Deriválás

MI AZ A DERIVÁLÁS, HOGYAN TALÁLTÁK KI ÉS MIRE LEHET HASZNÁLNI?

Fizikai ismereteink egyik általános iskolából megőrzött biztos pontja az s = v ∙ t képlet. Ha egy lövedék 100 m/s sebességgel halad, vagyis másodpercenként 100 métert tesz meg, akkor 5 másodperc múlva a megtett út 500 méter lesz. Az eredményt megkapjuk egy egyszerű szorzás segítségével. Csakhogy a világ ennél bonyolultabban működik. A lövedékre ugyanis közegellenállás hat, amely a sebességének a négyzetével arányos. Ez azt jelenti, hogy minél gyorsabb a lövedék, annál nagyobb fékezőerő hat rá. És így 5 másodperc elteltével nem 500 méter lesz a megtett útja, hanem fogalmunk sincs, hogy mennyi. A problémát önmagában nem a közegellenállás fékezőereje okozza, hanem annak az a kellemetlen tulajdonsága, hogy a körülményektől függően folyamatosan változik. Vagyis elkezdi fékezni a lövedéket, amely lassul, tehát csökken a sebessége, és emiatt csökken a fékezőerő is, amely így már kevésbé lassítja a lövedéket. Ez egy bonyolult ok-okozati visszacsatolási folyamat, már ebben a rendkívül egyszerű példában is, ahol semmi mást nem veszünk figyelembe, mint a lövedék sebességét és a közegellenállást.

Egy hajó megtervezése vagy egy katedrális megépítése ennél milliószor bonyolultabb rendszer, ahol száz meg száz tényező hat egymásra, és ezek változó hatásai elképzelhetetlenül bonyolult kölcsönhatásba kerülnek egymással. Nem csoda hát, hogy az 1600-as években nem kezdtek statikai számításokba egy hajó vagy éppen egy katedrális építésénél, hanem a több száz éves hagyományokat a józan ésszel és a mindennapi tapasztalatokkal vegyítve próbáltak valamilyen megoldást találni a problémára. Egyszerűen nem foglalkoztak a világ bonyolultságával, helyette inkább újra és újra próbálkoztak, vagy menet közben változtattak a terveken.

Ezzel a módszerrel az emberiség meglepően messzire képes volt eljutni. Az erő és a kitartás elegendőnek bizonyult ahhoz, hogy hatalmas piramisokat vagy éppen merész katedrálisokat építsen. A gótikus katedrálisok igazi mérnöki mesterművek, és szépségükből semmit sem von le az a tény, hogy építésük során bizony gyakran kellett rögtönözni, amikor az éppen leomló falakat más elképzelés mentén újjáépítették, és az is megesett, hogy egy templomot sosem fejeztek be, mert egészen egyszerűen nem tudták továbbépíteni. Az emberiség ezzel a tudásával remekül használta a követ és a fát különféle építkezéseihez. Várakat, hidakat, utakat, szekereket, hajókat tudott építeni, de akkoriban még nem léteztek függőhidak, nem léteztek repülőgépek, nem voltak mobiltelefonok, sem pedig a Föld körül keringő műholdak. Ahhoz ugyanis, hogy mindezek megszülessenek, kellett valami plusz. Egy kőből épült híd nagy nehezen felépülhetett úgy, hogy addig-addig próbálkoznak, míg végül sikerül elkészülni vele, de egy műholdat Föld körüli pályára állítani ezzel a módszerrel lehetetlen. Az emberiség történetében hatalmas fordulópontot hozott az, amikor már nem kellett egy hajót megépíteni ahhoz, hogy kiderüljön felborul-e, hanem elegendő volt hozzá egy papír és egy ceruza, meg persze sok-sok számítás elvégzése. Hirtelen képessé váltunk megjósolni a jövőt. Mindehhez pedig a matematika segítette hozzá az emberiséget.

Az igény folyamatosan egyre nagyobb lett arra, hogy a bonyolult fizikai folyamatokat képesek legyenek leírni és előre megjósolni, csak éppen az nem volt világos, hogy mindezt hogyan. Egészen az 1700-as évek elejéig kellett várni erre, amikor nyilvánosan is megjelent egy angol fizikus-matematikus különös elmélete, melyet fluxióelméletnek neveztek el. Ez az elmélet alapjaiban változtatta meg a fizika és a matematika működését. Az elmélet kitalálóját Isaac Newtonnak hívták. Newton már az 1660-as években kidolgozta fluxióelméletét, de akkor még nem érezte teljesen késznek a megjelentetésre, ugyanis voltak benne bizonyos kisebb-nagyobb pontatlanságok. Ezeket a pontatlanságokat végül csak több mint 100 évvel később, az 1800-as évek elejére sikerült kiiktatnia Augustin Louis Cauchy francia mérnök-matematikusnak. Utólag visszagondolva tehát megállapíthatjuk, hogy Newton akár azon nyomban előállhatott volna elméletével, megkímélve így magát egy felesleges hiúsági versenytől, amelyet a kor másik hatalmas gondolkodójával, Gottfried Wilhelm Leibnizcel vívott.

