Analízis 1
- Komplex számok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Halmazok, rendezett párok, leképezések
- Függvények
- Az inverzfüggvény
- Sorozatok
- Küszöbindex és monotonitás
- Rekurzív sorozatok
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Paraméteres görbék
- Rémes előzmények
Deriválás
1. Deriváljuk az alábbi függvényeket.
a) \( \left( 5\cdot x^3 \right)' = \; ? \)
b) \( \left( \frac{x^5}{7} \right)' = \; ? \)
c) \( \left( x^2+\ln{x} \right)' = \; ? \)
d) \( \left( x^3 \cdot \ln{x} \right)' = \; ? \)
e) \( \left( \frac{x^2}{\ln{x}} \right)' = \; ? \)
f) \( \left( \frac{5}{x^3+2} \right)' = \; ? \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
2. Deriváljuk az alábbi függvényeket.
a) \( \left( \sin{ \left( x^6+x^2 \right)} \right)' = \; ? \)
b) \( \left( \left( 3^x +\ln{x} \right)^4 \right)' = \; ? \)
c) \( \left( 5^{x^3+x} \right)' = \; ? \)
d) \( \left( \ln{\left( x^4+x^2 \right)} \right)' = \; ? \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
3. Deriváljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=x^x \)
b) \( f(x)=(\cos{x})^{ \sin{x}} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
4. Deriváljuk az alábbi függvényeket.
a) \( \cosh{x} \)
b) \( \sinh{x} \)
c) \( \tanh{x} \)
d) arcosh x
e) arsinh x
Megnézem, hogyan kell megoldani
5. Deriváljuk az alábbi implicit függvényeket.
a) \( e^x+y^2=x^3+\ln{y} \)
b) \( y \cdot \cos{x} + \ln{(2x+y)}=\sin{y} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
6. Deriváljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=x^{100}+x^7+7^x+\sqrt{42} \)
b) \( f(x)= \frac{ x^6-4x^4+7^x}{42} \)
c) \( f(x)= \sqrt[5]{x}+x^2 \cdot \sqrt[3]{x} \)
d) \( f(x)= \sqrt[3]{ x\cdot \sqrt[5]{x^3} } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= e^x + e\cdot x^2 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt[4]{e^x} + \sqrt[3]{e^x} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln{ \left( x^6-x^2+6 \right) } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
10. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ \ln{x} -3^x}{ \sqrt[5]{x^4} + x^2 } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
11. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ 3x }{ (4-x)^2 } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
12. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ 3x }{ \sqrt{ e^x +1 } } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
13. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ \lg{3x} + e^2 }{ \sqrt[3]{ 4-x } } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
14. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ e^{4x} - \sqrt[7]{x^4} }{ \ln{ (4-2x)} +7 } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
15. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \left( x^5-4^x \right) \left( \ln{x} - \sqrt[6]{x^7} \right) \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
16. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln^3{x} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
17. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= 5^{x^3+5x^4-7x} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
18. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln{ \frac{ x^5 - 2^x }{ \sqrt[4]{x-6} +e^2} } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
19. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln{ \sqrt[3]{ \frac{ x^4 - e^x}{5^{2x-4} -\ln{ \pi} }} } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
20. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ e^{4x}- \sqrt[7]{x^4} }{ \ln{(4-2x)} +7} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
21. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \left( \frac{5^x+\ln{x}}{ \sqrt{1-x} + x^6} \right)^4 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
22. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt[5]{ \left( \ln{x} -5^{6-2x} + (4x+5)^3 -x \right)^4 } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
23. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{1}{ \sqrt[4]{ \left( x^5 - \ln{ \left( x^3+x \right) } - 6^{3-x} + \sqrt{\pi} \right)^7 }} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
24. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{5}{ \sqrt[3]{ 6x^5 - \lg{ ( 3-2x) } - 2^{4-x} }} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
25. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \lg{ \frac{7 x^4 + 2^x }{ \sqrt{3} + \sqrt[4]{x} }} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
26. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ 7^{2x+3} -4x^3}{5 \ln{x} + \sqrt[4]{x^7+x}} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
27. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ \log_{\sqrt{3}}{x} + e^{8-5x} }{ 7+ \sqrt[3]{1+2x^4+x^8} } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
28. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \left( 5^x+ \lg{ \left( 9x^2-1 \right) } \right) \left( \sqrt[5]{ (6-x)^2} + 4e^x \right) \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
29. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt{ \frac{ 6^x + \lg{x} }{ \ln{2} + 3x^8} } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
30. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt[7]{5-3x} \cdot \left( e^{x^2+x} + 4\lg{x} \right) \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
31. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln{ \left( \frac{ \log_{\sqrt{3}}{x} + e^{8-x} }{ 7+ \sqrt[3]{ x^4+x^6} } \right)^5 } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
32. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{1}{ \sqrt[3]{ \left( 7^{1-x} + \lg{x} \right)^4}} \cdot e^{x^2-x^3} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
33. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{1}{ \lg{ \left( x^3+x \right)} +3^x } \cdot e^{x^4-4x^2} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
34. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt[5]{ \frac{1}{ \left( 3^{6-x} + \lg{x} \right)^4 } }\cdot \ln{ \left( x-x^{100} \right)} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
35. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln{ \sqrt[4]{ \left( \frac{3^x - \log_{\sqrt{7}}{x}}{5x^3-\sqrt[7]{x}} \right)^3 }} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
36. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln{ \left( \frac{1}{x^{100} + 5^x}\cdot \frac{1}{\ln{x}} \right) } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
37. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt[7]{ \frac{ \left(x^2-e^x \right)^4}{100}} \cdot \frac{1}{\ln{ \left( x^{100} + x^2 \right)}} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
38. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt{ \frac{ 3^x + \lg^2{x}}{\ln^3{x^2} +x^7} } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
39. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \left( 4^x + \lg^2{ \left( 5x^2-1 \right) } \right) \left( \sqrt[5]{ \ln^2{ \left( x^4-3 \right)}} +4x^5 \right) \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
40. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ \log_{3}^5{ \left( x^4 + x \right)} - 4^{x^3-x}}{ 5 \ln^2{ \left( x^3-4 \right)} + \sqrt[4]{ x^7+7^x} } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
41. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln{ (\lg{x})} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
42. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln^2{ \left( \lg{x^4} \right) } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
43. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln^3{ \left( \lg^2{x} \right) } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
44. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln^4{ \left( \ln^3{x} \right) } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
45. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln^4{ \left( \ln^5{x^3} \right) } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
46. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \ln^4{ \sqrt[5]{ \ln^6{ \sqrt{x^3}}}} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
47. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \tan{\left( \frac{ \sqrt{x} +4}{x^3} \right) } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
48. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \frac{ \sin{(6-x)} + \tan{ \ln{x}}}{ e^{ \cos{x}} + \ln{ \tan{x}}} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
49. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \arctan{x^3} \cdot \tan^3{x} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
50. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sin^2{x} + \sin{x^2} + \arctan{ \left( e^x +x \right)} \cdot \tan{x} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
51. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \cos^4{ ( \ln{\tan{x}})} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
52. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \arctan^4{ \left( \cos{ \ln{x}} + \sin{ e^x} \right)} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
53. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sin^4{ ( \tan{x} )} + \tan^4{ ( \sin{x} ) } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
54. Deriváljuk az alábbi függvényt.
\( f(x)= \sqrt[7]{x^4-5^x+\ln{ \left( x^3+6x^4 \right)} + e^{\pi}} \)
Mi az a deriválás? Már mutatjuk is, hogyan kell deriválni szuper-érthető példákon keresztül. Differencia hányados, Differenciál hányados, Az érintő meredeksége, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Deriválás feladatok, Deriválás táblázat, Nevezetes függvények deriváltjai, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal, Derivált táblázat, Derivált függvény, Deriválási feladatok, Deriválási képletek, Differenciálszámítás, Differenciálszámítás feladatok. Lássuk, hogyan kell deriválni az xx függvényt és az ehhez hasonló rémes (u(x))v(x) típusú függvényeket. Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.
Van itt egy függvény.
Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,
akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,
ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.
Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,
de tulajdonképpen lehet maximuma is.
Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.
Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál
maga a függvény.
Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.
A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.
A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.
Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,
ami ezen a két ponton megy át.
Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!
amennyit fölfele megy
amennyit előre megy
Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.
A szelő meredeksége a
differenciahányados:
Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.
Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.
Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.
Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.
Az érintő meredeksége
a differenciál hányados:
az pontban a derivált
Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.
Az függvény deriváltjának jelölésére az van forgalomban.
Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!
A konstans függvények deriváltja nulla.
Például egy konstans függvény és
A hatványfüggvények deriváltja
például deriváltja
Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:
és a derivált
Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:
Az deriváltja kicsit rondább:
Itt van például ez, hogy
nos ennek a deriváltja nem mert itt x a kitevőben van.
és ez a bizonyos egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:
Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .
Aztán itt van az emlegetett deriváltja:
Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig
például 10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:
Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.
A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.
A tangens deriváltja
na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.
Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!
És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.
Van itt egy függvény, ez még nem összetett.
Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy
Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy
aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.
Vagy itt van egy másik.
Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.
De ha ez az egész a negyediken van,
na akkor már összetett függvény.
A külső függvény itt az, hogy
aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott
aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.
És itt van például ez.
A külső függvény deriváltja
Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk
a deriválás feladatokkal.
Van itt egy függvény.
Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,
akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,
ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.
Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,
de tulajdonképpen lehet maximuma is.
Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.
Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál
maga a függvény.
Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.
A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.
A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.
Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,
ami ezen a két ponton megy át.
Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!
amennyit fölfele megy
amennyit előre megy
Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.
A szelő meredeksége a
differenciahányados:
Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.
Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.
Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.
Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.
Az érintő meredeksége
a differenciál hányados:
az pontban a derivált
Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.
Az függvény deriváltjának jelölésére az van forgalomban.
Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!
A konstans függvények deriváltja nulla.
Például egy konstans függvény és
A hatványfüggvények deriváltja
például deriváltja
Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:
és a derivált
Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:
Az deriváltja kicsit rondább:
Itt van például ez, hogy
nos ennek a deriváltja nem mert itt x a kitevőben van.
és ez a bizonyos egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:
Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .
Aztán itt van az emlegetett deriváltja:
Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig
például 10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:
Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.
A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.
A tangens deriváltja
na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.
Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!
És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.
Van itt egy függvény, ez még nem összetett.
Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy
Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy
aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.
Vagy itt van egy másik.
Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.
De ha ez az egész a negyediken van,
na akkor már összetett függvény.
A külső függvény itt az, hogy
aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott
aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.
És itt van például ez.
A külső függvény deriváltja
Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk
a deriválás feladatokkal.
