Deriválás

1. Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( \left( 5\cdot x^3 \right)' = \; ? \)

b) \( \left( \frac{x^5}{7} \right)' = \; ? \)

c) \( \left( x^2+\ln{x} \right)' = \; ? \)

d) \( \left( x^3 \cdot \ln{x} \right)' = \; ? \)

e) \( \left( \frac{x^2}{\ln{x}} \right)' = \; ? \)

f) \( \left( \frac{5}{x^3+2} \right)' = \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( \left( \sin{ \left( x^6+x^2 \right)} \right)' = \; ? \)

b) \( \left( \left( 3^x +\ln{x} \right)^4 \right)' = \; ? \)

c) \( \left( 5^{x^3+x} \right)' = \; ? \)

d) \( \left( \ln{\left( x^4+x^2 \right)} \right)' = \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=x^x \)

b) \( f(x)=(\cos{x})^{ \sin{x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( \cosh{x} \)

b) \( \sinh{x} \)

c) \( \tanh{x} \)

d) arcosh x

e) arsinh x

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Deriváljuk az alábbi implicit függvényeket.

a) \( e^x+y^2=x^3+\ln{y} \)

b) \( y \cdot \cos{x} + \ln{(2x+y)}=\sin{y} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=x^{100}+x^7+7^x+\sqrt{42} \)

b) \( f(x)= \frac{ x^6-4x^4+7^x}{42} \)

c) \( f(x)= \sqrt[5]{x}+x^2 \cdot \sqrt[3]{x} \)

d) \( f(x)= \sqrt[3]{ x\cdot \sqrt[5]{x^3} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= e^x + e\cdot x^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[4]{e^x} + \sqrt[3]{e^x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln{ \left( x^6-x^2+6 \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ \ln{x} -3^x}{ \sqrt[5]{x^4} + x^2  } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ 3x }{ (4-x)^2 }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ 3x }{ \sqrt{ e^x +1 } }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ \lg{3x} + e^2 }{ \sqrt[3]{ 4-x } }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


14. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ e^{4x} - \sqrt[7]{x^4} }{ \ln{ (4-2x)} +7 }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


15. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  \left( x^5-4^x \right) \left( \ln{x} - \sqrt[6]{x^7} \right)  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


16. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  \ln^3{x}  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


17. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  5^{x^3+5x^4-7x}  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


18. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  \ln{ \frac{ x^5 - 2^x }{ \sqrt[4]{x-6} +e^2} }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


19. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  \ln{ \sqrt[3]{ \frac{ x^4 - e^x}{5^{2x-4} -\ln{ \pi} }} }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


20. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  \frac{ e^{4x}- \sqrt[7]{x^4} }{ \ln{(4-2x)} +7}  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


21. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \left( \frac{5^x+\ln{x}}{ \sqrt{1-x} + x^6}  \right)^4  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


22. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[5]{ \left( \ln{x} -5^{6-2x} + (4x+5)^3 -x \right)^4 } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


23. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{1}{ \sqrt[4]{ \left( x^5 - \ln{ \left( x^3+x \right) } - 6^{3-x} + \sqrt{\pi} \right)^7 }} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


24. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{5}{ \sqrt[3]{ 6x^5 - \lg{ ( 3-2x) } - 2^{4-x}  }} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


25. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \lg{ \frac{7 x^4 + 2^x }{ \sqrt{3} + \sqrt[4]{x} }} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


26. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ 7^{2x+3} -4x^3}{5 \ln{x} + \sqrt[4]{x^7+x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


27. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ \log_{\sqrt{3}}{x} + e^{8-5x} }{ 7+ \sqrt[3]{1+2x^4+x^8} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


28. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \left( 5^x+ \lg{ \left( 9x^2-1 \right) } \right) \left( \sqrt[5]{ (6-x)^2} + 4e^x \right) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


29. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt{ \frac{ 6^x + \lg{x} }{ \ln{2} + 3x^8} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


30. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[7]{5-3x} \cdot \left( e^{x^2+x} + 4\lg{x} \right) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


31. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln{ \left(  \frac{ \log_{\sqrt{3}}{x} + e^{8-x} }{ 7+ \sqrt[3]{ x^4+x^6} } \right)^5 } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


32. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{1}{ \sqrt[3]{ \left( 7^{1-x} + \lg{x} \right)^4}} \cdot e^{x^2-x^3} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


33. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{1}{ \lg{ \left( x^3+x \right)} +3^x } \cdot e^{x^4-4x^2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


34. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[5]{ \frac{1}{ \left( 3^{6-x} + \lg{x} \right)^4 } }\cdot \ln{ \left( x-x^{100} \right)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


35. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln{ \sqrt[4]{ \left(  \frac{3^x - \log_{\sqrt{7}}{x}}{5x^3-\sqrt[7]{x}} \right)^3 }} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


36. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln{ \left( \frac{1}{x^{100} + 5^x}\cdot \frac{1}{\ln{x}} \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


37. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[7]{ \frac{ \left(x^2-e^x \right)^4}{100}} \cdot \frac{1}{\ln{ \left( x^{100} + x^2 \right)}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


38. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt{ \frac{ 3^x + \lg^2{x}}{\ln^3{x^2} +x^7} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


39. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \left( 4^x + \lg^2{ \left( 5x^2-1 \right) } \right) \left( \sqrt[5]{ \ln^2{ \left( x^4-3 \right)}} +4x^5 \right) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


40. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ \log_{3}^5{ \left( x^4 + x \right)} - 4^{x^3-x}}{ 5 \ln^2{ \left( x^3-4 \right)} + \sqrt[4]{ x^7+7^x} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


41. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln{ (\lg{x})} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


42. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln^2{ \left( \lg{x^4} \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


43. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln^3{ \left( \lg^2{x} \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


44. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln^4{ \left( \ln^3{x} \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


45. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln^4{ \left( \ln^5{x^3} \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


46. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln^4{ \sqrt[5]{ \ln^6{ \sqrt{x^3}}}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


47. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \tan{\left( \frac{ \sqrt{x} +4}{x^3} \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


48. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ \sin{(6-x)} + \tan{ \ln{x}}}{ e^{ \cos{x}} + \ln{ \tan{x}}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


49. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \arctan{x^3} \cdot \tan^3{x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


50. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sin^2{x} + \sin{x^2} + \arctan{ \left( e^x +x \right)} \cdot \tan{x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


51. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \cos^4{ ( \ln{\tan{x}})} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


52. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \arctan^4{ \left( \cos{ \ln{x}} + \sin{ e^x} \right)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


53. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sin^4{ ( \tan{x} )} + \tan^4{ ( \sin{x} ) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


54. Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[7]{x^4-5^x+\ln{ \left( x^3+6x^4 \right)} + e^{\pi}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Mi az a deriválás? Már mutatjuk is, hogyan kell deriválni szuper-érthető példákon keresztül. Differencia hányados, Differenciál hányados, Az érintő meredeksége, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Deriválás feladatok, Deriválás táblázat, Nevezetes függvények deriváltjai, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal, Derivált táblázat, Derivált függvény, Deriválási feladatok, Deriválási képletek, Differenciálszámítás, Differenciálszámítás feladatok. Lássuk, hogyan kell deriválni az xx függvényt és az ehhez hasonló rémes (u(x))v(x) típusú függvényeket. Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.



Tanulj meg deriválni 10 perc alatt

Van itt egy függvény.

Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,

akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,

ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.

Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,

de tulajdonképpen lehet maximuma is.

Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.

Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál

maga a függvény.

Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.

A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.

A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.

Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,

ami ezen a két ponton megy át.

Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!

amennyit fölfele megy

amennyit előre megy

Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.

A szelő meredeksége a

differenciahányados:

Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.

Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni  felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.

Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.

Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.

Az érintő meredeksége

a differenciál hányados:

az  pontban a derivált

Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.

Az  függvény deriváltjának jelölésére az  van forgalomban.

Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!

A konstans függvények deriváltja nulla.

Például egy konstans függvény és

A hatványfüggvények deriváltja

például  deriváltja

Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:

 és a derivált

Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:  

Az  deriváltja kicsit rondább:

Itt van például ez, hogy  

nos ennek a deriváltja nem  mert itt x a kitevőben van.

és ez a bizonyos  egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:

Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .

Aztán itt van az emlegetett deriváltja:

Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig

például   10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:

Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.

A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.

A tangens deriváltja

na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.

Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!

És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.

Van itt egy függvény, ez még nem összetett.

Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy

Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy

aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.

Vagy itt van egy másik.

Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.

De ha ez az egész a negyediken van,

na akkor már összetett függvény.

A külső függvény itt az, hogy

aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott

aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.

És itt van például ez.

A külső függvény deriváltja

Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk

a deriválás feladatokkal.


A láncszabály

Van itt egy függvény.

Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,

akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,

ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.

Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,

de tulajdonképpen lehet maximuma is.

Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.

Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál

maga a függvény.

Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.

A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.

A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.

Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,

ami ezen a két ponton megy át.

Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!

amennyit fölfele megy

amennyit előre megy

Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.

A szelő meredeksége a

differenciahányados:

Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.

Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni  felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.

Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.

Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.

Az érintő meredeksége

a differenciál hányados:

az  pontban a derivált

Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.

Az  függvény deriváltjának jelölésére az  van forgalomban.

Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!

A konstans függvények deriváltja nulla.

Például egy konstans függvény és

A hatványfüggvények deriváltja

például  deriváltja

Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:

 és a derivált

Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:  

Az  deriváltja kicsit rondább:

Itt van például ez, hogy  

nos ennek a deriváltja nem  mert itt x a kitevőben van.

és ez a bizonyos  egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:

Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .

Aztán itt van az emlegetett deriváltja:

Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig

például   10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:

Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.

A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.

A tangens deriváltja

na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.

Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!

És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.

Van itt egy függvény, ez még nem összetett.

Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy

Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy

aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.

Vagy itt van egy másik.

Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.

De ha ez az egész a negyediken van,

na akkor már összetett függvény.

A külső függvény itt az, hogy

aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott

aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.

És itt van például ez.

A külső függvény deriváltja

Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk

a deriválás feladatokkal.


Az x^x típusú függvények deriválása

Könnyű és még könnyebb deriválások

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

Deriváljuk ezt is

A hiperbolikus függvények és deriváltjaik

Implicit függvények deriválása