Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Analízis 1

Kategóriák
  • Komplex számok
  • Polinomok
  • Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
  • Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
  • Függvények
  • Összetett függvény és inverzfüggvény
  • Sorozatok határértéke
  • Küszöbindex és monotonitás
  • Rekurzív sorozatok
  • Sorok
  • Függvények határértéke és folytonossága
  • A határérték precíz definíciója
  • Deriválás
  • Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
  • Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
  • Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
  • Taylor polinom és Taylor sor
  • L’Hospital szabály
  • Határozatlan integrálás, primitív függvény
  • Határozott integrálás
  • Kétváltozós függvények
  • Paraméteres görbék

Deriválás

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
  • Tesztek
01
 
Tanulj meg deriválni 10 perc alatt
01
 
Deriválás feladatok alapszint
02
 
Deriválás feladatok középszint
02
 
A láncszabály
03
 
Az x^x típusú függvények logaritmikus deriválása
03
 
Deriválás feladatok brutál szint
04
 
A hiperbolikus függvények és deriváltjaik
05
 
Implicit függvények deriválása
06
 
Könnyű és még könnyebb deriválások
07
 
Deriváljuk ezt is
08
 
És deriváljuk ezt is
09
 
Meg ezt is
10
 
Ja és ezt is
11
 
FELADAT
12
 
FELADAT
13
 
FELADAT
14
 
FELADAT
15
 
FELADAT
16
 
FELADAT
17
 
FELADAT
18
 
FELADAT
19
 
FELADAT
20
 
FELADAT
21
 
FELADAT
22
 
FELADAT
23
 
FELADAT
24
 
FELADAT
25
 
FELADAT
26
 
FELADAT
27
 
FELADAT
28
 
FELADAT
29
 
FELADAT
30
 
FELADAT
31
 
FELADAT
32
 
FELADAT
33
 
FELADAT
34
 
FELADAT
35
 
FELADAT
36
 
FELADAT
37
 
FELADAT
38
 
FELADAT
39
 
FELADAT
40
 
FELADAT
41
 
FELADAT
42
 
BME Deriválás feladatok középszint
42
 
FELADAT
43
 
FELADAT
44
 
FELADAT
45
 
FELADAT
46
 
FELADAT
47
 
FELADAT
48
 
FELADAT
49
 
FELADAT
50
 
FELADAT
51
 
FELADAT
52
 
FELADAT
53
 
FELADAT
54
 
FELADAT
55
 
FELADAT
56
 
FELADAT
57
 
FELADAT
58
 
FELADAT
59
 
FELADAT
60
 
FELADAT
61
 
FELADAT
62
 
FELADAT
63
 
FELADAT
64
 
FELADAT
65
 
FELADAT
66
 
FELADAT
67
 
FELADAT
68
 
FELADAT
69
 
FELADAT
70
 
FELADAT
71
 
FELADAT
72
 
FELADAT
73
 
FELADAT
74
 
FELADAT
75
 
FELADAT

Deriválási szabályok

$f$ és $g$ deriválható függvények, és $c$ valós szám esetén a deriválási szabályok:

\( (cf)' = cf' \quad \left( \frac{f}{c} \right)' = \frac{f'}{c} \)

\( (f+g)' = f' + g' \)

\( (fg)' = f'g + fg' \)

\( \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{ f'g - fg'}{g^2} \)

\( \left( \frac{c}{f} \right)' = \frac{-cf'}{f^2} \)

\( \left( f \left( g(x) \right) \right)' = f' \left( g(x) \right) g'(x) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Differenciahányados

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados:

\( \frac{ f(x) - f(x_0) }{ x -x_0} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Differenciálhányados

Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados:

\( m= \lim_{x \to x_0}{ \frac{ f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \)

Ezt nevezzük a függvény $x_0$ pontban vett deriváltjának is.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Nevezetes függvények deriváltjai

\( (c)'=0 \quad \left( x^n \right)' = n x^{n-1} \quad \left( e^x \right)' = e^x \quad \left( a^x \right)' = a^x \ln{a} \)

\( ( \ln{x} )' = \frac{1}{x} \quad ( \log_a{x} )' = \frac{1}{x} \frac{1}{\ln{a}} \quad ( \sin{x} )' = \cos{x} \quad ( \cos{x} )' = - \sin{x} \)

\( ( \tan{x} )' = \frac{1}{\cos^2{x} } \quad ( \arcsin{x} )' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad ( \arccos{x} )' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (\arctan{x})' = \frac{1}{1+x^2} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hiperbolikus függvények azonosságai

A $ \sinh{x}$ és $ \cosh{x}$ hiperbolikus függvények közt fennálló azonosságok:

\( \cosh^2{x} - \sinh^2{x} = 1 \)