A dolog ugyanis úgy áll, hogy Newton és Leibniz egymástól teljesen függetlenül és más-más okok által motiválva, lényegében egyszerre jött rá ugyanarra. Míg Newtont a fizikai világ matematikai leírása vezérelte, addig Leibniz – aki inkább volt filozófus, mint matematikus – egészen más irányból közelített a problémához. Newton célja az volt, hogy kifejlesszen egy módszert, amely képessé teheti az emberiséget arra, hogy leírja az őt körülvevő világ fizikai folyamatait. Leírja, és ezáltal képessé váljon a problémák megoldására. Mindezekkel szemben Leibniz arra érzett rá, hogy az 1600-as évek matematikusai találtak valamit, de „mintha bekötött szemmel jártak volna”, nem voltak képesek azt egy kerek egységes elméletté kidolgozni. Leibniz megtette azt a sorsdöntő lépést, hogy egy egységes és nagyon okos jelölést vezetett be a különféle matematikai mechanizmusokra, és ennek a jelölésének köszönhetően képes volt olyan új összefüggéseket is meglátni, melyeket maga Newton sem látott. A Newton és Leibniz közötti prioritási vita voltaképpen azért volt igazán tragikus, mert ha nem egymással szemben, hanem egymás mellett dolgoztak volna, akkor közösen talán képesek lettek volna betömni azokat a réseket, amelyeknek a betömésére még több mint 100 évet kellett várni.

De nézzük, miről is van itt szó valójában. Newton elméletének első zseniális meglátása az volt, hogy vegyük alapul az időt mint változót, és minden mást ennek függvényében írjunk le. Tehát az általános iskolából ismert betűkavalkád, a megtett út (s), a sebesség (v), a gyorsulás (a), az erő (F) és még sorolhatnánk, mind az időnek egy függvénye. Ezzel sikerül a sokféle változó mennyiséget az időtől függő rendszerbe fűzni. Newton elméletének másik zseniális eleme elsőre kicsit ijesztően hangzik. Ez a másik fogalom a fluens és a fluxió fogalma. Fluensnek nevezte az időtől függő fizikai mennyiségeket, fluxiónak pedig ezeknek a mennyiségeknek a nagyon pici idő alatt történő megváltozását. Nézzünk erre néhány példát. Newton elmélete szerint egy hajó sebessége például a fluens kategóriába esik, hiszen a hajó sebessége az időtől függ. Van, amikor a hajó kiköt, és a sebessége nulla, van, amikor továbbindul… Szintén fluens, hogy milyen meleg van odakint, hiszen ahogy telik az idő, a hőmérséklet folyamatosan változik. A másik fogalom, a fluxió már izgalmasabb. Ez azt írja le, hogy egy nagyon picike idő alatt mennyivel változik meg a hajó sebessége, vagy éppen mennyivel változik a hőmérséklet. Itt persze jogosan merül föl a kérdés, hogy mégis mennyire pici az a bizonyos nagyon picike idő. Hát, erre a kérdésre sajnos Newton sem igen tudott válaszolni, és éppen ez volt elméletének egyik kritikus pontja. A nagyon picike idő tényleg nagyon picike, sőt még annál is kisebb. A baj csak az, hogy ez így nem igazán precíz fogalom, és bizony sokan voltak, akik elkezdtek kekeckedni Newtonnal emiatt. De ne essünk a kritikusok hibájába, egy pillanatra tegyük túl magunkat ezen a kis apróságon, hogy megláthassuk Newton elméletének igazi lényegét.

Egy magas torony tetejéről leejtünk egy követ. A kő, ahogy elkezd zuhanni, egyre gyorsabban és gyorsabban fog esni. Kezdetben a sebessége nulla, aztán pedig gyorsulni kezd. Ha egy kis hipnózis segítségével megpróbáljuk fölidézni megboldogult fizikaóráink emlékét, akkor talán beugrik egy szám: 9,81. Ez a bizonyos 9,81 m/s2 nem más, mint a nehézségi gyorsulás. Az egyszerűség kedvéért kerekítsük ezt most 10-re. Ez azt jelenti, hogy egy másodperc alatt mennyivel nő egy elejtett kő sebessége zuhanás közben. Az elejtés pillanatában a kő sebessége nulla, egy másodperc alatt pedig 10-zel nő, vagyis 10 m/s lesz. Ha valaki esetleg a kilométer per órát jobban kedveli, akkor a kedvéért ez a bizonyos 10 m/s éppen 36 km/h. Amikor eltelik újabb egy másodperc, az elejtett kő sebessége már 20 m/s, ami némi fejszámolással 72 km/h. Az már egész sok. Mindössze két másodperc alatt az elejtett kő képes ennyire felgyorsulni… Hát, ezért nem érdemes köveket dobálni tornyok tetejéről.
Próbáljuk most meg kideríteni, hogy az elejtett kő mekkora utat tesz meg a zuhanása közben. Ehhez egy bonyolultabb emléket kellene előhívnunk a fizikaórai élményeink közül, ez pedig nem más, mint a négyzetes úttörvény. Minket most nem annyira érdekel a fizika, így aztán egyszerűen csak fogadjuk el, hogy az elejtett kő által megtett utat a következő képlet írja le:
y = 5 ∙ x².

