- Komplex számok
- Polinomok, polinomosztás, polinomfüggvények
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
- Hatványozás, logaritmus, exponenciális és logaritmusos egyenletek
- Trigonometria, trigonometrikus egyenletek
- Sorozatok határértéke
- Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése
- Monotonitás és korlátosság
- Rekurzív sorozatok
- Függvények
- Összetett függvény és inverz függvény
- Trigonometrikus függvények és arkusz függvények
- Hiperbolikus függvények és inverzeik
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Taylor polinom és Taylor sor
- L’Hôpital szabály
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Paraméteres görbék
Monotonitás és korlátosság
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Sorozatok monotonitása
Az $a_n$ sorozat szigorúan monoton nő, ha $0<a_{n+1}-a_n$.
Az $a_n$ sorozat szigorúan monoton csökken, ha $0>a_{n+1}-a_n$.
Az $a_n$ sorozat monoton nő, ha $0\leq a_{n+1}-a_n$.
Az $a_n$ sorozat monoton csökken, ha $0 \geq a_{n+1}-a_n$.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását.
a) \( a_n = \frac{6n+7}{2n+1} \)
b) \( a_n = \frac{2n+1}{5n+7} \)
c) \( a_n = \frac{4n^2+7}{3n^2+1} \)
d) \( a_n = \frac{2n^2-3n+6}{n^2+4} \)
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.
a) \( a_n = \frac{6n+1}{2n+7} \)
b) \( a_n = (-1)^n \frac{2n^2+5}{n^2+1} \)
c) \( a_n = (-1)^n \frac{5^{n+1}+3}{5^n+7} \)
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.
a) \( a_n = \frac{3n^2-7}{2n^2+5} \)
b) \( a_n = \frac{n^2+n}{2n^2+1} \)
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.
a) \( a_n = (-1)^n \frac{n+1}{n^2+1} \)
b) \( a_n = (-1)^n \frac{3n+2}{n+3} \)
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.
a) \( a_n = (-1)^n \frac{3n+5}{n+1} \)
b) \( a_n = (-1)^n \frac{5}{n^2+1} \)
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.
a) \( a_n = \frac{3n^3+8}{2n^3+13} \)
b) \( a_n =\frac{4^{n+1}-1}{2^{2n}} \)
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozat monotonitását és korlátosságát.
\( a_n = \frac{7n^2-1}{7n^2+1} \)
Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.
a) \( a_n = \frac{4^{n+1}-5}{2^{2n+1}+1} \)
b) \( a_n =\frac{2^{2n+1}}{4^{n+1}+3 } \)
Mennyi lesz az $\epsilon = 0,01$-hoz tartozó $n_0$, ha
\( a_n = \frac{3n+2}{5n-1} \)
Mennyi lesz az $\epsilon = 0,01$-hoz tartozó $n_0$, ha
\( a_n = \frac{2n^2+5}{n^2-3} \)
A sorozatok konvergenciájának definíciója nagyon fontos a matematikában és itt elmagyarázzuk úgy, hogy biztosan megértsd. A konvergencia definíciója, Az epszilon és a hozzá tartozó küszöbindex kiszámolása, Epszilon sugarú környezet, A sorozat tagjai, A sorozat indexei, A határérték epszilon sugarú környezete, Néhány konvergens sorozat. A divergencia definíciója, Végtelenhez tartó sorozatok, Mínusz végtelenhez tartó sorozatok, Oszcillálva divergens sorozatok, Az M és a hozzá tartozó küszöbindex kiszámolása, A sorozat tagjai, A sorozat indexei, A határérték epszilon sugarú környezete, Néhány divergens sorozat. A monotonitás, Szigorúan monoton növő sorozatok, Szigorúan monoton csökkenő sorozatok, Monoton növő sorozatok, Monoton csökkenő sorozatok, A monotonitás vizsgálata, Egy trükk a monotonitás vizsgálatához. Itt azt is megnézheted, hogy mit jelent az infimum és szuprémum, hogyan kell kiszámolni egy sorozat alsó és felső korlátját, kiderül, hogy mikor korlátos egy sorozat és rengeteg feladatot oldunk meg a sorozatok monotonitásával és korlátosságával kapcsolatban.
A sorozatok monotonitásának vizsgálata valóban elég monoton elfoglaltság lesz.
Szóval ne sok izgalomra számítsunk…
Egy sorozat szigorúan monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb az előtte lévő tagnál.
Szigorúan monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb az előtte lévő tagnál.
Monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.
És monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.
Itt van például egy sorozat, és vizsgáljuk meg a monotonitását.
Nos ez elég rémes lesz.
2.1.
A jelek szerint tehát szigorúan monoton nő.
Ugyanezt kideríthetjük egy trükk segítségével is.
Épp itt is jön:
Itt picit álljunk meg gondolkodni.
Mi történik, ha a 4-et egyre nagyobb számokkal osztjuk?
Nos ez.
Nézzünk meg egy másikat is.
A sorozat szigorúan monoton nő.
Lássuk, hogyan jön ez ki a trükk segítségével is:
Jön megint a gondolkodás.
Mi történik, ha a 9/5-öt egyre nagyobb számokkal osztjuk?
A mínusz jellel együtt viszont már szigorúan monoton nő.
És így az egész sorozat is szigorúan monoton nő.
Itt jön aztán egy érdekesebb eset:
Ha akkor a számláló éppen nulla.
Ha akkor pozitív.
Tehát a sorozat monoton nő.
Lássuk, hogyan működik itt a trükk:
Nos, sehogy.
Az okozza a problémát, hogy egyszerre és is szerepel és sajna ilyenkor a trükk nem működik…
Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek nem monotonok.
Sajnos ettől még nem mondható el róluk, hogy izgalmasak volnának.
Itt van például egy ilyen.
Az ilyen sorozatokat oszcilláló sorozatoknak nevezzük.
Ez a sorozat például a nulla körül oszcillál:
ha n páratlan
ha n páros
Mi jöhet még ez után…