\( \sinh{2x} = 2 \sinh{x} \cdot \cosh{x} \)

\( \cosh{2x} = \cosh^2{x} + \sinh^2{x} \)

\( \sinh{ (x \pm y) } = \sinh{x} \cdot \cosh{y} \pm \cosh{x} \cdot \sinh{y} \)

\( \cosh{ (x \pm y) } = \cosh{x} \cdot \cosh{y} \pm \sinh{x} \cdot \sinh{y} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hiperbolikus függvények deriváltjai

\( ( \cosh{x} )' = \sinh{x} \)

\( ( \sinh{x} )' = \cosh{x} \)

\( (\tanh{x} )' = \frac{1}{\cosh^2{x} } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hiperbolikus függvények inverzei

A $\cosh{x}$ függvény inverze:

\( \text{arcosh} x = \ln{ \left( x+\sqrt{x^2-1} \right) } \)


A $\sinh{x}$ függvény inverze:

\( \text{arsinh} x = \ln{ \left( x+\sqrt{x^2+1} \right) } \)


A $\tanh{x}$ függvény inverze:

\( \text{artanh} x = \frac{1}{2} \ln{ \left( \frac{1+x}{1-x} \right)} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hiperbolikus függvények inverzeinek deriváltjai

\( ( \text{arcosh} x )' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \)

\( ( \text{arsinh} x )' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \)

\( ( \text{artanh} x )' = \frac{1}{1-x^2} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( \left( 5\cdot x^3 \right)' = \; ? \)

b) \( \left( \frac{x^5}{7} \right)' = \; ? \)

c) \( \left( x^2+\ln{x} \right)' = \; ? \)

d) \( \left( x^3 \cdot \ln{x} \right)' = \; ? \)

e) \( \left( \frac{x^2}{\ln{x}} \right)' = \; ? \)

f) \( \left( \frac{5}{x^3+2} \right)' = \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( \left( \sin{ \left( x^6+x^2 \right)} \right)' = \; ? \)

b) \( \left( \left( 3^x +\ln{x} \right)^4 \right)' = \; ? \)

c) \( \left( 5^{x^3+x} \right)' = \; ? \)

d) \( \left( \ln{\left( x^4+x^2 \right)} \right)' = \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=x^x \)

b) \( f(x)=(\cos{x})^{ \sin{x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( \cosh{x} \)

b) \( \sinh{x} \)

c) \( \tanh{x} \)

d) arcosh x

e) arsinh x

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Deriváljuk az alábbi implicit függvényeket.

a) \( e^x+y^2=x^3+\ln{y} \)

b) \( y \cdot \cos{x} + \ln{(2x+y)}=\sin{y} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=x^{100}+x^7+7^x+\sqrt{42} \)

b) \( f(x)= \frac{ x^6-4x^4+7^x}{42} \)

c) \( f(x)= \sqrt[5]{x}+x^2 \cdot \sqrt[3]{x} \)

d) \( f(x)= \sqrt[3]{ x\cdot \sqrt[5]{x^3} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= e^x + e\cdot x^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[4]{e^x} + \sqrt[3]{e^x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln{ \left( x^6-x^2+6 \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ \ln{x} -3^x}{ \sqrt[5]{x^4} + x^2  } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ 3x }{ (4-x)^2 }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ 3x }{ \sqrt{ e^x +1 } }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ \lg{3x} + e^2 }{ \sqrt[3]{ 4-x } }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ e^{4x} - \sqrt[7]{x^4} }{ \ln{ (4-2x)} +7 }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  \left( x^5-4^x \right) \left( \ln{x} - \sqrt[6]{x^7} \right)  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  \ln^3{x}  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  5^{x^3+5x^4-7x}  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  \ln{ \frac{ x^5 - 2^x }{ \sqrt[4]{x-6} +e^2} }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

19.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  \ln{ \sqrt[3]{ \frac{ x^4 - e^x}{5^{2x-4} -\ln{ \pi} }} }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

20.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  \frac{ e^{4x}- \sqrt[7]{x^4} }{ \ln{(4-2x)} +7}  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

21.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \left( \frac{5^x+\ln{x}}{ \sqrt{1-x} + x^6}  \right)^4  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

22.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[5]{ \left( \ln{x} -5^{6-2x} + (4x+5)^3 -x \right)^4 } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

23.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{1}{ \sqrt[4]{ \left( x^5 - \ln{ \left( x^3+x \right) } - 6^{3-x} + \sqrt{\pi} \right)^7 }} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

24.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{5}{ \sqrt[3]{ 6x^5 - \lg{ ( 3-2x) } - 2^{4-x}  }} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

25.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \lg{ \frac{7 x^4 + 2^x }{ \sqrt{3} + \sqrt[4]{x} }} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