Ez egy ártatlan kis képlet, és rögtön meg is nézzük, hogyan működik. Ha kíváncsiak vagyunk például arra, hogy 1 másodperc alatt mekkora utat tesz meg a kő, akkor mindössze annyit kell tennünk, hogy x helyére azt írjuk, hogy 1, és akkor az jön ki, hogy y = 5 ∙ 12 = 5, vagyis 5 métert.

Ha x helyére 2-t írunk, akkor megkapjuk, hogy mekkora utat tesz meg a kő 2 másodperc alatt: y = 5 ∙ 22 = 20, tehát a megtett út 20 méter. Ez az y = 5x² egy időtől függő fizikai mennyiség, amelyet a matematika nagyon szemléletesen úgy nevez, hogy függvény. Merthogy függ valamitől. Ebben az esetben a megtett út, vagyis az y függ az eltelt időtől, amely az x.

Newton elmélete szerint a megtett út, vagyis az y egy időtől függő fizikai mennyiség, tehát ez egy fluens. Most lássuk, hogy mi lesz itt a fluxió. Ezt Newton ẋ-tal és ẏ-tal jelölte, és a következőket mondta. Az eredeti összefüggés
y = 5x²,
és ha most itt az x értékét egy nagyon picikét megnöveljük, akkor ezáltal y értéke is egy nagyon picikét megnő. Mint utóbb, majd 100 évvel később kiderült, ez az állítás egyáltalán nem természetes, és csak úgynevezett folytonos függvényekre igaz. De a mi történetünkben mégis hihetőnek tűnik – és egyébként ebben az esetben igaz is, hogy ha egy icike-picike idő telik el, akkor a kő egy picike utat tesz meg.

Newton ezt a nagyon picike megnövelést így jelölte: ẋ0 és ẏ0. És itt most álljunk meg egy pillanatra, és tisztázzunk két fontos dolgot. Az egyik, hogy ez voltaképpen egy szorzás, tehát ẋ meg van szorozva nullával. Mielőtt azonban azt mondanánk, hogy hát akkor a szorzat eredménye is nulla, jön a másik fontos dolog, mégpedig az, hogy ezek a nullák skizofrén nullák.

Ez azt jelenti, hogy „ha akarom nulla, de ha akarom, akkor csak egy nagyon picike szám”… Igen, ez valóban kissé furcsán hangzik. A kor matematikusai az ilyen skizofrén nulláknak külön nevet is adtak. Talán éppen azért, mert nagyon is jól látták, hogy itt valami nem teljesen kerek, de azzal, hogy nevet adtak neki, ők maguk is jobban hittek a skizofrén nullák létezésében. Ráadásul egy meglehetősen komplikált nevet találtak ki a skizofrén nulláknak. Úgy nevezték el őket, hogy infinitezimális – ami azt jelenti, hogy határtalanul kicsi mennyiség. Az a rendkívül különös helyzet alakult ki, hogy bár tisztában voltak azzal, hogy itt valami nem stimmel, az ezekkel folytatott számolások végeredményei mégis minduntalan tökéletesen helyesek voltak. Így aztán nem volt mit tenni, a könyörtelen logika világából való jogos száműzetés helyett különös kegyelmet adtak ezeknek a skizofrén nulláknak. Ez volt az egyik Newtont gyötrő kétely, ami miatt oly sokat várt művének publikálásával. Úgy érezte, előbb el kell még rendeznie a skizofrén nullák ügyét, és csak azután állhat elő elméletével. Sajnos azonban ennek az ügynek a tisztázásához még több mint 100 évre és Leibniz jól eltalált jelöléseire volt szükség.

Lássuk most Newton eredeti gondolatmenetét a skizofrén nullákkal. Hogyha ezek a számolások untatnak, de az továbbra is érdekel, hogy mire és hogyan használják a deriválást, kattints ide.
A torony tetejéről elejtett kő útját leíró képletünk:
y = 5x².

Ha itt x értékét egy picikét megnöveljük, akkor ezáltal y értéke is picikét nő, vagyis ha egy nagyon picit több idő telik el, akkor a megtett út is egy picikét nagyobb lesz. A nagyon picit több idő x + ẋ0, és a picikét több út pedig y + ẏ0.

Most helyettesítsük be ezeket az eredeti képletünkbe x és y helyére:
y + ẏ0 = 5(x + ẋ0)².

Ezek után pedig egy apró kis számolás következik. Mielőtt átugranánk, gondoljuk végig azt, hogy ez az elmélet, amelyet Newton megalkotott, sorsfordító jelentőségű az egész emberiség történetében. A minket körülvevő világ szinte minden technikai eszköze ennek az elméletnek köszönheti létezését. Így aztán ez az elmélet éppen úgy része az emberiség közös kultúrkincsének, mint Shakespeare drámái vagy a Római Birodalom története. Szánjunk hát rá még pár percet az életünkből, és bontsuk fel a zárójelet. Megint egy rémes emlék, ezúttal matekóráról:
(a + b)² = a² +2ab + b².

Lássuk, hogyan alakul mindez a mi kis képletünkben.
Ez volt:
y + ẏ0 = 5(x + ẋ0)².

És ez lett:
y + ẏ0 = 5(x² + 2∙x∙ẋ0 + ẋ²0²).

Most pedig beszorzunk azzal az ötössel:
y + ẏ0 = 5x² + 10∙x∙ẋ0 + 5ẋ²0².

