- Komplex számok
- Polinomok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
- Hatványozás, logaritmus, exponenciális és logaritmusos egyenletek
- Trigonometria, trigonometrikus egyenletek
- Függvények
- Összetett függvény és inverz függvény
- Trigonometrikus függvények és arkusz függvények
- Hiperbolikus függvények és inverzeik
- Sorozatok határértéke
- Küszöbindex és monotonitás
- Rekurzív sorozatok
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Taylor polinom és Taylor sor
- L’Hôpital szabály
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Paraméteres görbék
Taylor polinom és Taylor sor
Taylor polinom
Legyen $f(x)$ $k$-szor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt $k$-adfokú Taylor polinomja:
\( T(x) = \sum_{n=0}^k \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)
Taylor sor
Legyen $f(x)$ akárhányszor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt Taylor sora:
\( T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)
Nevezetes függvények Taylor sora
Az $e^x$, $\ln{x}$, $\sin{x}$ és $\cos{x}$ függvények Taylor sorai:
\( e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!} x^n } \quad \ln{x}=\sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{ (-1)^{n-1}}{n}(x-1)^n} \)
\( \cos{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{(-1)^n}{ (2n)!} x^{2n}} \quad \sin{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{ (-1)^n}{ (2n+1)!} x^{2n+1}} \)
Lagrange-féle maradéktag
Ha $f(x)$ egymás után $k$-szor folytonosan differenciálható az $[a,b]$ zárt intervallumon, és $k+1$-edszer differenciálható az $(a,b)$ nyílt intervallumon, akkor létezik olyan $c \in (a,b)$ amire
\( f(b) = T(b) + R(b) = \sum_{n=0}^{k} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (b-a)^n + \frac{ f^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}(b-a)^{k+1} \)
Adjuk meg az $ f(x)=\cos{x} $ függvény $a=0$ pontban felírt Taylor polinomját!
a) Írjuk fel az $ f(x)=e^x $ Taylor sorát $x=0$-nál.
b) Írjuk fel az $ f(x)=\ln{x} $ Taylor sorát $x=1$-nél.
Adjuk meg a következő függvények Taylor sorát!
a) \( f(x)=e^{x-3} \)
b) \( f(x)=\sin{(x+4)} \)
c) \( f(x)=e^{x^2-6x+13} \)
d) \( f(x)=e^{x-2} \quad x=3 \)
e) \( f(x)=\frac{1}{e^{4x-12} } \)
f) \( f(x)=\frac{1}{e^{x^2-8x} } \)
Adjuk meg a következő végtelen sorok összegét!
a) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n}{n!} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} 4^n $$
b) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^n}{(2n)!} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n}{n} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-9)^n}{(2n+1)!} $$
a) Írjuk föl ennek a függvénynek a negyedfokú Taylor-polinomját az $a=0$ helyen, deriválás nélkül.
\( f(x)=\frac{4}{1-x^2} \)
b) Írjuk föl ennek a függvénynek a negyedfokú Taylor-polinomját az $a=0$ helyen, deriválás nélkül.
\( f(x)=\frac{5}{1+x^2} \)
c) Írjuk föl ennek a függvénynek a negyedfokú Taylor-polinomját az $a=2$ helyen, deriválás nélkül.
\( f(x)=\frac{4}{3-x} \)
a) Írjuk föl az $a=3$ helyen ennek a függvénynek a harmadfokú Taylor-polinomját:
\( f(x)=\frac{7}{1-x} \)
b) Írjuk föl az $a=0$ helyen ennek a függvénynek a harmadfokú Taylor-polinomját:
\( f(x)=\frac{x^2}{4-x^3} \)
c) Írjuk föl az $a=0$ helyen ennek a függvénynek az ötödfokú Taylor-polinomját:
\( f(x)=x^4 \cdot e^x \)
Adjunk $e^{0,2}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $\sin{0,3}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $\cos{0,2}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $e^{-0,1}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=3$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $\cos{0,1}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=4$. Adjunk hibabecslést is.
Adjunk $e^{-0,2}$ értékére becslést, használjuk a Taylor polinomot, ahol $a=0$ és $n=3$. Adjunk hibabecslést is.
EGY KIS VAS, MEG SZÉN, ÉS MÁRIS MEGVAN, HOGY MENNYI sin2 VAGY ÉPP log5...