26.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ 7^{2x+3} -4x^3}{5 \ln{x} + \sqrt[4]{x^7+x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

27.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ \log_{\sqrt{3}}{x} + e^{8-5x} }{ 7+ \sqrt[3]{1+2x^4+x^8} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

28.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \left( 5^x+ \lg{ \left( 9x^2-1 \right) } \right) \left( \sqrt[5]{ (6-x)^2} + 4e^x \right) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

29.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt{ \frac{ 6^x + \lg{x} }{ \ln{2} + 3x^8} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

30.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[7]{5-3x} \cdot \left( e^{x^2+x} + 4\lg{x} \right) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

31.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln{ \left(  \frac{ \log_{\sqrt{3}}{x} + e^{8-x} }{ 7+ \sqrt[3]{ x^4+x^6} } \right)^5 } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

32.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{1}{ \sqrt[3]{ \left( 7^{1-x} + \lg{x} \right)^4}} \cdot e^{x^2-x^3} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

33.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{1}{ \lg{ \left( x^3+x \right)} +3^x } \cdot e^{x^4-4x^2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

34.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[5]{ \frac{1}{ \left( 3^{6-x} + \lg{x} \right)^4 } }\cdot \ln{ \left( x-x^{100} \right)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

35.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln{ \sqrt[4]{ \left(  \frac{3^x - \log_{\sqrt{7}}{x}}{5x^3-\sqrt[7]{x}} \right)^3 }} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

36.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln{ \left( \frac{1}{x^{100} + 5^x}\cdot \frac{1}{\ln{x}} \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

37.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[7]{ \frac{ \left(x^2-e^x \right)^4}{100}} \cdot \frac{1}{\ln{ \left( x^{100} + x^2 \right)}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

38.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt{ \frac{ 3^x + \lg^2{x}}{\ln^3{x^2} +x^7} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

39.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \left( 4^x + \lg^2{ \left( 5x^2-1 \right) } \right) \left( \sqrt[5]{ \ln^2{ \left( x^4-3 \right)}} +4x^5 \right) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

40.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ \log_{3}^5{ \left( x^4 + x \right)} - 4^{x^3-x}}{ 5 \ln^2{ \left( x^3-4 \right)} + \sqrt[4]{ x^7+7^x} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

41.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln{ (\lg{x})} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

42.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln^2{ \left( \lg{x^4} \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

43.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln^3{ \left( \lg^2{x} \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

44.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln^4{ \left( \ln^3{x} \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

45.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln^4{ \left( \ln^5{x^3} \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

46.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln^4{ \sqrt[5]{ \ln^6{ \sqrt{x^3}}}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

47.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \tan{\left( \frac{ \sqrt{x} +4}{x^3} \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

48.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ \sin{(6-x)} + \tan{ \ln{x}}}{ e^{ \cos{x}} + \ln{ \tan{x}}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

49.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \arctan{x^3} \cdot \tan^3{x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

50.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sin^2{x} + \sin{x^2} + \arctan{ \left( e^x +x \right)} \cdot \tan{x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

51.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \cos^4{ ( \ln{\tan{x}})} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

52.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \arctan^4{ \left( \cos{ \ln{x}} + \sin{ e^x} \right)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

53.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sin^4{ ( \tan{x} )} + \tan^4{ ( \sin{x} ) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

54.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[7]{x^4-5^x+\ln{ \left( x^3+6x^4 \right)} + e^{\pi}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

55.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sin{\frac{x}{e^x}}+ \sqrt{\tan{x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

56.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\tan{\left( e^x \right)}+\frac{\ln{(\cos{x}) }}{x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

57.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\sqrt[3]{x} \cdot e^{-x^2} + \frac{\ln{x}}{\cos{(\sqrt{x})}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

58.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\sqrt{x} \cdot e^{-x} + \frac{\ln{x}}{\sin{\sqrt{x}}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

59.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\sin{\left(e^x \right)}+\frac{\cos{x}\cdot 2^x}{\sqrt[3]{x}+3} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

60.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\cos{\left(2^x \right)}+ \frac{\arctan{\sqrt{x}}}{x+1} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

61.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sin{\left( 2^x\right)}+\frac{\ln{\sqrt[3]{x}}}{x^2+1} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

62.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\frac{\tan{x}}{x^2} + \frac{2}{3\cdot \sqrt[3]{x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

63.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=5^x\cdot \sin{x} + \cos{\left( 3x+\frac{\pi}{2}\right)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

64.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= ( \sin{x} )^{2x+3} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

65.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[5]{\tan{2x}} \cdot 4^{\frac{1}{x}}-7\ln^3{x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

66.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\frac{-2\sin{x}+5\cdot \sqrt[3]{x}}{5\cdot 3^x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