Már nincs sok hátra. Az eredeti képletünk az volt, hogy y = 5x², ezért ezt be tudjuk helyettesíteni a bal oldalon y helyére.
5x² + ẏ0 = 5x² + 10∙x∙ẋ0 + 5ẋ²0².

Ekkor 5x² mindkét oldalon megjelent. Levonjuk hát mindkét oldalból:
ẏ0 = 10∙x∙ẋ0 + 5ẋ²0².

Végül bűvészmutatványok következnek. Az egyenlőség minden tagjában szerepel egy skizofrén nulla:
ẏ0 = 10∙x∙ẋ0 + 5ẋ²0².

Így aztán minden tagot elosztunk vele. Ha még emlékszünk rá, nullával nem lehet osztani, de hát éppen azért skizofrén ez a nulla, mert amikor osztunk vele, akkor éppen azt gondolja magáról, hogy nem nulla.
Az osztás után mindenhonnan eltűnt:
ẏ = 10∙x∙ẋ + 5ẋ²0.

Kivéve a legutolsó tagot, ahol eredetileg a négyzeten volt, és így az osztás után is maradt belőle.

Most jön a skizofrén nulla másik énállapota, és azt mondjuk, hogy lám-lám, az utolsó tag nullával van szorozva, és nulla szorozva bármivel az nulla, így az utolsó tagot elhagyjuk:
ẏ = 10∙x∙ẋ.

Mindenki átérezheti Newton gyötrelmeit, hiszen amit tettünk, voltaképpen csalás – legalábbis annak tűnik. Egyik pillanatban még komoly matematikai számításokat végzünk olyan kifejezésekkel, amelyek mindegyikére simán rávághatnánk, hogy nulla, majd a számításaink végén, azt, ami még továbbra is nulla, valóban nullának tekintjük. A kapott eredmény mégis tökéletes. Már csak azt kéne tudnunk, hogy mit is kaptunk valójában.

Ez jött ki:
ẏ = 10∙x∙ẋ.
Egyetlen dolgunk van már csak, ezt az egészet elosztani ẋ∙x ̇-tal:
ẏ / ẋ = 10x.

Most pedig próbáljuk megfejteni, hogy mit jelent ez a képlet. A számlálóban az út nagyon picike megváltozása szerepel. A nevezőben az idő nagyon picike megváltozása. A kapott eredmény tehát a nagyon picike út osztva a megtételéhez szükséges nagyon picike idővel. Kezd rémleni? Megtett út osztva eltelt idő, másként fogalmazva ez éppen a Δs/Δt képlet az általános iskolából. Amit kaptunk, nem más, mint a kő sebessége.

Azt jött ki, hogy a kő sebessége 10x, vagyis a képletünk képes bármely pillanatban megmondani, milyen gyorsan esik a kő: 2 másodperc elteltével például 20 m/s-mal.
Itt persze megkérdezhetjük, hogy mi ennek az egésznek a haszna. Aki még nem adta fel teljesen, talán emlékszik rá, hogy itt már egyszer jártunk. Azt mondtuk korábban, hogy a kő gyorsulása 10 m/s2, és ez éppen azt jelenti, hogy 1 másodperc múlva 10 m/s, és 2 másodperc múlva 20 m/s lesz a kő sebessége. Most kiszámoltuk ugyanezt ilyen rettentő bonyolultan is, de mégis mire jó ez az egész? A válasz jobban érthető akkor, ha Leibniz jelöléseit használjuk. Ezért is rettentő nagy kár, hogy Newton és Leibniz nem egymással közösen dolgoztak elméleteiken… De lássuk végre, hogy miért is olyan roppant fontos ez az egész...

Newton elméletének zsenialitása az, hogy a kő mozgásával kapcsolatos minden adatot egy közös rendszerbe foglal. Ebben a rendszerben minden képlet az időtől függ, vagyis bármely pillanatban képes nekünk elmesélni a kővel kapcsolatos összes adatot. Nem kell mást tennünk, mint x helyére beírni, hogy hány másodperc telt el, és ezek a képletek, mint valami képzeletbeli másodpilóta, már közlik is a kővel kapcsolatos összes szükséges adatot. Ez pedig azért rettentő fontos, mert ezáltal képesek vagyunk az idő függvényében leírni egy hajó mozgását, egy műhold pályáját, vagy éppen egy rakéta útját.

Ezt a rendszert Newton és Leibniz találta ki az 1600-as évek végén, és párszáz év alatt matematikusok százai tökéletesítették. Ezt hívjuk differenciál- és integrálszámításnak, és lényegében ennek köszönhető minden, ami a mai modern civilizációnkban körülvesz bennünket. Az első fontos következménye Newton és Leibniz elméletének az ipari forradalom, és aztán sorban egymás után minden technikai vívmány, amit az emberiség azóta elért.

Most pedig nézzük meg a gyakorlatban, hogyan használható mindez.

A dolog kulcsa azok az egyenletek, amelyek fizikai folyamatokat képesek leírni. Például egy rakéta mozgását, egy híd statikai terhelését, egy hajó stabilitását, egy vasúti pályán a vonatra ható erőket, és sorolhatnánk... Ezeket az egyenleteket differenciálegyenleteknek nevezzük. A differenciálegyenletekben az ismeretlenek különböző függvények, az egyenlet megoldása pedig azt jelenti, hogy ezeket az ismeretlen függvényeket meghatározzuk.

