Az előzőekben megnéztük mit jelent az, hogy egy vektorrendszer független, mit jelent

az, hogy összefüggő.

Aztán megnéztük mi az a generátor-rendszer.

Kiderült, hogy ha egy generátor-rendszerhez egy vagy több vektort hozzáveszünk, szintén generátor-rendszert kapunk. Ha viszont elveszünk belőle vektorokat, akkor előbb utóbb már nem lesz generátor-rendszer.

Az is kiderült, hogy ha egy független rendszerből egy vagy több vektort elhagyunk, akkor továbbra is független rendszert kapunk, de ha újabb vektorokat veszünk hozzá, akkor előbb utóbb a vektorok már összefüggők lesznek.

Mindezt jól szemléltethetjük mondjuk az vektortérben,

vagyis a hétköznapi értelemben vett térben.

Ha egy független rendszerhez elkezdünk újabb vektorokat hozzávenni, az előbb utóbb összefüggő lesz.

Ha egy generátor-rendszerből elkezdünk vektorokat elhagyni, az előbb utóbb már nem lesz generátor-rendszer.

És van egy mágikus pont amikor már éppen elég vektorunk van ahhoz, hogy generáljanak, de még nincsenek túl sokan ezért függetlenek.

Ezt a független generátor-rendszert nevezzük bázisnak.

A bázis elemszámát pedig a vektortér dimenziójának.

Itt jön még egy fontos definíció, amit rangnak nevezünk.

Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok

maximális száma.

-ban a rang például maximum három lehet.

A rang kiszámolására később remek módszereink lesznek majd, jelenleg csak kevésbé megnyugtató módon, ránézésre tudjuk megállapítani.

Van itt például ez a vektorrendszer:

A negyedik vektor az első kétszerese,

így legjobb esetben is három független

vektorunk van.

A harmadik vektor pedig az első kettő

összege, így már csak két független

vektor maradt.

Ezek már függetlenek, tehát a rang 2,

de később lesz egy igazán remek

technológiánk a rang kiszámolására.

Egy vektorrendszer rangja Itt jön még egy fontos definíció, amit rangnak nevezünk.

Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok

maximális száma.

BÁZIS=FÜGGETLEN

GENERÁTOR-RENDSZER

A vektorok lineárisan függetlenek, ha

csak úgy teljesül, ha minden

A vektorok lineárisan összefüggők, ha

úgy is teljesül, hogy van olyan

Egy V vektortérben a vektorok

generátor-rendszer, ha minden vektor előáll

alakban.

Legyen vektorok.

Az alábbi állítások közül melyik igaz?

Ha lineárisan független, akkor

is lineárisan független.

Nézzük meg, hogy függetlenek-e.

Vegyük egy lineáris kombinációjukat:

Ha ez csak úgy teljesül, hogy mind nulla,

akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges, hogy nem

mindegyik nulla, akkor összefüggők.

Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .

Felbontjuk a zárójeleket :

Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab

és hány darab vektor van.

Mivel az vektorok lineárisan függetlenek,

itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla, vagyis

[*]

Úgy tűnik mindegyike nulla, vagyis lineárisan függetlenek.

Ha generátor-rendszer,

akkor is az.

Az vektorok akkor generátor-rendszer,

ha minden vektort előállítanak:

A kérdés az, hogy ugyanez a előáll-e az

vektorokból is. Nézzük meg!

Felbontjuk a zárójeleket :

Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab

és hány darab vektor van.

A jelek szerint előáll.

Ha lineárisan független, akkor

is lineárisan független.

Ez egészen biztosan nem igaz, mert

Vagyis van olyan lineáris kombinációjuk,

ami a nullvektort adja, pedig egyik vektorból

sem nulla darabot vettünk.

Ha lineárisan független, akkor

is lineárisan független.

Nézzük meg, hogy függetlenek-e.

Ehhez vegyük egy lineáris kombinációjukat:

Ha ez csak úgy teljesül, hogy mindketten nulla,

akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges,

hogy az egyik nem nulla, akkor összefüggők.

Vagyis az a kérdés, hogy mennyi .

Felbontjuk a zárójeleket :

Aztán összegyűjtjük hány darab , hány darab

és hány darab vektor van.

Mivel az vektorok lineárisan függetlenek,

itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla,

vagyis és ami azt jelenti,

hogy is független.

Ha lineárisan független,

akkor is lineárisan független.

Ezúttal a

lineáris kombinációból indulunk ki.

Ezt kéne valahogy visszavezetni az

vektorok lineáris kombinációjára.

De néha nem árt kicsit gondolkodni.

Vegyük ugyanis például azt az esetet, amikor nullvektor.

Ekkor és ezek a vektorok függetlenek, de egészen biztosan összefüggő, mert köztük van a nullvektor.

Érdemes megjegyezni, hogy ha egy vektorrendszerben benne van a nullvektor, akkor az mindenképpen lineárisan összefüggő.

Ha generátor-rendszer,

akkor is az.

Nos az, hogy generátor-rendszer,

azt jelenti, hogy ők minden vektort előállítanak.

Mivel vektorokból viszont és

előáll, biztos, hogy generátor rendszer.

Az vektorokból először legyártjuk

és vektorokat, akik pedig, mivel generátor-

rendszer, már mindenki mást előállítanak.

Vagyis jegyezzük meg, hogy ha egy vektorrendszer vektoraiból elő tudunk állítani generátor-rendszert, akkor maguk a vektorok is generátor-rendszer.