex számok osztását, szorzását és hatványozását megkönnyítő forma.

Képlet komplex számok szorzásához és osztásához, ha azok trigonometrikus alakban vannak megadva.

Egy képlet komplex számok hatványozásához, ha a komplex szám trigonometrikus alakban van.

Egy képlet komplex számok gyökvonásához, ha a komplex szám trigonometrikus alakban van.

Képlet komplex számok szorzásához és összeadásához, ha a komplex számok exponenciális alakban vannak megadva.

Egy képlet komplex számok hatványozásához, ha a komplex szám exponenciális alakban van.

Egy képlet komplex számok gyökvonásához, ha a komplex szám exponenciális alakban van.

Az A és B halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. Az A és B halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Az A és B halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az A halmazba benne vannak, de a B halmazba nem. Az A halmaz komplementere a H alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az A-ban.

A logikai szita formula a halmazok elemszámának meghatározását segítő képlet.

Az első De Morgan azonosság azt mondja, hogy a metszet komplementere pont megegyezik a komplementrek uniójával. A második De Morgan azonosság pedig azt mondja, hogy az unió komplementere éppen megegyezik a komplementerek metszetével.

Egy halmaz összes részhalmazainak halmazát hatványhalmaznak nevezzük.

Két halmaz szimmetrikus differenciája a halmazok kétféle különbségének uniója.

A függvény értékkészlete azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban, amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

Az univerzális kvantor egy jelölése a "minden" kifejezésnek.

Az egzisztenciális kvantor egy jelölése a "létezik" vagy "van olyan" kifejezésnek.

Egy $A$ kijelentés negációja az a kijelentés, amely akkor igaz, ha $A$ hamis és akkor hamis, ha $A$ igaz.

Az állítás (vagy kijelentés) olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen eldönthetjük, hogy az igaz vagy hamis.

Két kijelentés konjunkciója pontosan akkor igaz, ha mindkét kijelentés igaz, különben hamis.

Két kijelentés diszjunkciója pontosan akkor igaz, ha legalább az egyik kijelentés igaz, különben hamis.

Az implikáció akkor hamis, ha $A$ igaz és $B$ hamis, minden más esetben igaz.

Az ekvivalencia akkor igaz, ha $A$ és $B$ logikai értéke azonos, különben hamis.

De Morgan azonosságok a konjunkció, diszjunkció, implikáció és ekvivalencia tagadásaira.

A diszjunktív normálforma, röviden DNF egy olyan alakja egy logikai formuláknak, ahol a művelet a változóinak vagy negáltjainak konjunkcióinak diszjunkciója.

Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a hatványazonosságokból. Megnézzük, hogyan kell a hatványazonosságokat használni. Megnézzük mi az az exponenciális függvény és hogyan kell ábrázolni.

Az exponenciális függvények meglehetősen fontosak a matematikában, sőt nem csak a matematikában. Itt jönnek az exponenciális függvények.

Itt végre szuper-érthetően kiderül, hogy mi az a logaritmus. Készítünk egy gyors kis összefoglalót a logaritmus azonosságairól. Megnézzük, hogyan kell a logaritmus azonosságokat használni. Megnézzük mi az a logaritmus függvény és hogyan kell ábrázolni.

Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a logaritmus azonosságokról. Megnézzük, hogyan kell az azonosságokat használni, milyen kikötéseket kell tenni a logaritmikus kifejezéseknél, hogyan néz ki a logaritmus függvény.

Mik azok az exponenciális egyenletek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenletet? Törtes exponenciális egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető exponenciális egyenletek.

Mik azok az exponenciális egyenlőtlenségek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenlőtlenséget?

Mik azok a logaritmusos egyenletek? Hogyan kell megoldani egy logaritmikus egyenletet? Milyen kikötéseket kell tenni egy logaritmusos egyenlet megoldásánál? Törtes logaritmikus egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető logaritmikus egyenletek.

A függvény értékkészlete azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban, amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

A függvény monotonitása lehet növekedő, csökkenő, szigorúan monton növekedő vagy szigorúan monoton csökkenő.

Globális és lokális maximumok és minimumok.

A függvény konvexitása megmondja, hogy a függvény szomorú vagy vidám hangulatban van.

Megnézzük, hogy melyik függvény hogyan néz ki, aztán megnézzük a külső és belső függvénytranszformációkat. Eltolás az x tengely mentén, eltolás az y tengely mentén, tükrözés, nyújtás.

Mikor páros, mikor páratlan vagy éppen egyik sem egy függvény.