A differenciálegyenletek megoldása ma már numerikusan történik igen komoly számítógépek segítségével. Ennek köszönhetően pedig léteznek olyan numerikus programok, amelyek segítségével például egy-egy épület körüli áramlást a határfelület mentén akár cm-es felbontással is képesek megadni. Ezek a modellek nagyon fontosak az épületek úgynevezett dinamikus terhelésének vizsgálata szempontjából. Magas toronyépületek vagy éppen függőhidak a szokásos statikai terhelésen kívül ugyanis jelentős dinamikus terhelésnek is ki vannak téve. 1940. november 7-e óta nem kell építőmérnöknek lennünk ahhoz, hogy megértsük ennek jelentőségét. Ekkor történt ugyanis a Washington állambeli Tacoma Narrows híd híressé vált összeomlása. A hídról készült videó egészen elképesztő, érdemes megnézni.

A híd tervezése során nem vették kellőképpen figyelembe a szél okozta dinamikus terhelés jelentőségét, és a híd az oldalirányú széllökések hatására hullámozni kezdett. A hullámzás egyre jobban felerősödött, míg végül másfél óra elteltével a hídpálya már 45 fokos szögben kilengett, majd leomlott. A híd összeomlásáról készült felvételeket azóta a világ minden egyetemén minden évben levetítik az építőmérnök hallgatóknak, hogy örökre az eszükbe véssék: hidat nemcsak statikus, hanem dinamikus terhelésre is méretezni kell. A legtöbb differenciálegyenletet azonban a meteorológusoknak kell megoldaniuk. Természetesen nem papíron ceruzával, hanem numerikus módszerekkel, nagy teljesítményű szuperszámítógépek segítségével.

De nem csak a hidak vagy épületek tervezésénél fontosak a differenciálegyenletek. Itt jön most egy még izgalmasabb példa, ahol őrülten fontos szerepe van a differenciálszámítaásnak.

Az 1853-ban kezdődő és a Fekete-tenger stratégiai jelentőségű partvidéki területeiért vívott krími háború kulcsfontosságú helyszíne az Orosz Birodalom egyik legfontosabb kikötője, Szevasztopol és környéke volt. Itt semmisült meg az Orosz Birodalommal szemben álló angol–francia szövetség hajóflottájának jelentős része a vezérhajóval együtt 1854. november 14-én a Balaklavai-öbölben. A csapást azonban nem az Orosz Birodalom mérte a szövetségesek flottájára, hanem egy egész Európán végigsöprő, pusztító erejű szélvihar. A jelentős veszteséggel járó incidens arra sarkallta a Franciaországban éppen akkor uralkodó III. Napóleont, hogy vizsgálatot rendeljen el, nem lehetett-e volna valamiképpen előre tudni a szélvihar érkezéséről, és így jelezni azt a flotta parancsnokának, aki biztonságos vizekre tudta volna vezényelni hajóit.

A vizsgálat lefolytatásával a Neptunusz felfedezésében is közreműködő francia csillagászt, Urbain Le Verriert bízta meg, aki megállapította, hogy az Európában akkor már szép számmal működő meteorológiai állomások mind észlelték azt a ciklont, amely a pusztító vihart okozta. Le Verrier ezeket a megfigyeléseket egy térképre berajzolva pontos képet kapott a ciklon mozgásáról, amelynek érkezését így képes lett volna előre jelezni. Persze azért ez a módszer még az előrejelzésnek egy meglehetősen kezdetleges formája, de a semminél mindenképpen több. Le Verrier ezen felismerése kulcsfontosságú volt az időjárás előrejelzés történetében. Azon túl, hogy megteremtette magát az elképzelést, miszerint lehetséges előre jelezni az időjárási eseményeket, felismerte az adatgyűjtés és az adatok rendszerezésének a fontosságát is. Ez utóbbi, vagyis a mérések és az adatok rendszerezése a mai modern kori előrejelzéseknél is roppant fontos. Nem is gondolnánk, hogy mennyire.

A valódi értelemben vett előrejelzéshez és általában a légköri folyamatok leírásához vezető út a dinamika és a termodinamika 1800-as években történő kifejlődésével indult. Ekkor írták fel a termodinamika főtételeit. A dinamikai, hidrodinamikai és termodinamikai ismeretekkel ötvözve lehetőség nyílt az időjárás nagy rendszerét mozgató differenciálegyenletek megalkotására. Ezek a differenciálegyenletek egytől egyig a Newton által kitalált fluxióelmélet továbbfejlesztéséből kialakult differenciál- és integrálszámításnak köszönhetik létüket. A matematikának ezt a területét a magyar terminológia analízisnek nevezi, angolszász területeken pedig kalkulus néven fut, és minden valamirevaló műszaki vagy természettudományi egyetemen a diákok egyik alapvető fontosságú tantárgya. Olyan, mint az építészeknek a tervrajz, vagy a zenészeknek a kotta: ez írja le azokat a nagy összefüggéseket, amelyekkel munkájuk során foglalkoznak.