Már az 1600-as évek közepén fölmerült az igény olyan egyszerűbben használható mechanikus számolószerkezetek iránt, amelyek megkönnyíthetik például a beszedett adók összeszámolását. Ezek a szerkezetek finoman megmunkált fémből készült, apró alkatrészekből épültek föl, így megjelenésük akkor vált lehetővé, amikorra a technikai fejlődés olyan szintre jutott, hogy képesek voltak ilyen alkatrészeket előállítani. Az első valóban megbízhatóan működő számolószerkezetet a francia Blaise Pascal alkotta meg, hogy az adófelügyelőként tevékenykedő apja munkáját megkönnyítse. A Pascalin névre keresztelt szerkezetből hét példány készült, és csak összeadni meg kivonni tudott. A szerkezet 10-es számrendszerben számolt, és úgy működött, hogy fogaskerekes tárcsák fordulatszámai jelentették a műveletek eredményeit. Pascal találmányát nem sokkal később Leibniz tökéletesítette.
Gottfried Wilhelm Leibniz – ő volt, aki megoldotta a skizofrén nullák problémáját pár fejezettel korábban –, a matematika történetének egyik legjelentősebb szereplője, a differenciál- és integrálszámítás elméletének egyik kidolgozója 1672-re készítette el hosszú évek munkájával számológépét, amely már nemcsak összeadni és kivonni, hanem szorozni és osztani is tudott. A gép elméletileg nyolcjegyű számokkal volt képes mindenféle műveletet végezni, de adódtak vele kisebb működésbeli problémák a számolás során az egy helyi értékkel történő ugrásoknál. Leibniz gépe az összeadást és kivonást a Pascalin mintájára végezte, a szorzás és osztás elvégzéséhez pedig egy trükkös szerkezetet, a Leibniz-kereket használta. Ezzel a megoldással Leibniznek elsőként sikerült két szám szorzatát és hányadosát teljesen mechanikusan, mindössze egy bordás fémhenger megfelelő számú körbeforgatásával megadnia. Ez a bordás henger jelentette egészen az 1800-as évek végéig az egyetlen gyakorlatban is kivitelezhető mechanikus megoldást a szorzás gépesítésére.
A szörnyű kínszenvedést jelentő, papíron végzett számolásokat így szép lassan felváltották a mechanikus számolószerkezetek. Sajnos azonban az ezekkel a szerkezetekkel történő számolás még mindig igényelte az emberi jelenlétet, és sokszor előfordult, hogy mindenféle hibák folytán nem pontos eredmények születtek. A térképészet a csillagászat és más műszaki tudományok fejlődése miatt egyre nagyobb és pontosabb szinusz-, koszinusz- és logaritmustáblázatokra lett volna szükség, de a számítások lassúsága és kezdetlegessége miatt ezt az igényt egyre kevésbé sikerült kielégíteni. Így aztán az 1820-as évek elején egy bizonyos Charles Babbage angol matematikus elhatározta, hogy hatalmas és minden eddiginél pontosabb számológépet épít, amelyet a gőz ereje fog működtetni. A gép által kapott számításokat egy szerkezet egyből a nyomdákban használt nyomólemezekre véste volna, így a szükséges táblázatok elkészítése tulajdonképpen teljesen automata módon történt volna jóformán a gőzgépbe történő szénlapátolásra redukálva ezzel a számítások elvégzéséhez szükséges emberi jelenlétet.
Babbage az angol Királyi Asztronómiai Társasághoz fordult ötletével, akik támogatták törekvéseit, és ezen támogatásuk 1500 fontban is megnyilvánult. Az odaítélt összegből Babbage hozzálátott a differenciálgépnek keresztelt szerkezet elkészítéséhez. A név onnan ered, hogy Babbage egész más elven működő gépet tervezett, mint Leibniz. Ezt a differenciálszámítás tette lehetővé, amely az évek során fontos matematikai elméletté fejlődött, és lehetővé vált különböző bonyolult függvények értékeit egyszerű alapműveletekkel kiszámolni. Az elmélet lényege, hogy jóformán az összes fontosabb függvénnyt elő lehet állítani x hatványok végtelen soraként, és már véges sok tag felírásával meglepően pontos közelítést kapunk. Ezek tulajdonképpen polinomok, amelyek varázslatosan jól közelítik különböző függvények értékeit. A sinx, a cosx, az ex, a logx és jóformán minden lényeges függvény remekül közelíthető ezekkel a polinomokkal.
Ezeket a közelítő polinomokat Taylor polinomnak nevezzük feltalálójáról Brook Taylorról, aki a Cambridge-i Egyetemen először jogász diplomát szerzett, majd később a matematikával kezdett foglalkozni.