67.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\frac{\sin{x} \cdot \log_3{x}}{\sqrt[5]{x^3}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

68.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\left( x^5 - 2x^2 +3x +5 \right)^{11} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

69.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\sqrt[3]{5x^4-x^2+10x} + (2x+3)^{10}\cdot \cos{x^2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

70.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=e^{cos^3{x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

71.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{\sqrt{2^{x^3+5x}}}{5} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

72.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\frac{\left( x^{25}-\sqrt{x}\right) e^{2x}}{\arctan{x^3}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

73.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\left( \frac{1}{\cos{x}+2}\right)^{x^2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

74.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\frac{e^{2x^3+\sqrt{x}}}{\sin^2{2x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

75.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=( \tan{x})^{\ln{3x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Mi az a deriválás? Már mutatjuk is, hogyan kell deriválni szuper-érthető példákon keresztül. Differencia hányados, Differenciál hányados, Az érintő meredeksége, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Deriválás feladatok, Deriválás táblázat, Nevezetes függvények deriváltjai, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal, Derivált táblázat, Derivált függvény, Deriválási feladatok, Deriválási képletek, Differenciálszámítás, Differenciálszámítás feladatok. Lássuk, hogyan kell deriválni az xx függvényt és az ehhez hasonló rémes (u(x))v(x) típusú függvényeket. Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.



Tanulj meg deriválni 10 perc alatt

Van itt egy függvény.

Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,

akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,

ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.

Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,

de tulajdonképpen lehet maximuma is.

Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.

Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál

maga a függvény.

Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.

A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.

A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.

Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,

ami ezen a két ponton megy át.

Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!

amennyit fölfele megy

amennyit előre megy

Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.

A szelő meredeksége a

differenciahányados:

Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.

Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni  felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.

Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.

Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.

Az érintő meredeksége

a differenciál hányados:

az  pontban a derivált

Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.

Az  függvény deriváltjának jelölésére az  van forgalomban.

Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!

A konstans függvények deriváltja nulla.

Például egy konstans függvény és

A hatványfüggvények deriváltja

például  deriváltja

Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:

 és a derivált

Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:  

Az  deriváltja kicsit rondább:

Itt van például ez, hogy  

nos ennek a deriváltja nem  mert itt x a kitevőben van.

és ez a bizonyos  egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:

Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .

Aztán itt van az emlegetett deriváltja:

Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig

például   10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:

Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.

A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.

A tangens deriváltja

na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.

Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!

És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.

Van itt egy függvény, ez még nem összetett.

Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy

Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy

aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.

Vagy itt van egy másik.

Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.

De ha ez az egész a negyediken van,

na akkor már összetett függvény.

A külső függvény itt az, hogy

aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott

aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.

És itt van például ez.

A külső függvény deriváltja

Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk

a deriválás feladatokkal.


A láncszabály

Van itt egy függvény.

Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,

akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,

ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.

Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,

de tulajdonképpen lehet maximuma is.

Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.

Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál

maga a függvény.

Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.

A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.

A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.

Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,

ami ezen a két ponton megy át.

Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!

amennyit fölfele megy

amennyit előre megy

Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.

A szelő meredeksége a

differenciahányados:

Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.

Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni  felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.

Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.

Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.

Az érintő meredeksége

a differenciál hányados:

az  pontban a derivált

Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.

Az  függvény deriváltjának jelölésére az  van forgalomban.

Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!

A konstans függvények deriváltja nulla.

Például egy konstans függvény és

A hatványfüggvények deriváltja

például  deriváltja

Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:

 és a derivált

Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:  

Az  deriváltja kicsit rondább:

Itt van például ez, hogy  

nos ennek a deriváltja nem  mert itt x a kitevőben van.

és ez a bizonyos  egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:

Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .

Aztán itt van az emlegetett deriváltja:

Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig

például   10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:

Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.

A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.

A tangens deriváltja

na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.

Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!

És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.

Van itt egy függvény, ez még nem összetett.

Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy

Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy

aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.

Vagy itt van egy másik.

Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.

De ha ez az egész a negyediken van,

na akkor már összetett függvény.

A külső függvény itt az, hogy

aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott

aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.

És itt van például ez.

A külső függvény deriváltja

Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk

a deriválás feladatokkal.


Az x^x típusú függvények logaritmikus deriválása

Könnyű és még könnyebb deriválások

Deriváljuk ezt is

És deriváljuk ezt is

Meg ezt is

Ja és ezt is

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

A hiperbolikus függvények és deriváltjaik

Implicit függvények deriválása

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

MI AZ A DERIVÁLÁS, HOGYAN TALÁLTÁK KI ÉS MIRE LEHET HASZNÁLNI?

