9. feladat: Építkezés kockákból és téglatestekből

Hogyha egy téglatest minden oldaléle egyforma hosszú…
Akkor úgy hívjuk, hogy kocka.
A kockák elég unalmasak…

Minden oldaluk egy négyzet.

És 6 darab van belőlük.

Így hát nem kell túl sokat gondolkodni azon, hogy mekkora lesz egy kocka térfogata és felszíne…

Most pedig nézzünk meg egy trükköt…

Nem túl nagy trükk…
De mégis sokkal könnyebbé teszi az életünket.

A trükk lényege, hogy ezeken a nagyon vagány 3D-s ábrákon mindig éppen a felszín fele látható.

Számoljuk ki például, hogy mekkora a térfogata és a felszíne ennek az építménynek, amit 6 darab 4 centis élhosszú kockából építettünk.

A térfogat nagyon könnyű…
Kiszámoljuk egy darab kocka térfogatát…

És ebből van 6 darab…

Most pedig lássuk a felszínt.

A felszín sok kis négyzetlapból áll.

13 darab látszik belőlük…
És tudjuk, hogy mindig kétszer annyi van.

Egy négyzet területe pedig  

Ez meg is van.

Az alábbi ábrán látható testet öt darab egybevágó négyzetes oszlopból ragasztottuk össze. (A ragasztási felületek teljes négyzetek.)  A négyzetes hasábok éleinek hossza: 2 cm és 5 cm.  a) Hány cm2 az ábrán látható test felszíne? b) Hány cm3 az ábrán látható test térfogata?

Kezdjük a térfogattal…

Egy darab ilyen oszlop térfogatát kiszámolni nagyon könnyű…
A négyzetes hasáb azt jelenti, hogy minden oszlop alaplapja egy négyzet.
 

És ebből van 5 darab.

A térfogat meg is van.

Most nézzük, mekkora a felszín.

A szokásos felszín-trükk itt is működik.
Kiszámoljuk azt a felszínt, ami látszik, aztán megszorozzuk kettővel.

Menjünk szépen sorban…

Ekkora felszín látszik…
És ezt kell megszorozni 2-vel.

Nézzünk meg még egyet…

Keressük meg, hogy hol van a leghosszabb él.

Ez itt egy él…
Meg ez is…
De egyik sem a leghosszabb.

A leghosszabb él itt van.

És a legrövidebb…

A legrövidebb él ez.

Vagyis éppen a b.

És ez is itt b.
A két szélén meg a.
 

Most nézzük, mekkora a felszín.

A trükk a szokásos, a felszín kétszer akkora, mint amennyi látszik.

Az alábbi ábrán látható testet négy darab egybevágó négyzetes oszlopból ragasztottuk össze. (A ragasztási felületek teljes négyzetek.) A négyzetes hasábok éleinek hossza 2 cm és 5 cm. Mekkora az ábrán látható test felszíne és térfogata?

Kezdjük a térfogattal…
Egy darab hasáb térfogatát kiszámolni nagyon könnyű…

Egy darab ilyen oszlop térfogatát kiszámolni nagyon könnyű…
A négyzetes hasáb azt jelenti, hogy minden oszlop alaplapja egy négyzet.
 

Egy darab hasáb térfogata meg is van.
És négy ilyen hasábunk van.

Mondjuk, ez itt egy kicsit rövidebbnek tűnik…
Ja, mégse.

Úgy tűnik, tényleg négy darab ugyanolyan hasábunk van.
Vagyis az egész építmény térfogata a hasáb térfogatának a négyszerese.

És most jöhet a felszín.

A szokásos felszín-trükk itt is működik.

Kiszámoljuk azt a felszínt, ami látszik, aztán megszorozzuk kettővel.

A térfogat most is nagyon könnyű…
 

Hogyha egy hasáb térfogata 16 cm3, akkor a négy hasábból álló építmény térfogata 4-szer annyi.

És most jöhet a felszín.

Van itt három darab 2X2-es négyzet…
Sőt, egy negyedik is.

Hoppá, és még egy ötödik is.

Hát igen, ezek a megtévesztő ábrák…

És aztán itt vannak még ezek a téglalapok.

A látható felszín ezeknek az összege.

A teljes felszínt pedig megkapjuk egy 2-vel való szorzás segítségével.

Négy darab egybevágó négyzetes oszlopból ragasztottuk össze az ábrán látható testet.  A négyzetes hasábok éleinek hossza 1 cm és 4 cm. Mekkora az ábrán látható test térfogata és felszíne?

Három darab egybevágó négyzetes hasábból ragasztottuk össze az ábrán látható testet. Az így kapott test leghosszabb éle 7 cm, a legrövidebb éle 2 cm hosszú. a) Hány cm hosszúak a négyzetes hasábok élei?  b) Hány cm2 egy négyzetes hasáb felszíne?  c) Hány cm2 az ábrán látható test felszíne?

Nézzük, mekkorák a hasáb élei…
Így néz ki egy hasáb, az alaplapja egy a oldalú négyzet, a hosszabbik oldala pedig b.

Építsük vissza az eredeti testet…
És nézzük, hol van a legrövidebb és a leghosszabb éle.

A legrövidebb éle itt van.
És még néhány másik helyen…

.Ezeknek az éleknek a hossza éppen a.
 

És most keressük meg a leghosszabb élt.
Úgy tűnik, hogy ez a leghosszabb.

A következő kérdés egy kicsit cseles, ugyanis nem az egész építmény felszíne a kérdés…

Csak egy darab hasáb felszínét kell kiszámolnunk.
Itt is van…

Egy darab hasáb felszíne 48 cm2.
A három hasábból álló építményé pedig háromszor annyi.

Na, ez sajnos nem igaz…

Azért nem igaz, mert amikor összeragasztjuk a hasábokat…
A ragasztási felületek az építmény belsejébe kerülnek.

De ez mindegy is, hiszen itt szokott jönni a trükkös módszer.

Most is jön…

Egy kocka és két darab egybevágó négyzetes hasáb összeragasztásával építettük meg az ábrán látható testet.  a) Hány cm hosszúak a négyzetes hasáb élei (a és b)?  b) Mekkora az ábrán látható test térfogata és felszíne?

Itt a kocka…
Ezek pedig a hasábok.

Úgy tűnik, a kocka éleinek a hossza a…

A hasáb alaplapja pedig egy a oldalú négyzet.
 

A hasáb élei meg is vannak.

És most számoljuk ki az építmény térfogatát.

Végül jöhet a felszín.

Van néhány 8X8-as négyzetünk…

Aztán itt van a négy piros téglalap…

És ez a sárga…

Ekkora az a felszín, ami látszik.
Az építmény teljes felszíne pedig szokás szerint ennek a kétszerese.

Kilenc darab olyan egybevágó négyzetes hasábunk van, amelyekből egy nagy kockát ragaszthatnánk össze. Az alábbi ábrán az látható, amikor már csak az utolsó hasáb hiányzik a kockából. Az ábrán látható test térfogata 192 cm3. Hány cm hosszúak a négyzetes hasáb élei (a és b)?

Hát, ez nem hangzik túl jól…
Az egyik probléma ezzel a feladattal az, hogy visszafelé kell gondolkodni.

Mert a térfogat van megadva.

A test 8 darab ilyen hasábból áll.

Az egész építmény térfogata 192 cm3…
Így hát egy darab hasáb térfogata ennek a nyolcada.
 

A feladat szerint a kilenc hasábból éppen egy kockát ragaszthatunk össze…

A kockáknak pedig minden oldaléle egyenlő.

Most pedig írjuk fel a sárga hasáb térfogatát…

27 darab egybevágó kockából építettünk föl egy nagy kockát. Az így kapott nagy kocka egyik oldalán kivettük a középső kis kockát, és ugyanezt megcsináltuk a nagy kocka átellenes oldalánál is. A megmaradt építmény így 25 darab kockából áll.

Mekkora az építmény térfogata és felszíne, hogyha a leghosszabb éle 12 centiméter?

Hát, ez egy trükkös feladat lesz…

Kezdjük azzal, hogy megkeressük az építmény leghosszabb oldalélét.

Ez a leghosszabb oldalél…
Meg ez…
Meg ez is…

Ami közös bennük, hogy mindegyiknek a hossza három kockányi…
És összesen 12 centiméter.

A térfogatot így már nagyon könnyű kiszámolni.
Megnézzük, mekkora egy darab kocka térfogata…

És az építmény 25 darab ilyen kockából áll.

A térfogat meg is van.

Most pedig jöhet a felszín.

Megszámoljuk, hogy hány darab kisnégyzet látszik…

Hát, jó sok…

 
Egy darab 4X4-es kisnégyzet területe 16 cm2.
És 29 darab látszik.

Most jön a szokásos trükk, hogy a feszín mindig kétszer akkora, mint ami látszik.

De ez egy nagyon ravasz feladat.

Ennél a feladatnál nem működik a trükk.

Azért nem működik a trükk, mert ott hátul van egy nem látható extra módosítás.
És ez a módosítás csak a feladat szövegéből derül ki.

A trükk pedig sajnos nem tud olvasni, csak a rajzokra működik…

Az extra módosítás az, hogy ott hátul is ki van véve egy kocka középről.
Van tehát egy ilyen módosított oldalunk, ami látszik…

Van belőle még egy, ami nem látszik…
 
Ezen van 8 darab kisnégyzet így simán…
És ott a behorpadásban pedig…

A behorpadásban van három kisnégyzet, ami látszik…
És még kettő, ami nem látszik.

Aztán van egy ugyanilyen oldal ott hátul is…
Végül itt jön ez a 18 darab kisnégyzet…

És van még ugyanennyi belőlük, ami nem látszik.

Huh, ez tényleg egy kicsit ravasz volt…
A felszín 62 darab kisnégyzetből áll.
Nézzünk meg még egyet.

Megint 27 darab egybevágó 4 cm élhosszúságú kockából építünk föl egy nagy kockát. Az így kapott nagy kocka egyik sarkából kiveszünk egy kis kockát és ugyanezt megcsináltuk a nagy kocka átellenes sarkánál is. A megmaradt építmény így 25 darab kockából áll. Mekkora az építmény felszíne?

Egy fontos dolgot rögtön tisztázzunk…

Hogyha ezt a két átellenes sarkot vesszük ki…
Akkor minden extra módosítás látszik az ábrán.

Mivel minden extra módosítás látszik az ábrán, ezért ilyenkor működik a felszínszámolós trükk.

Vagyis kiszámoljuk a látható felszínt, aztán simán megszorozzuk 2-vel.

Most nézzük, mi van akkor, ha…
Hogyha mondjuk ezt a két sarkot vesszük ki.

Ilyenkor is minden látszik, tehát ilyenkor is működik a trükk.

Gyorsan számoljuk is meg…

Úgy tűnik, 26 darab kisnégyzet látszik…
A felszíne tehát kétszer ekkora.

És ugyanezt az eredményt kapnánk akkor is…

Hogyha például ezeket a sarkokat vennénk ki.

Csak ne felejtsük ki a számolásnál őket sem.

És most jön a VESZÉLY!

A sarkokat úgy is kivehetjük, hogy az ábrán csak az egyik látszik.
A feladat szövege pedig megemlíti, hogy még az átellenes sarok is hiányzik.

Na, ilyenkor nem működik a trükk.

Vagyis olyankor, amikor bizonyos dolgok csak ilyen bemondásos alapon vannak.

18 darab egybevágó 5 cm-es élhosszú kockából építettünk föl egy hasábot, majd a hasáb belsejéből két kockát eltávolítottunk az ábrán látható módon. A megmaradt építmény így 16 darab egybevágó kockából áll. Mekkora az építmény felszíne?

Ez is egy nagyon ravasz feladat.

Csak a szövegből derül ki, hogy innen alulról is hiányzik egy kocka.

Ez tehát egy olyan feladat, amikor a rajzon nem látszik minden.

Azért valahogyan mégis meg kéne oldani…
Kezdjük itt fönt.

Ez 8 darab négyzet.
És ugyanennyi van alul is.

Aztán oldalt van 6 darab és még 6 darab…
És a másik két oldalon is ott hátul.

Végül itt jön ez a cső…

Ebben 4 darab kisnégyzet van a felső szinten és újabb 4 darab az alsón.
Ehhez jól jön egy kis térlátás…

Meg is van.

Minden kisnégyzet 5X5-ös…

 
Mekkora nagy kockát. Az így kapott nagy kocka egyik oldalán kivettük a középső kis kockát, és ugyanezt megcsináltuk a nagy kocka átellenes oldalánál is. A megmaradt építmény így 25 darab kockából áll.

Úgy tűnik, a kocka éleinek a hossza a…

A hasáb alaplapja pedig egy a oldalú négyzet.
 

A hasáb élei meg is vannak.

És most számoljuk ki az építmény térfogatát.

27 darab egybevágó 4 cm élhosszúságú kockából építünk föl egy nagy kockát. Az így kapott nagy kockának minden oldalán kivettük a középső kockát. Így összesen 8 darab kockát távolítottunk el. Mekkora a megmaradt test felszíne?

Ezek a lukak ott vannak a túloldalon is…
De mindez csak mese…
A feladat szövegéből derül ki.

Úgyhogy pápá trükk…
De azért nem kell pánikba esni.

A nagy kocka egyik oldala 8 darab kék négyzetből áll…
És 5 darab rózsaszínből.

A nagy kockának 6 darab ilyen „oldala” van.

És egy négyzet 5X5 centis.

Meg is van a felszín.
Meg is van a felszín.