1904-ben publikálta híressé vált cikkében Vilhelm Bjerknes norvég fizikus-matematikus azt az öt parciális differenciálegyenletet, amelyek a légköri folyamatok rendszerét írják le. A kormányzó egyenleteknek nevezett rendszer a mozgásegyenletekből, a termodinamikai egyenletből, a kontinuitási vagy másként tömeg-megmaradási egyenletből, a nedvességszállítási egyenletből és az állapotegyenletből áll. A Bjerknes által megalkotott és máig használt parciális differenciálegyenlet-rendszer hagyományos eszközökkel nem megoldható, kizárólag számítógépek segítségével. Már maguk a differenciálegyenletek témaköre sem kimondottan a matematika legegyszerűbb területe, ám a parciális differenciálegyenletek ezen belül is igencsak kellemetlenek tudnak lenni.

Bjerknes az időjárás numerikus előrejelzésének jövőjét az egyenletek grafikus, illetve vegyes numerikus-grafikus megoldásában látta. A kormányzó egyenletek alapján Lewis Fry Richardson angol matematikus készített először számszerű előrejelzést, az ehhez szükséges számítások azonban abban az időben még meglehetősen keservessé tették a munkát. A nagy áttörést csak jóval később, egy matematikus látásmóddal megáldott amerikai meteorológus, Edward Norton Lorenz hozta meg. A számítógépek fejlődése lehetővé tette számára, hogy 1960-ra elkészítse bolygónk meteorológiai rendszerének egy végtelenül leegyszerűsített modelljét. A modell a kormányzó egyenletek numerikus megoldásával készített előrejelzéseket. Lorenz betáplálta a számítógépbe egy adott nap mérési adatait (hőmérséklet, légnyomás, nedvességtartalom, szélerősség stb.), és a kapott adatokból a modell megjósolta a várható időjárást. A tesztek elvégzése során azonban felfigyelt egy érdekes jelenségre. Ha a kezdeti adatokon csak egy nagyon minimális változtatást hajtott végre, az sokszor meglehetősen drasztikus eltéréseket okozott a végeredményben. Kiderült, hogy a meteorológiai modellek nagyon érzékenyek a kezdeti értékek apró változásaira. Ezt a jelenséget pillangóhatásnak nevezte el arra utalva, hogy egy parányi pillangó szárnycsapásai is képesek előidézni a kezdeti adatokban olyan apró változásokat, amelyek aztán drasztikusan megváltoztathatják a modell lefutását és így a kapott végeredményt.

Ezzel egyértelművé vált, hogy a pontos előrejelzéshez nem elegendő a Bjerknes által megalkotott kormányzó egyenletek rendszere és ennek számítógépre fejlesztett megoldási algoritmusa. Szükséges hozzá egy rendkívül pontos mérési hálózat is, mert a nem megfelelő kezdeti értékek a teljes előrejelzést nagyon könnyen tévútra vihetik. A modern meteorológia fejlődéséhez tehát elengedhetetlenné vált egy olyan mérési hálózat kialakítása, amely nagyon pontos adatokat képes gyűjteni, ráadásul a Föld felszínének elképesztően sok helyéről. Létrehoztak egy képzeletbeli háromdimenziós rácsot, amely az egész Földet körbeöleli, és a légkört kocka alakú dobozokra osztja fel. Ezeknek a dobozoknak a csúcsai az úgynevezett rácspontok, és lehetőség szerint minden egyes ilyen rácspontban végezni kell méréseket a hőmérsékletre, szélerősségre, nedvességtartalomra és még számos további fontos paraméterre. Ezek az értékek az úgynevezett kezdeti értékek, amelyek alapján az előrejelzési modelleket futtatják. Minél sűrűbb a rács, annál pontosabbá válnak az előrejelzések.

A rácspontok közti távolság a mérőeszközök számának növekedésével egyre jobban csökkenthető. Mivel azonban a rács háromdimenziós, vagyis a levegőben is vannak rácspontok, nyilvánvalóan lehetetlen minden pontba mérőállomást telepíteni. Ez a probléma többféleképpen is megoldható. Az egyik lehetőség, hogy egy megfigyelő repülőt küldenek az adott rácsponthoz, vagy egy éppen amúgy is arra járó repülőgéptől kérdezik le az általuk megtapasztalt adatokat. Egy másik lehetőség, hogy meteorológiai műholdaktól kérik le az adott rácspontra vonatkozó adatok közül azokat, amelyeket a műhold képes megállapítani. Végül egy harmadik lehetőség az úgynevezett interpoláció. Ennek lényege, hogy a rácsponthoz legközelebb eső valódi mérőállomás adataiból próbálnak következtetni a rácspontra vonatkozó értékekre. Amikor az adatok így vagy úgy, de minden egyes rácspontra megvannak, betáplálják őket egy számítógépbe, és elkezdik a modellt futtatni. A modell a rácspontok „időjárását” általában 5 perces időlépcsőben és 48 órás időtartamban adja meg. Ez azt jelenti, hogy minden egyes rácspont esetében kiszámítja a várható hőmérsékletet, légnyomást és az összes többi paramétert, a következő 48 óra minden egyes 5 percére. Ezek után egy adott terület időjárás-előrejelzése az arra a területre eső rácspontok külön-külön előrejelzéseinek összegzése alapján születik. A végfelhasználó számára legfontosabb információk – mondjuk az, hogy sütni fog-e a nap, vagy esni fog-e az eső – azonban sajnos nem olyan jellegű adatok, amelyeket a kormányzó egyenletek által nyújtott matematikai modell lefuttatásával csak úgy egyszerűen megkapunk. A felhőképződés és ezzel összefüggésben a napsütés vagy éppen a csapadék ugyanis nagyrészt a levegő vertikális, vagyis függőleges mozgásaival van összefüggésben, míg a kormányzó egyenletek jórészt a horizontális, tehát vízszintes irányban történő változásokat képesek leírni. Ezért aztán a modellt olyan tapasztalatokon alapuló összefüggésekkel kell kiegészíteni, amelyek figyelembe veszik az előrejelzés szempontjából roppant fontos vertikális folyamatokat is.