Fizikai ismereteink egyik általános iskolából megőrzött biztos pontja az s = v ∙ t képlet. Ha egy lövedék 100 m/s sebességgel halad, vagyis másodpercenként 100 métert tesz meg, akkor 5 másodperc múlva a megtett út 500 méter lesz. Az eredményt megkapjuk egy egyszerű szorzás segítségével. Csakhogy a világ ennél bonyolultabban működik. A lövedékre ugyanis közegellenállás hat, amely a sebességének a négyzetével arányos. Ez azt jelenti, hogy minél gyorsabb a lövedék, annál nagyobb fékezőerő hat rá. És így 5 másodperc elteltével nem 500 méter lesz a megtett útja, hanem fogalmunk sincs, hogy mennyi. A problémát önmagában nem a közegellenállás fékezőereje okozza, hanem annak az a kellemetlen tulajdonsága, hogy a körülményektől függően folyamatosan változik. Vagyis elkezdi fékezni a lövedéket, amely lassul, tehát csökken a sebessége, és emiatt csökken a fékezőerő is, amely így már kevésbé lassítja a lövedéket. Ez egy bonyolult ok-okozati visszacsatolási folyamat, már ebben a rendkívül egyszerű példában is, ahol semmi mást nem veszünk figyelembe, mint a lövedék sebességét és a közegellenállást.


Egy hajó megtervezése vagy egy katedrális megépítése ennél milliószor bonyolultabb rendszer, ahol száz meg száz tényező hat egymásra, és ezek változó hatásai elképzelhetetlenül bonyolult kölcsönhatásba kerülnek egymással. Nem csoda hát, hogy az 1600-as években nem kezdtek statikai számításokba egy hajó vagy éppen egy katedrális építésénél, hanem a több száz éves hagyományokat a józan ésszel és a mindennapi tapasztalatokkal vegyítve próbáltak valamilyen megoldást találni a problémára. Egyszerűen nem foglalkoztak a világ bonyolultságával, helyette inkább újra és újra próbálkoztak, vagy menet közben változtattak a terveken.


Ezzel a módszerrel az emberiség meglepően messzire képes volt eljutni. Az erő és a kitartás elegendőnek bizonyult ahhoz, hogy hatalmas piramisokat vagy éppen merész katedrálisokat építsen. A gótikus katedrálisok igazi mérnöki mesterművek, és szépségükből semmit sem von le az a tény, hogy építésük során bizony gyakran kellett rögtönözni, amikor az éppen leomló falakat más elképzelés mentén újjáépítették, és az is megesett, hogy egy templomot sosem fejeztek be, mert egészen egyszerűen nem tudták továbbépíteni. Az emberiség ezzel a tudásával remekül használta a követ és a fát különféle építkezéseihez. Várakat, hidakat, utakat, szekereket, hajókat tudott építeni, de akkoriban még nem léteztek függőhidak, nem léteztek repülőgépek, nem voltak mobiltelefonok, sem pedig a Föld körül keringő műholdak. Ahhoz ugyanis, hogy mindezek megszülessenek, kellett valami plusz. Egy kőből épült híd nagy nehezen felépülhetett úgy, hogy addig-addig próbálkoznak, míg végül sikerül elkészülni vele, de egy műholdat Föld körüli pályára állítani ezzel a módszerrel lehetetlen. Az emberiség történetében hatalmas fordulópontot hozott az, amikor már nem kellett egy hajót megépíteni ahhoz, hogy kiderüljön felborul-e, hanem elegendő volt hozzá egy papír és egy ceruza, meg persze sok-sok számítás elvégzése. Hirtelen képessé váltunk megjósolni a jövőt. Mindehhez pedig a matematika segítette hozzá az emberiséget.
Az igény folyamatosan egyre nagyobb lett arra, hogy a bonyolult fizikai folyamatokat képesek legyenek leírni és előre megjósolni, csak éppen az nem volt világos, hogy mindezt hogyan. Egészen az 1700-as évek elejéig kellett várni erre, amikor nyilvánosan is megjelent egy angol fizikus-matematikus különös elmélete, melyet fluxióelméletnek neveztek el. Ez az elmélet alapjaiban változtatta meg a fizika és a matematika működését. Az elmélet kitalálóját Isaac Newtonnak hívták. Newton már az 1660-as években kidolgozta fluxióelméletét, de akkor még nem érezte teljesen késznek a megjelentetésre, ugyanis voltak benne bizonyos kisebb-nagyobb pontatlanságok. Ezeket a pontatlanságokat végül csak több mint 100 évvel később, az 1800-as évek elejére sikerült kiiktatnia Augustin Louis Cauchy francia mérnök-matematikusnak. Utólag visszagondolva tehát megállapíthatjuk, hogy Newton akár azon nyomban előállhatott volna elméletével, megkímélve így magát egy felesleges hiúsági versenytől, amelyet a kor másik hatalmas gondolkodójával, Gottfried Wilhelm Leibnizcel vívott.


