A leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely vektorokra és számra teljesül, hogy

Minden lineáris leképezés valahogy így néz ki:

Ha akkor a lineáris leképezést lineáris transzformációnak nevezzük.

A leképezés a vektoraihoz rendel -beli vektorokat, de egyáltalán nem biztos, hogy így az egész előáll képként. A -nek azt a részét, amely a leképezés során előáll, a leképezés képterének nevezzük és -vel jelöljük.

A nullvektorból minden lineáris leképezés nullvektort csinál, vagyis képe mindig ,

de előfordulhat, hogy más -beli vektorok képe is nullvektor lesz.

Ezen vektorok halmazát nevezzük a leképezés magterének és -vel jelöljük.

A magtér és a képtér nem csupán részhalmazok -ben és -ben, hanem alterek is. altér -ben és altér -ben.

A képtér és a magtér dimenziója összesen éppen kiadja dimenzióját.

Ezt az összefüggést dimenziótételnek nevezzük:

DIMENZIÓTÉTEL:

mateking.hu

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal. Valójában mindegyiket végtelen sok mátrixszal jellemezhetjük, ezek a mátrixok pedig úgy keletkeznek, hogy veszünk egy tetszőleges bázist -ben és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk. Nézzünk erre egy példát!

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal. Valójában mindegyiket végtelen sok mátrixszal jellemezhetjük, ezek a mátrixok pedig úgy keletkeznek, hogy veszünk egy tetszőleges bázist -ben és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk. Nézzünk erre egy példát!

Vegyük például a tengelyes tükrözést.

Ez egy lineáris leképezés.

A tükrözés mátrixát úgy kapjuk,

hogy a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk:

Vegyük például a tengelyes tükrözést. Ez egy lineáris leképezés.

Ez tehát a tükrözés mátrixa, legalábbis a szokásos bázisban.

Ha ugyanis egy másik bázis alapján írjuk föl ugyanennek a tükrözésnek a mátrixát, akkor egészen más mátrixot kapunk. Legyen például a másik bázis a következő:

A szokásos bázis alapján a tükrözés mátrixát úgy kapjuk, hogy a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk:

Ez tehát a tükrözés mátrixa, legalábbis a szokásos bázisban.

Ha ugyanis egy másik bázis alapján írjuk föl ugyanennek a tükrözésnek a mátrixát,

akkor egészen más mátrixot kapunk. Legyen például a másik bázis a következő:

A transzformáció mátrixa most is úgy keletkezik,

hogy egymás mellé írjuk a bázisvektorok képeit.

Van itt azonban egy izgalmas fordulat.

Addig minden stimmel, hogy a bázisvektorok képe:

Addig minden stimmel, hogy megkaptuk az új bázisvektorok képeit.

Csakhogy itt az új bázisvektorok képeit még mindig a régi bázisban adtuk meg.

Nekünk azonban a bázisvektorok képeit is az új bázisvektorok segítségével kell megadnunk.

Az tehát a kérdés, hogy mennyit vegyünk az és vektorokból,

hogy előálljanak és képei.

Az tehát a kérdés, hogy mennyit vegyünk az és vektorokból, hogy előálljanak és képei.

Ezúttal a szerencse megsegít bennünket, az vektor képe ugyanis

ami úgy tűnik éppen mínuszegyszerese.

Az vektor képe tehát úgy jön ki, hogy -ből 0 darab, -ből pedig -1 darab kell.

Lássuk mi a helyzet az vektor képével. Itt is szerencsénk van.

ami éppen az eredeti mínuszegyszerese, tehát -ből -1 darab, -ből 0 darab kell.

Lássuk a transzformáció mátrixát ebben az új bázisban!

A tükrözés mátrixa most is

úgy keletkezik, hogy egymás mellé

írjuk a bázisvektorok képeit.

Csakhogy új bázisvektorok képeinek

ezeket az új koordinátáit kell írnunk

a tükrözés mátrixába.

Na ezt kell írnunk a mátrix első oszlopába, ahova az vektor képe kerül.

Az új bázisvektorok képeinek ezek az új koordinátái kerülnek a transzformáció mátrixába.

Az vektor képe szintén szerencsésen előállítható, ugyanis

ami pedig éppen az eredeti mínuszegyszerese, tehát -ből -1db és -ből 0db kell.

Az új bázisvektorok képeinek ezek az új koordinátái kerülnek a transzformáció mátrixába.

Az új bázisban felírt mátrix:

Mindezt egyszerűbben is megkaphatjuk egy remek kis összefüggés segítségével.

ahol az új bázisra áttérés mátrixa a régi bázisban. Mit is jelent mindez?