Ezt a meteorológusok paraméterezésnek nevezik, és ilyen paraméterezéssel kapcsolható be a modellbe a felhőképződés, vagy éppen a napsugárzás elnyelődéséből és visszaverődéséből eredő hatások. Az előrejelzés sikeressége tehát nagyban múlik ezen, így fontos, hogy megtalálják az adott modell számára legmegfelelőbb paraméterezést. Ennek egyik bevett módja, hogy előrejelzéseket készítenek – a múltra. Ez egészen egyszerűen egy zseniális ötlet, és a lényege az, hogy pontosan tudjuk, milyen idő volt két nappal ezelőtt, és azt is pontosan tudjuk, hogy milyen idő van ma. A paraméterezéssel kiegészített modelleket úgy lehet egymással versenyeztetni, hogy mindegyikbe betápláljuk a rácspontokon két nappal ezelőtt mért kezdeti értékeket, és megnézzük, melyik jósolja meg legjobban a mai napon mért valódi értékeket. Amelyik a legjobban megtippeli a két nappal ezelőtti adatok alapján, hogy milyen idő lesz ma, az a győztes. Persze a modellek versenyeztetését több különböző időjárási helyzetre és jó pár napra el kell végezni ahhoz, hogy igazi győztest lehessen hirdetni. Ezzel a módszerrel, vagyis a modell és a paraméterezés hibáinak ilyen szisztematikus javításával már kezdünk egészen közel kerülni ahhoz, hogy valóban megbízható előrejelzések készüljenek.

De sajnos még mindig van itt egy kis gond. Hiába tökéletesednek a modellek akár a végtelenségig, a légkör kaotikus tulajdonságából eredő problémák ettől még továbbra is megmaradnak.

Amikor Lorenz 1960-ban elkészítette első kezdetleges meteorológiai modelljét, az egészen megbízhatónak bizonyult, mígnem egyik alkalommal történt valami. Egy több napra kiterjedő és roppant időigényes számítást úgy próbált meg lerövidíteni, hogy a gép által egy adott napra már korábban kiszámított értékeket saját feljegyzései alapján kézzel táplálta be, megspórolva ezzel azt, hogy a gépnek kelljen újra kiszámítania azokat. Az eredmény láttán először arra gondolt, hogy elromlott a gép, ugyanis teljesen más eredményeket kapott, mint korábban. Elkezdte hát kutatni a hiba okát. A gépet úgy alkotta meg, hogy számításait hat tizedes jegy pontossággal végezze, ám a végeredményt csak négy tizedes jegy pontosan írja ki. Amikor kézzel táplálta vissza a négy tizedes jegy pontosságú adatokat, úgy gondolta, hogy ez a picike pontatlanság nem lesz jelentős hatással a teljes számolás végeredményére. Mint utóbb kiderült, ez az eltérés drámaian nagy hatással volt a végeredményre. Ezt a Lorenz által felfedezett jelenséget azóta pillangóhatásnak nevezték el, és lényege, hogy egyes rendszerek a kezdeti értékek parányi változtatása esetén drasztikusan eltérő lefutást produkálnak. Képzeljünk el egy félgömb alakú tálat egy golyóval. Ha a tálba beleejtjük felülről a golyót, akkor az ide-oda gurulva előbb-utóbb megállapodik a tál közepén. Ha egy kicsit távolabbról, vagy egy kicsit más szögben ejtjük bele a golyót, az eredmény kicsit más lesz, de végül ugyanúgy megáll a tál közepén. Most fordítsuk fel a tálat, és ejtsük rá a golyót így. Még ha egészen pontosan a tál középpontja felett engedjük el a golyót, akkor sem tudjuk megjósolni, hogy vajon melyik oldalon fog legurulni, azt pedig pláne nem tudjuk megmondani, hogy a golyó hol fog végül megállni. A kezdeti érték apró változtatásával a golyó döntően eltérő pályákon fog mozogni. Egy nagyon lebutított példával élve, ha a tál bal oldalán leguruló golyó azt jelenti, hogy holnap esni fog az eső, a jobb oldalon leguruló pedig, hogy sütni fog a nap, és a kezdeti érték – a mai napi mérési adatok – azt jelzik, hogy jobbra ejtjük le a golyót, akkor a meteorológus hátradőlhet székében, és kijelentheti, hogy nem fog esni. Ha azonban a golyót lényegében a tál középpontja felett vagy attól csak picit jobbra engedjük el, akkor bizony a kimenetel meglehetősen bizonytalan.