A dolog ugyanis úgy áll, hogy Newton és Leibniz egymástól teljesen függetlenül és más-más okok által motiválva, lényegében egyszerre jött rá ugyanarra. Míg Newtont a fizikai világ matematikai leírása vezérelte, addig Leibniz – aki inkább volt filozófus, mint matematikus – egészen más irányból közelített a problémához. Newton célja az volt, hogy kifejlesszen egy módszert, amely képessé teheti az emberiséget arra, hogy leírja az őt körülvevő világ fizikai folyamatait. Leírja, és ezáltal képessé váljon a problémák megoldására. Mindezekkel szemben Leibniz arra érzett rá, hogy az 1600-as évek matematikusai találtak valamit, de „mintha bekötött szemmel jártak volna”, nem voltak képesek azt egy kerek egységes elméletté kidolgozni. Leibniz megtette azt a sorsdöntő lépést, hogy egy egységes és nagyon okos jelölést vezetett be a különféle matematikai mechanizmusokra, és ennek a jelölésének köszönhetően képes volt olyan új összefüggéseket is meglátni, melyeket maga Newton sem látott. A Newton és Leibniz közötti prioritási vita voltaképpen azért volt igazán tragikus, mert ha nem egymással szemben, hanem egymás mellett dolgoztak volna, akkor közösen talán képesek lettek volna betömni azokat a réseket, amelyeknek a betömésére még több mint 100 évet kellett várni.


De nézzük, miről is van itt szó valójában. Newton elméletének első zseniális meglátása az volt, hogy vegyük alapul az időt mint változót, és minden mást ennek függvényében írjunk le. Tehát az általános iskolából ismert betűkavalkád, a megtett út (s), a sebesség (v), a gyorsulás (a), az erő (F) és még sorolhatnánk, mind az időnek egy függvénye. Ezzel sikerül a sokféle változó mennyiséget az időtől függő rendszerbe fűzni. Newton elméletének másik zseniális eleme elsőre kicsit ijesztően hangzik. Ez a másik fogalom a fluens és a fluxió fogalma. Fluensnek nevezte az időtől függő fizikai mennyiségeket, fluxiónak pedig ezeknek a mennyiségeknek a nagyon pici idő alatt történő megváltozását. Nézzünk erre néhány példát. Newton elmélete szerint egy hajó sebessége például a fluens kategóriába esik, hiszen a hajó sebessége az időtől függ. Van, amikor a hajó kiköt, és a sebessége nulla, van, amikor továbbindul… Szintén fluens, hogy milyen meleg van odakint, hiszen ahogy telik az idő, a hőmérséklet folyamatosan változik. A másik fogalom, a fluxió már izgalmasabb. Ez azt írja le, hogy egy nagyon picike idő alatt mennyivel változik meg a hajó sebessége, vagy éppen mennyivel változik a hőmérséklet. Itt persze jogosan merül föl a kérdés, hogy mégis mennyire pici az a bizonyos nagyon picike idő. Hát, erre a kérdésre sajnos Newton sem igen tudott válaszolni, és éppen ez volt elméletének egyik kritikus pontja. A nagyon picike idő tényleg nagyon picike, sőt még annál is kisebb. A baj csak az, hogy ez így nem igazán precíz fogalom, és bizony sokan voltak, akik elkezdtek kekeckedni Newtonnal emiatt. De ne essünk a kritikusok hibájába, egy pillanatra tegyük túl magunkat ezen a kis apróságon, hogy megláthassuk Newton elméletének igazi lényegét.


Egy magas torony tetejéről leejtünk egy követ. A kő, ahogy elkezd zuhanni, egyre gyorsabban és gyorsabban fog esni. Kezdetben a sebessége nulla, aztán pedig gyorsulni kezd. Ha egy kis hipnózis segítségével megpróbáljuk fölidézni megboldogult fizikaóráink emlékét, akkor talán beugrik egy szám: 9,81. Ez a bizonyos 9,81 m/s2 nem más, mint a nehézségi gyorsulás. Az egyszerűség kedvéért kerekítsük ezt most 10-re. Ez azt jelenti, hogy egy másodperc alatt mennyivel nő egy elejtett kő sebessége zuhanás közben. Az elejtés pillanatában a kő sebessége nulla, egy másodperc alatt pedig 10-zel nő, vagyis 10 m/s lesz. Ha valaki esetleg a kilométer per órát jobban kedveli, akkor a kedvéért ez a bizonyos 10 m/s éppen 36 km/h. Amikor eltelik újabb egy másodperc, az elejtett kő sebessége már 20 m/s, ami némi fejszámolással 72 km/h. Az már egész sok. Mindössze két másodperc alatt az elejtett kő képes ennyire felgyorsulni… Hát, ezért nem érdemes köveket dobálni tornyok tetejéről.
Próbáljuk most meg kideríteni, hogy az elejtett kő mekkora utat tesz meg a zuhanása közben. Ehhez egy bonyolultabb emléket kellene előhívnunk a fizikaórai élményeink közül, ez pedig nem más, mint a négyzetes úttörvény. Minket most nem annyira érdekel a fizika, így aztán egyszerűen csak fogadjuk el, hogy az elejtett kő által megtett utat a következő képlet írja le:
y = 5 ∙ x2.