Lássuk mik azok a polinomfüggvények, és hogyan kell őket ábrázolni.

Ha két függvényt egymásba ágyazunk, összetett függvényt kapunk.

A függvény hozzárendelésének megfordításával kapjuk a függvény inverzfüggvényét, amennyiben a megfordított hozzárendelés is egy egyértelmű hozzárendelés.

Nevezetes 0-hoz tartó sorozatok.

Nevezetes végtelenhez tartó sorozatok.

Nevezetes gyökös sorozatok határértéke.

Exponenciális kifejezések határértéke.

Egy nevezetes sorozatcsalád, az e-hez tartó sorozatok.

Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük. Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük. Az ugráló sorozatokat oszcillálónak nevezzük. Lássunk néhány példát.

Ha két rendőr közrefog egy honpolgárt és a két rendőr konvergál a rendőrőrsre, akkor az általuk közrefogott honpolgárnak is szükségképpen konvergálnia kell a rendőrőrsre..

Lássuk mi a teendő gyökös sorozatok és ronda gyökös sorozatok esetén.

A végtelenbe tartó sorozatok nagyságrendi sorrendje azt mondja meg, hogy melyik sorozat milyen ütemben tart a végtelenbe. Minél nagyobb nagyságrendű egy sorozat, annál gyorsabban tart a végtelenbe

Egy sorozatnak torlódási pontja az A szám, ha bármilyen kis környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja van.

Egy sorozat limesz inferiorja a torlódási pontjainak infinuma. A limesz szuperiorja a torlódási pontjainak szuprémuma.

A mértani sor képlete, példák mértani sorokra.

Egy végtelen sor akkor konvergens, ha részletösszegsorozata konvergens.

Ha egy sorozat határértéke nem 0, akkor a belőle képzett sor divergens.

Speciális sorok.

Egy másik fontos konvergenciakritérium, ami az n-edik tag n-edik gyökének segítségével dönti el a konvergenciát.

Egy fontos konvergenciakritérium, amely az n+1-edik tag és az n-edik tag hányadosával dönti el a konvergenciát.

Speciális sorok.

A sorok konvergenciájának megállapítására vonatkozó képletek.

Tört hatványának sorának konvergenciája a hatványkitevőtől függően.

Olyan sorok, amelyek valójában az első és az utolsó tagon kívül semmilyen más tagot nem tartalmaznak.

Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.

A hatványsorok konvergenciájának vizsgálata.

Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.

Függvények szakadása négy féle lehet: megszüntethető szakadás, ugrás, nem megszüntethető, nem véges szakadás, nem megszüntethető oszcilláló szakadás.

Beszéljünk egy kicsit a trigonometrikus függvények határértékéről. Néhány nevezetes határérték, élükön a sinx/x típusúval.

Lássuk mi is az a függvényhatárérték!

Lássuk mi is az a függvényhatárérték!

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

Konstans deriváltja, polinomok deriválási szabálya. Az exponenciális és logaritmus függvények deriválása. Trigonometrikus függvények deriváltjai.

Függvény konstansszorosának, két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriválási szabályai. Összetett függvények deriválási szabálya.

A lánc-szabály az összetett függvények deriválási szabálya.

A sinh és cosh hiperbolikus függvények közt fennálló azonosságok.

A cosh, sinh és tanh függvények deriváltjai.

A cosh, sinh és tanh függvények inverzfüggvényei.

Az arcosh, arsinh és artanh függvények deriváltjai.

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.

Egy függvény elaszticitása azt mondja meg, hogyha 1%-kal növeljük az x-et, akkor hány százalékkal változik a függvény értéke.

Az első derivált azt írja le, hogy a függvény mikor nő és mikor csökken.

A második derivált a függvény hangulatát írja le, ha pozitív, akkor a függvény vidám, ha negatív, akkor szomorkodik.

 A deriválás után megállapítjuk a derivált előjelét. Amikor a derivált nulla, olyankor stacionárius pont van.

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

A határérték számítás csodafegyvere, egy szuper módszer, amivel nagyon sok bonyolult határérték gyorsan kiszámolható.

Néhány exponenciális, logaritmusos és végtelenhez, nullához tartó nevezetes sorozatok határértékei.

Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.

Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.

Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.

Integráláskor a konstans szorzó kivihető.

Összeget külön-külön is integrálhatunk.

Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.

Szorzat integrálásának egy speciális esete, amikor a függvény n-edik hatványon van és meg van szorozva a deriváltjával.

Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.

Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.

Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.

Törtek integrálásának egy speciális esete, amikor a tört számlálója a nevező deriváltja.

A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.

A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.

A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.

A helyettesítéses integrálás egyik legfurcsább esete az $u = \tan{ \frac{x}{2} } $. Olyankor használjuk, ha a törtben $\sin{x}$ és $\cos{x}$ is csak első fokon szerepel.

A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

Egy zárt intervallumon értelmezett függvény akkor Riemann integrálható, ha egyetlen olyan szám létezik, amely bármely alsó közelítő összegénél nagyobb egyenlő, és bármely felső közelítő összegénél kisebb egyenlő.

Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása egy fontos függvénnyel.

Forgástestek térfogatának és felszínének képletei határozott integrálással.

A mátrixok rendkívül barátságosak. Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.

Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.

Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.

Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)

A mátrix összeadás kommutatív és asszociatív.

A mátrixszorzás nem kommutattív, de asszociatív.

A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.

A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.

Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.

Az inverz mátrix egy olyan mátrix, hogy ha azzal szorozzuk az eredeti mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk. Ha balról szorozva kapunk egységmátrixot, akkor bal inverz, ha jobbról szorozva, akkor jobb inverz mátrix.

A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése.

Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.

Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.

Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.

Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.

A skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.

Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.

Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak sorait.

Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak egy oszlopában lévő elemeit.

Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.

Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.

A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.

Egy 2x2-es mátrix determinánsát úgy kapjuk, hogy a bal átló elemeinek szorzatából kivonjuk a jobb átló elemeinek szorzatát.

Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.

Egy túl jó módszer a determináns kiszámolására.

Példák mikor nulla egy mátrix determinánsa. Két mátrix szorzatának determinánsa.

Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla.

Azokat a mátrixokat nevezzük regulárisnak, amelyek determinánsa nem nulla.

A Cramer szabály egy újabb módszer az egyenletrendszerek megoldására.

Mátrix adjungátlja egy egészen rettenetes dolog.

A 2x2-es mátrix adjungátlja már könnyen megadható.

Az adjungált egyik legnagyobb haszna, hogy segítségével meg tudunk alkotni egy képletet a négyzetes mátrixok inverzére.

Hogyha szeretnénk egy olyan módszert, amivel rettentő lassan és őrülten sok számolással oldhatunk meg egyenletrendszereket, akkor ez lesz az.

A Vandermonde-determináns egy speciális determináns, amit nagyon egyszerű kiszámolni.

Egy mátrix sarok főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

Egy mátrix főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

Egy nxn-es mátrix pozitív definit, ha minden sajátértéke pozitív.

Egy nxn-es mátrix negatív definit, ha minden sajátértéke negatív.

Egy nxn-es mátrix pozitív szemidefinit, ha minden sajátértéke nagyobb vagy egyenlő 0.

Egy nxn-es mátrix negatív szemidefinit, ha minden sajátértéke kisebb vagy egyenlő 0.

Egy nxn-es mátrix indefinit, ha van nullánál nagyobb és nullánál kisebb sajátértéke is..

Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...

A kvadratikus alakok mátrixa segít eldönteni a definitséget.

Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete a.

Gyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.

Köbgyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.

A mérleg elv lényege, hogy amikor megoldunk egy egyenletet, az egyenlőségjel mindkét oldalán ugyanazokat a műveleteket kell elvégeznünk. Az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot hozzáadhatjuk, vagy az egyenlet mindkét oldalából ugyanazt a számot kivonhatjuk. És az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nem nulla számmal megszorozhatjuk, vagy mindkét oldalt ugyanazzal a nem nulla számmal eloszthatjuk.

Elsőfokú egyenletek megoldása a mérlegelv segítségével.

Ha törtet látunk az egyenletben, akkor az az első lépés, hogy megszabadulunk attól, mégpedig úgy, hogy beszorzunk a nevezővel

A sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.

Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.

Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük.

Hogyan kell megoldani egyenlőtlenségeket? Mi a különbség egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei között? Egyenlőtlenségek megoldása számegyenesen előjel ábrázolással.

Az elsőfokú egyenlőtlenségeknél még izgalmasabbak a másodfokú egyenlőtlenségek.

A másodfokú egyenlet megoldóképlete és alkalmazása.

A másodfokú egyenlet megoldóképletének gyök alatti része a diszkrimináns.

A másodfokú egyenlet szorzatalakja.

A Viète-formulák nem valami titkós gyógyszer hatóanyag, hanem a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket írja le.

 Megnézzük a számtani sorozat általános tagjának képletét, valamint a számtani sorozat összegképletét.

Itt jön a mértani sorozat általános tagjának kélete és a mértani sorozat összegképlete.