Analízis 2 epizód tartalma:
Gömbi koordináták, A gömbi koordinátás helyettesítés, Hármas integrálok gömbi koordinátákkal, Térfogat integrál gömbi koordinátákkal, Hármas integrál feladatok gömbi koordinátákkal, A gömb térfogatának kiszámolása
A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük.
Itt az első koordináta azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk az origótól…
a második és harmadik koordináta pedig két forgás-szög.
Most pedig lássuk, milyen kapcsolat van a régi x, y, z és az új gömbi koordináták között.
Ennek felderítése nem is olyan egyszerű vállalkozás.
Szükségünk van hozzá bizonyos trigonometriai összefüggésekre.
És most számoljunk ki valamit a gömbi koordináták segítségével.
Integráljuk mondjuk az origó középpontú R=5 sugarú gömbön ezt a függvényt:
A helyettesítéshez a többváltozós összetett függvények integrálásának képletét használjuk, íme itt is van:
Most pedig lássuk az integrálás határait.
A gömb sugara R=5 tehát 0-tól kell 5-ig integrálunk...
A teljes gömbön integrálunk, így befutja a teljes kört…
És pedig…
Nos csak egy félkört.
Most szerint integrálunk.
Mivel az integrálandó kifejezésben nincsen ezért ez szempontjából konstansnak számít.
Ha ugyanezen a gömbön a konstans 1 függvényt integráljuk, akkor éppen a gömb térfogatát kapjuk meg.
Nézzük meg ezt is.
Itt jön az 5 egység sugarú gömb térfogata:
Na, hát ezt is megtudtuk, ami most jön az pedig emlékezetes lesz…
Folytatódnak a gömbi koordinátás rémtörténetek. Integráljuk a D tartományon a következő függvényt:
És most pedig lássuk hogyan is néz ki az a tartomány, amin integrálnunk kell.
Ez itt például egy gömb.
Egy olyan gömb belseje, aminek a sugara 3.
Na a másik az már érdekesebb…
Itt jön két nagyon remek alakzat, amiket érdemes megjegyeznünk.
Az egyik a forgásparaboloid…
a másik pedig a forgáskúp.
A jelek szerint most valami forgáskúppal van dolgunk.
Sőt, mindjárt kettővel.
Nos eddig jó. A következő célkitűzésünk az, hogy kiderítsük a kúpok félnyílás-szögét.
Ezt úgy tudjuk legkönnyebben kideríteni, ha itt is lecseréljük x-et y-t és z-t a gömbi koordinátákra:
Nekünk most a két kúp között kell integrálnunk.
És a teljes körön.
A most következő események tekinthetők úgy is, mint egy modern dráma.
És ahogyan ez a drámáknál lenni szokott, a szereplők bemutatásával kezdjük.
Nos, itt is vannak.
Ez mind közül a legfontosabb szereplő, egy térbeli függvény, egy felület.
Úgy működik, hogy a valószínűségeket a felület alatti térfogat adja meg.
A másik nagyon fontos szereplő neve együttes eloszlásfüggvény.
Nos, ha még emlékszünk rá:
A sűrűségfüggvényből egy mókás ki integrálással állíthatjuk elő:
Az eloszlásfüggvényből sűrűségfüggvényt deriválással tudunk csinálni.
Kétszer kell deriválni, először x szerint, aztán y szerint.
És most lássuk a mellékszereplőket.
Nos, a szereplőkkel megvagyunk, jöhet a történet.
Nézzük meg elsőként a peremsűrűség-függvényeket.
y szerint integrálunk,
és x három szektorban lehet.
És most pedig csináljunk a sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvényt.
Ez már egyváltozós esetben sem volt túl kellemes…
De most sokkal rosszabb lesz.
Mindig a zöld tartományon integrálunk.
Ha az (x,y) pont a besatírozott részbe esik,
akkor mindig a nullát integráljuk.
Az együttes eloszlásfüggvény megszületése:
Újabb rémtörténetek következnek. Ezúttal az együttes eloszlásfüggvénnyel történnek mindenféle szörnyű dolgok.
Az első szörnyűség a perem-eloszlásfüggvények kiszámolása.
Itt x olyan, mintha egy konstans lenne, y pedig tart a végtelenbe.
Aztán jön a perem-sűrűségfüggvény.
Először x szerint deriválunk…
aztán y szerint.