Van ugye a transzformáció régi mátrixa, ez

és van ez a bizonyos , ami annak a transzformációnak a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál. Ez a bizonyos mátrix tehát

RÉGI BÁZIS

ÚJ BÁZIS

A képlet azt mondja, hogy az új mátrixot így kapjuk:

A leképezés mátrixa sokkal többet is tud annál, minthogy egyszerűen leírja magát a leképezést.

Minden vektorról megmondja, hogy mi lesz a vektor képe:

A vektor képe úgy lesz, hogy egyszerűen

megszorozzuk a vektort a leképezés mátrixával.

Nézzük meg például mi lesz a tükrözés során

ebből a remek vektorból:

A tükrözés mátrixa normál bázisban:

A vektor képe:

És tényleg!

Nézzük meg mi történik ugyanezzel a vektorral a másik bázisban.

Az új bázisban koordinátái megváltoznak.

A vektor éppen kétszerese -nek,

ezért az első koordinátája kettő,

a második koordináta pedig nulla.

A tükrözés mátrixa az új bázisban:

vagyis nulla darab -re és

–2 darab -re van szükség

Lássuk a leképezés mátrixának még néhány további izgalmas tulajdonságát.

Ha egy leképezés mátrixa akkor

a leképezés megfordításának mátrixa

A leképezés megfordítását nevezhetjük úgy,

hogy a leképezés inverze.

A leképezés megfordítását nevezhetjük úgy, hogy a leképezés inverze.

Egy leképezésnek pontosan akkor létezik inverze, ha a mátrixnak létezik inverze,

és az inverz leképezés mátrixa:

mátrixa

Ha van két leképezés, mondjuk és a leképezések mátrixa pedig és ,

akkor a leképezés mátrixa lesz.

Nézzünk meg erre egy példát.

Legyen az eddigi tükrözés az x tengelyre,

pedig mondjuk tükrözés az y tengelyre.

Ekkor a két tükrözés egymás utáni

alkalmazása.

A leképezés mátrixa:

Az x tengelyre tükrözés mátrixa:

Az y tengelyre tükrözés mátrixa:

Ez éppen az origó középpontú tükrözés mátrixa.

A leképezések egymás után alkalmazásáról szóló tétel

A leképezés mátrixa:

A leképezés a vektor

A leképezésben minden

vektor képét így kapjuk:

Ha létezik a leképezés

inverze, akkor mátrixa:

mátrixa

Ezek a tételek lehetővé teszik, hogy készítsünk egy remek kis képletet ami leírja, hogy miként változik meg egy leképezés mátrixa az új bázisra való átállásnál.

A leképezés mátrixa új bázisban felírva

ahol az új bázisra áttérés mátrixa a régi bázisban.

Lássuk, hogy mit is jelent mindez!

Van ugye a transzformáció régi mátrixa, ez

és van ez a bizonyos , ami annak a transzformációnak a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál. Ez a bizonyos mátrix tehát

és van ez a bizonyos ami annak a leképezés-

nek a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál.

Ez a bizonyos mátrix tehát egyszerűen

úgy keletkezik, hogy fogjuk az új bázis-

vektorokat és leírjuk egymás mellé.

A képlet azt mondja, hogy az új mátrixot így kapjuk:

Ez csodás, így is kijött a tükrözés új mátrixa, kevesebb gondolkodással és több számolással.

Mindezeket foglaljuk össze!

LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK MÁTRIXA

A lineáris leképezésnek a bázisban felírt mátrixát úgy kapjuk meg, hogy a bázisvektorok képeit egymásmellé írjuk:

Ha egy másik bázisban írjuk föl a mátrixot, akkor

A két mátrix közötti átjárást az alábbi tétel biztosítja:

Itt az új bázisra való áttérés mátrixa:

Egyszerűen úgy keletkezik, hogy az új bázisvektorokat

fogjuk és leírjuk egymás mellé.

Egyszerűen úgy keletkezik, hogy az új bázis

vektorait leírjuk egymás mellé.

Ha és olyan mátrixok, hogy létezik egy mátrix

úgy, hogy

akkor az előző tétel alapján és mindketten

ugyanannak a leképezésnek a mátrixa, csak éppen

más-más bázisban felírva.

Ezt a tényt úgy nevezzük, hogy a két mátrix egymáshoz hasonló.

Ez elvezet minket néhány nagyon izgalmas összefüggéshez, amik most fognak jönni!

és mátrixok hasonlók, tehát , ha létezik olyan mátrix, amire