1712-ben beválasztották a Royal Society tagjai közé, és ugyanebben az évben tagja volt a Newton és Leibniz közötti, a kalkulus feltalálásáról szóló ellentétet elbíráló bizottságnak. 1715-ben jelent meg először nyomtatásban a függvények Taylor-sorba fejtésével foglalkozó műve, és ebben már szó esik a Taylor-polinomokról is, amelye véges sok tag összeadásával képesek igen jó közelítő értékeket adni a különböző függvényekre. A Taylor által megalkotott elmélet hihetetlen fontosságát akkor még nem ismerték fel. Később azonban egyre nagyobb jelentősége lett, és végül ezen alapult az összes nyomtatásban megjelent függvénytábla, sőt a számítógépek mind a mai napig ez alapján számítják a különféle függvények helyettesítési értékeit.
A mai modern számítógépek mintájára számolta volna a szinusz és koszinusz értékeket Babbage gépe is. A gép készítése azonban nem haladt túl jól. A probléma egyik oka a gép bonyolultsága volt, ugyanis 25 ezer alkatrészből állt, és a sok kis forgó alkatrész közt a működés során fellépő belső súrlódás nem várt bajokat okozott. Szintén nem tett jót a vállalkozásnak, hogy Babbage a terveket menet közben még többször is módosította. 1833-ra a költségek kissé megugrottak, az eredeti 1500 font helyett 17 ezer fontot költöttek a differenciálgép megépítésére, de a szerkezet végül nem volt működőképes. Babbage azonban nem adta fel, már a differenciálgép építése közben új elképzelései támadtak egy még az előzőnél is bonyolultabb szerkezet, az analitikai gép megépítéséről.
Az analitikai gép a tízes számrendszer helyett kettes számrendszerben végezte volna a műveleteket, ami egy sor egészen új funkció beépítését tette volna lehetővé. A géphez Babbage részletes terveket készített, ám a szerkezet sosem valósult meg. Ez a gép nemcsak számításokat tudott volna elvégezni, hanem korábban elvégzett számítások eredményei alapján újabb számításokat is, a korábbi eredményeket pedig lyukkártyák segítségével táplálták volna be a gépbe. Szintén lyukkártyák által vezérelve különböző programok lefuttatására is alkalmas lett volna, sőt Babbage egy belső tárolót, egy memóriát is tervezett a géphez. Ez a szerkezet tekinthető talán a mai számítógépek első kezdetleges ősének, amely még ugyan teljesen mechanikus eszközökkel és lyukkártyákkal vezérelve, de képes lett volna programokat lefuttatni. A gépre még programot is írt Babbage egyik barátja és kolléganője, egy bizonyos Ada Lovelace matematikus, Lord Byron költő lánya. A program az úgynevezett Bernoulli-számokat kereste volna meg.
A kudarcokon felbuzdulva Babbage egy harmadik gép, a No. 2 differenciálgép tervezéséhez is hozzálátott. Ez a szerkezet jóval kevesebbet tudott, mint az analitikai gép, mindössze az első differenciálgép tökéletesítése volt. A gép végül ebben a formájában Babbage életében nem készült el, de a londoni Science Museum 1991-re, Babbage születésének 200. évfordulójára háromévnyi kitartó munkával, a korabeli gyártási technológiák alkalmazásával felépítette a No. 2 differenciálgépet az eredeti tervek alapján, és a szerkezet azóta is tökéletesen működik.
Még Babbage életében elkészült az első olyan differenciálgép is, amely rendelkezik azzal a kellemes tulajdonsággal, hogy működött. Egy bizonyos Per Georg Scheutz svéd jogász és nyomdász olvasott Babbage gépéről egy újságban, és fiával együtt elhatározták, hogy ők is építenek egy ilyen gépet. 15 éven át dolgoztak a gép megépítésén, amely egyszerűbb felépítésű volt Babbage masináinál, és kevésbé pontos számításokat tudott csak végezni – viszont működött. A gép két részből állt, az egyik része végezte a számításokat, a másik pedig ki is nyomtatta azokat. A szerkezetet az 1855-ös párizsi világkiállításon mutatták be, ahol aranyérmet nyert. Ezzel kezdetét vette a differenciálgépek korszaka. Az egyre jobban tökéletesített differenciálgépek egészen az 1940-es évekig szorgosan nyomtatták a különféle függvénytáblázatokat, valóra váltva ezzel Babbage egyik nagy álmát.