Ez egy ártatlan kis képlet, és rögtön meg is nézzük, hogyan működik. Ha kíváncsiak vagyunk például arra, hogy 1 másodperc alatt mekkora utat tesz meg a kő, akkor mindössze annyit kell tennünk, hogy x helyére azt írjuk, hogy 1, és akkor az jön ki, hogy y = 5 ∙ 12 = 5, vagyis 5 métert.

Ha x helyére 2-t írunk, akkor megkapjuk, hogy mekkora utat tesz meg a kő 2 másodperc alatt: y = 5 ∙ 22 = 20, tehát a megtett út 20 méter. Ez az y = 5x2 egy időtől függő fizikai mennyiség, amelyet a matematika nagyon szemléletesen úgy nevez, hogy függvény. Merthogy függ valamitől. Ebben az esetben a megtett út, vagyis az y függ az eltelt időtől, amely az x.
Newton elmélete szerint a megtett út, vagyis az y egy időtől függő fizikai mennyiség, tehát ez egy fluens. Most lássuk, hogy mi lesz itt a fluxió. Ezt Newton ẋ-tal és ẏ-tal jelölte, és a következőket mondta. Az eredeti összefüggés
y = 5x2,
és ha most itt az x értékét egy nagyon picikét megnöveljük, akkor ezáltal y értéke is egy nagyon picikét megnő. Mint utóbb, majd 100 évvel később kiderült, ez az állítás egyáltalán nem természetes, és csak úgynevezett folytonos függvényekre igaz. De a mi történetünkben mégis hihetőnek tűnik – és egyébként ebben az esetben igaz is, hogy ha egy icike-picike idő telik el, akkor a kő egy picike utat tesz meg.
Newton ezt a nagyon picike megnövelést így jelölte: ẋ0 és ẏ0. És itt most álljunk meg egy pillanatra, és tisztázzunk két fontos dolgot. Az egyik, hogy ez voltaképpen egy szorzás, tehát ẋ meg van szorozva nullával. Mielőtt azonban azt mondanánk, hogy hát akkor a szorzat eredménye is nulla, jön a másik fontos dolog, mégpedig az, hogy ezek a nullák skizofrén nullák.


Ez azt jelenti, hogy „ha akarom nulla, de ha akarom, akkor csak egy nagyon picike szám”… Igen, ez valóban kissé furcsán hangzik. A kor matematikusai az ilyen skizofrén nulláknak külön nevet is adtak. Talán éppen azért, mert nagyon is jól látták, hogy itt valami nem teljesen kerek, de azzal, hogy nevet adtak neki, ők maguk is jobban hittek a skizofrén nullák létezésében. Ráadásul egy meglehetősen komplikált nevet találtak ki a skizofrén nulláknak. Úgy nevezték el őket, hogy infinitezimális – ami azt jelenti, hogy határtalanul kicsi mennyiség. Az a rendkívül különös helyzet alakult ki, hogy bár tisztában voltak azzal, hogy itt valami nem stimmel, az ezekkel folytatott számolások végeredményei mégis minduntalan tökéletesen helyesek voltak. Így aztán nem volt mit tenni, a könyörtelen logika világából való jogos száműzetés helyett különös kegyelmet adtak ezeknek a skizofrén nulláknak. Ez volt az egyik Newtont gyötrő kétely, ami miatt oly sokat várt művének publikálásával. Úgy érezte, előbb el kell még rendeznie a skizofrén nullák ügyét, és csak azután állhat elő elméletével. Sajnos azonban ennek az ügynek a tisztázásához még több mint 100 évre és Leibniz jól eltalált jelöléseire volt szükség.
Lássuk most Newton eredeti gondolatmenetét a skizofrén nullákkal.
A torony tetejéről elejtett kő útját leíró képletünk:
y = 5x2.


Ha itt x értékét egy picikét megnöveljük, akkor ezáltal y értéke is picikét nő, vagyis ha egy nagyon picit több idő telik el, akkor a megtett út is egy picikét nagyobb lesz. A nagyon picit több idő x + ẋ0x+x ̇0, és a picikét több út pedig y + ẏ0y+y ̇0. Most helyettesítsük be ezeket az eredeti képletünkbe x és y helyére:
y + ẏ0 = 5(x + ẋ0)2.


