VEKTORTEREK

Elérkezett az idő, hogy tisztázzunk néhány fontos fogalmat.

Az első és legfontosabb fogalom a vektortér fogalma, ami tulajdonképpen vektoroknak egy olyan halmaza, amely teljesít néhány speciális tulajdonságot.

Kétféle műveletet értelmezünk, egy összeadást és egy számmal való szorzást.

Az összeadás művelet szereplői vektorok, míg a számmal való szorzásnál egy vektort szorzunk meg egy számmal.

Ezek a bizonyos számok lehetnek valós számok, ilyenkor a vektorteret valós számok feletti vektortérnek nevezzük, de lehetnek például komplex számok is, és akkor a vektortér komplex feletti.

A kétféle műveleten kívül a vektortérben egyéb művelet nincsen, tehát nem értelmezzük a vektorok egymással való összeszorzását, sem a skaláris szorzatot sem pedig a diadikus szorzatot.

A kétféle művelettel kapcsolatban teljesülnie kell további tulajdonságoknak, amiket vektortér-axiómáknak nevezünk. Ezek jönnek most.

A nem üres halmazt vektortérnek nevezzük a valós számok felett, ha

a halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, úgy, hogy minden -beli és vektorhoz hozzárendelünk egy vektort, ami szintén eleme -nek.

1. Az összeadás kommutatív: bármely ; -beli vektorra

2. Az összeadás asszociatív: bármely ; ; -beli vektorra

3. Létezik nullelem: van olyan -beli vektor, hogy bármely -beli vektorra

4. Létezik ellentett: bármely -beli vektorra létezik olyan -bel vektor, hogy

és értelmezve van egy skalárral való szorzás nevű művelet, úgy, hogy minden -beli vektorhoz és bármely valós számhoz hozzárendelünk egy vektort, ami szintén -beli.

5. A skalárszoros asszociatív: bármely -beli vektorra és ; skalárra

6. A skalárszoros disztributív a vektorokra: bármely ; -beli vektorra és skalárra

7. A skalárszoros disztributív a skalárokra bármely -beli vektorra és ; skalárra

8. Egységszeres: bármely -beli vektorra és az 1 valós számra

A valós számok feletti vektorteret -el szokás jelölni, ahol ez a bizonyos n a vektorok koordinátáinak a számára utal.

Egy síkban elhelyezkedő vektorok két koordinátával is megadhatók, ezért minden sík egy vektortér.

A térbeli vektoroknak már három koordinátájuk van, így a tér .

Vannak persze háromnál több koordinátával rendelkező vektorok is, ezek geometriai megfelelői azonban a mi kis háromdimenziós világunkban nehezen elképzelhetők.

Érdemes azonban elgondolkodni azon, hogy egy sík vektorainak nem szükségszerűen csak két koordinátájuk lehet.

Megadhatjuk őket három vagy akár négy koordinátával is legfeljebb bizonyos koordináták nullák. A koordináták száma tehát csak a lehetőséget teremti meg az új irányok számára.

Ez elvezet bennünket két nagyon fontos fogalomhoz is, az egyik a dimenzió a másik az altér.

Az altér arról szól, hogy nem használjuk ki a vektorok összes koordinátáját, míg a dimenzió éppen a maximálisan kihasználható koordináták száma.

Például azok a vektorok -ban, amelyek harmadik koordinátája nulla egy altér, ráadásul kétdimenziós altér, mert két koordinátát használunk.

Mindezt jóval precízebben és matematikailag

megfogható módon is képesek leszünk meg-

fogalmazni, de ehhez előbb szükségünk

van néhány alapvető fontosságú

fogalom tisztázására.

Ezek jönnek most.