A pillangóhatás miatt ugyanis hiába rendelkezünk nagyon pontosan kiszámított kezdeti értékekkel és nagyon megbízható modellel, a kezdeti értékek egészen apró hibái is drasztikus változást okozhatnak a modell lefutása során, ez pedig pontatlanná teszi az előrejelzést. Márpedig a legmodernebb modellek futtatása során is rengeteg olyan rácspont van, ahol nincsenek a közelben mérőállomások, és ezekben a pontokban csak a korábban említett módszerekre, legtöbbször az interpolációra hagyatkozhatunk, amely egyáltalán, nem tekinthető tévedhetetlennek.

De egy zseniális ötlettel ez a probléma is megoldható. A pillangóhatás okozta bizonytalanságokat csökkentő módszer neve valószínűségi, vagy másként ensemble (együttes) előrejelzés, és az alapötlet nagyon leegyszerűsítve a következő. Hogyha egyszer az okozza a problémát, hogy a rácspontok kezdeti értékei picit eltérhetnek a valóságostól, akkor futtassunk le egymással párhuzamosan több modellt, mindegyikben egy picikét változtatva a kezdeti értékeken, és nézzük meg, mi jön ki. Ha az egymással párhuzamosan lefutó modellek többé-kevésbé ugyanazt az előrejelzést adják, akkor a kapott eredményben kellőképpen megbízhatunk, vagyis jó eséllyel tényleg olyan idő lesz. Ha viszont jelentősen eltérő eredmények születnek, akkor az előrejelzés megbízhatósága kisebb. Nézzük meg egy konkrét példán keresztül, hogyan működik ez például a hőmérséklet esetében. Egy adott rácspontban a mérés szerint jelen pillanatban 0 °C van, de a rácspont mondjuk éppen egy hegycsúcs tetejére esik, és pont most nem jár arra senki, ezért a mért 0 °C egy közeli mérőállomás interpolációja alapján jön ki. Ezért aztán nem lehetünk halálosan biztosak ebben a 0 °C-ban. De itt jön az ensemble előrejelzés lényege, hogy a modellt nemcsak az 0 °C értékkel, hanem ahhoz közel eső további értékekkel is lefuttatják, és megnézik, hogy mi lesz az eredmény. A kapott értékeket egy grafikonon ábrázolva nagyon szemléletes képet kapunk a várható fejleményekről. Ezt a képet fáklyadiagramnak nevezik. Ha a fáklya alsó és felső széle nem távolodik el túlzottan egymástól, akkor a párhuzamosan lefutott modellek többé-kevésbé ugyanarra az eredményre jutottak, így viszonylag pontosan meg tudjuk mondani, hány fok lesz az adott rácspontban. Ha viszont a fáklya széttartó, akkor az adott rácspontban csak meglehetősen nagy bizonytalansággal mondható meg, hogy hány fok lesz. Ez pedig nemcsak annak a hegymászónak lesz probléma, aki a következő napokban a hegycsúcsra igyekszik, ugyanis egy adott régió előrejelzésének elkészítéséhez az összes környező rácspont adatai szükségesek. Ha az adott rácspont az előrejelzés szempontjából kulcsfontosságú, de a fáklyadiagram nagyon széttartó, akkor utólagos mérésekkel lehet ezen javítani. Például egy repülőgépet küldenek az adott ponthoz részletesebb méréseket végezni, és ezek alapján a mérések alapján az újra lefuttatott modell már megbízhatóbb eredményeket fog adni.

Az ensemble előrejelzések meglehetősen pazarlóan bánnak a számítási kapacitásokkal, hiszen egyetlen előrejelzés elkészítéséhez 20-szor vagy akár 50-szer is le kell futtatni az adott modellt. Egy olyan modellt, amely például Európán belül jelenleg már 8 km-es felbontással, 49 függőleges szinttel és körülbelül 5 millió rácspont összes adatával fut. 1960-ban Lorenz nem is álmodhatott ilyesmiről, az akkori számítási kapacitásokkal egy ilyen modell egyetlen lefutása a világ összes számítógépét felhasználva is lényegesen lassabb lett volna, mint ténylegesen kivárni és megnézni, hogy milyen idő is lesz másnap valójában. Az Intel egyik alapítója, Gordon Moore által megfogalmazott és azóta Moore-törvényként elhíresült állítás szerint azonban a világ számítógépeinek számítási kapacitása 18 havonta megduplázódik, így mostanra lehetségessé vált olyan modellek futtatása is, amelyek viszonylag jó pontossággal havi, sőt féléves előrejelzéseket is képesek készíteni. Az utóbbi években azonban a folyamatosan növekvő számítási kapacitások ellenére is csökkenni kezdett a modellek megbízhatósága. Ennek oka az, hogy a globális felmelegedés hatására a légkörben zajló folyamatok változásnak indultak. A jól bejáratott modellek pedig nem tudnak megfelelően lépést tartani ezekkel a változásokkal. Ha már egy pillangó szárnycsapkodása is komoly hatással van a modell futására és ezáltal a kapott végeredményre, akkor képzelhetjük, milyen elképesztően nagy változásokat tud okozni például egy városnyi méretű leszakadó jégtábla. A modellek fejlesztése egyszerűen nem képes lépést tartani az egyre gyorsabban változó klímával, és őrült versenyfutás zajlik, hogy legalább részben megőrizhető legyen az előrejelzés megszokott pontossága.