Ezek után pedig egy apró kis számolás következik. Mielőtt gyorsan továbblapozna a kedves olvasó, gondoljuk végig azt, hogy ez az elmélet, amelyet Newton megalkotott, sorsfordító jelentőségű az egész emberiség történetében. A minket körülvevő világ szinte minden technikai eszköze ennek az elméletnek köszönheti létezését. Így aztán ez az elmélet éppen úgy része az emberiség közös kultúrkincsének, mint Shakespeare drámái vagy a Római Birodalom története. Szánjunk hát rá még pár percet az életünkből, és bontsuk fel a zárójelet. Megint egy rémes emlék, ezúttal matekóráról:
(a + b)2 = a2 +2ab + b2.


Lássuk, hogyan alakul mindez a mi kis képletünkben.
Ez volt:
y + ẏ0 = 5(x + ẋ0)2.


És ez lett:
y + ẏ0 = 5(x2 + 2xẋ0 + ẋ202).
Most pedig beszorzunk azzal az ötössel:
y + ẏ0 = 5x2 + 10xẋ0 + 5ẋ202.

Már nincs sok hátra. Az eredeti képletünk az volt, hogy y = 5x2, ezért ezt be tudjuk helyettesíteni a bal oldalon y helyére.
5x2 + ẏ0 = 5x2 + 10xẋ0 + 5ẋ202.


Ekkor 5x2 mindkét oldalon megjelent. Levonjuk hát mindkét oldalból:
ẏ0 = 10xẋ0 + 5ẋ202.
Végül bűvészmutatványok következnek. Az egyenlőség minden tagjában szerepel egy skizofrén nulla:
ẏ0 = 10xẋ0 + 5ẋ202.
Így aztán minden tagot elosztunk vele. Ha még emlékszünk rá, nullával nem lehet osztani, de hát éppen azért skizofrén ez a nulla, mert amikor osztunk vele, akkor éppen azt gondolja magáról, hogy nem nulla.
Az osztás után mindenhonnan eltűnt:
ẏ = 10xẋ + 5ẋ20.


Kivéve a legutolsó tagot, ahol eredetileg a négyzeten volt, és így az osztás után is maradt belőle.
Most jön a skizofrén nulla másik énállapota, és azt mondjuk, hogy lám-lám, az utolsó tag nullával van szorozva, és nulla szorozva bármivel az nulla, így az utolsó tagot elhagyjuk:
ẏ = 10xẋ.


Mindenki átérezheti Newton gyötrelmeit, hiszen amit tettünk, voltaképpen csalás – legalábbis annak tűnik. Egyik pillanatban még komoly matematikai számításokat végzünk olyan kifejezésekkel, amelyek mindegyikére simán rávághatnánk, hogy nulla, majd a számításaink végén, azt, ami még továbbra is nulla, valóban nullának tekintjük. A kapott eredmény mégis tökéletes. Már csak azt kéne tudnunk, hogy mit is kaptunk valójában.


Ez jött ki:
ẏ = 10xẋ.
Egyetlen dolgunk van már csak, ezt az egészet elosztani ẋx ̇-tal:
ẏ / ẋ = 10x.


Most pedig próbáljuk megfejteni, hogy mit jelent ez a képlet. A számlálóban az út nagyon picike megváltozása szerepel. A nevezőben az idő nagyon picike megváltozása. A kapott eredmény tehát a nagyon picike út osztva a megtételéhez szükséges nagyon picike idővel. Kezd rémleni? Megtett út osztva eltelt idő, másként fogalmazva ez éppen a Δs/Δt képlet az általános iskolából. Amit kaptunk, nem más, mint a kő sebessége.


Azt jött ki, hogy a kő sebessége 10x, vagyis a képletünk képes bármely pillanatban megmondani, milyen gyorsan esik a kő: 2 másodperc elteltével például 20 m/s-mal.
Itt persze megkérdezhetjük, hogy mi ennek az egésznek a haszna. Aki még nem adta fel teljesen, talán emlékszik rá, hogy itt már egyszer jártunk. Azt mondtuk korábban, hogy a kő gyorsulása 10 m/s2, és ez éppen azt jelenti, hogy 1 másodperc múlva 10 m/s, és 2 másodperc múlva 20 m/s lesz a kő sebessége. Most kiszámoltuk ugyanezt ilyen rettentő bonyolultan is, de mégis mire jó ez az egész? A válasz jobban érthető akkor, ha Leibniz jelöléseit használjuk. Ezért is rettentő nagy kár, hogy Newton és Leibniz nem egymással közösen dolgoztak elméleteiken… De lássuk végre, hogy miért is olyan roppant fontos ez az egész...

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim