Deriválás

MI AZ A DERIVÁLÁS, HOGYAN TALÁLTÁK KI ÉS MIRE LEHET HASZNÁLNI?

Fizikai ismereteink egyik általános iskolából megőrzött biztos pontja az s = v ∙ t képlet. Ha egy lövedék 100 m/s sebességgel halad, vagyis másodpercenként 100 métert tesz meg, akkor 5 másodperc múlva a megtett út 500 méter lesz. Az eredményt megkapjuk egy egyszerű szorzás segítségével. Csakhogy a világ ennél bonyolultabban működik. A lövedékre ugyanis közegellenállás hat, amely a sebességének a négyzetével arányos. Ez azt jelenti, hogy minél gyorsabb a lövedék, annál nagyobb fékezőerő hat rá. És így 5 másodperc elteltével nem 500 méter lesz a megtett útja, hanem fogalmunk sincs, hogy mennyi. A problémát önmagában nem a közegellenállás fékezőereje okozza, hanem annak az a kellemetlen tulajdonsága, hogy a körülményektől függően folyamatosan változik. Vagyis elkezdi fékezni a lövedéket, amely lassul, tehát csökken a sebessége, és emiatt csökken a fékezőerő is, amely így már kevésbé lassítja a lövedéket. Ez egy bonyolult ok-okozati visszacsatolási folyamat, már ebben a rendkívül egyszerű példában is, ahol semmi mást nem veszünk figyelembe, mint a lövedék sebességét és a közegellenállást.

Egy hajó megtervezése vagy egy katedrális megépítése ennél milliószor bonyolultabb rendszer, ahol száz meg száz tényező hat egymásra, és ezek változó hatásai elképzelhetetlenül bonyolult kölcsönhatásba kerülnek egymással. Nem csoda hát, hogy az 1600-as években nem kezdtek statikai számításokba egy hajó vagy éppen egy katedrális építésénél, hanem a több száz éves hagyományokat a józan ésszel és a mindennapi tapasztalatokkal vegyítve próbáltak valamilyen megoldást találni a problémára. Egyszerűen nem foglalkoztak a világ bonyolultságával, helyette inkább újra és újra próbálkoztak, vagy menet közben változtattak a terveken.

Ezzel a módszerrel az emberiség meglepően messzire képes volt eljutni. Az erő és a kitartás elegendőnek bizonyult ahhoz, hogy hatalmas piramisokat vagy éppen merész katedrálisokat építsen. A gótikus katedrálisok igazi mérnöki mesterművek, és szépségükből semmit sem von le az a tény, hogy építésük során bizony gyakran kellett rögtönözni, amikor az éppen leomló falakat más elképzelés mentén újjáépítették, és az is megesett, hogy egy templomot sosem fejeztek be, mert egészen egyszerűen nem tudták továbbépíteni. Az emberiség ezzel a tudásával remekül használta a követ és a fát különféle építkezéseihez. Várakat, hidakat, utakat, szekereket, hajókat tudott építeni, de akkoriban még nem léteztek függőhidak, nem léteztek repülőgépek, nem voltak mobiltelefonok, sem pedig a Föld körül keringő műholdak. Ahhoz ugyanis, hogy mindezek megszülessenek, kellett valami plusz. Egy kőből épült híd nagy nehezen felépülhetett úgy, hogy addig-addig próbálkoznak, míg végül sikerül elkészülni vele, de egy műholdat Föld körüli pályára állítani ezzel a módszerrel lehetetlen. Az emberiség történetében hatalmas fordulópontot hozott az, amikor már nem kellett egy hajót megépíteni ahhoz, hogy kiderüljön felborul-e, hanem elegendő volt hozzá egy papír és egy ceruza, meg persze sok-sok számítás elvégzése. Hirtelen képessé váltunk megjósolni a jövőt. Mindehhez pedig a matematika segítette hozzá az emberiséget.
Az igény folyamatosan egyre nagyobb lett arra, hogy a bonyolult fizikai folyamatokat képesek legyenek leírni és előre megjósolni, csak éppen az nem volt világos, hogy mindezt hogyan. Egészen az 1700-as évek elejéig kellett várni erre, amikor nyilvánosan is megjelent egy angol fizikus-matematikus különös elmélete, melyet fluxióelméletnek neveztek el. Ez az elmélet alapjaiban változtatta meg a fizika és a matematika működését. Az elmélet kitalálóját Isaac Newtonnak hívták. Newton már az 1660-as években kidolgozta fluxióelméletét, de akkor még nem érezte teljesen késznek a megjelentetésre, ugyanis voltak benne bizonyos kisebb-nagyobb pontatlanságok. Ezeket a pontatlanságokat végül csak több mint 100 évvel később, az 1800-as évek elejére sikerült kiiktatnia Augustin Louis Cauchy francia mérnök-matematikusnak. Utólag visszagondolva tehát megállapíthatjuk, hogy Newton akár azon nyomban előállhatott volna elméletével, megkímélve így magát egy felesleges hiúsági versenytől, amelyet a kor másik hatalmas gondolkodójával, Gottfried Wilhelm Leibnizcel vívott.

A dolog ugyanis úgy áll, hogy Newton és Leibniz egymástól teljesen függetlenül és más-más okok által motiválva, lényegében egyszerre jött rá ugyanarra. Míg Newtont a fizikai világ matematikai leírása vezérelte, addig Leibniz – aki inkább volt filozófus, mint matematikus – egészen más irányból közelített a problémához. Newton célja az volt, hogy kifejlesszen egy módszert, amely képessé teheti az emberiséget arra, hogy leírja az őt körülvevő világ fizikai folyamatait. Leírja, és ezáltal képessé váljon a problémák megoldására. Mindezekkel szemben Leibniz arra érzett rá, hogy az 1600-as évek matematikusai találtak valamit, de „mintha bekötött szemmel jártak volna”, nem voltak képesek azt egy kerek egységes elméletté kidolgozni. Leibniz megtette azt a sorsdöntő lépést, hogy egy egységes és nagyon okos jelölést vezetett be a különféle matematikai mechanizmusokra, és ennek a jelölésének köszönhetően képes volt olyan új összefüggéseket is meglátni, melyeket maga Newton sem látott. A Newton és Leibniz közötti prioritási vita voltaképpen azért volt igazán tragikus, mert ha nem egymással szemben, hanem egymás mellett dolgoztak volna, akkor közösen talán képesek lettek volna betömni azokat a réseket, amelyeknek a betömésére még több mint 100 évet kellett várni.

De nézzük, miről is van itt szó valójában. Newton elméletének első zseniális meglátása az volt, hogy vegyük alapul az időt mint változót, és minden mást ennek függvényében írjunk le. Tehát az általános iskolából ismert betűkavalkád, a megtett út (s), a sebesség (v), a gyorsulás (a), az erő (F) és még sorolhatnánk, mind az időnek egy függvénye. Ezzel sikerül a sokféle változó mennyiséget az időtől függő rendszerbe fűzni. Newton elméletének másik zseniális eleme elsőre kicsit ijesztően hangzik. Ez a másik fogalom a fluens és a fluxió fogalma. Fluensnek nevezte az időtől függő fizikai mennyiségeket, fluxiónak pedig ezeknek a mennyiségeknek a nagyon pici idő alatt történő megváltozását. Nézzünk erre néhány példát. Newton elmélete szerint egy hajó sebessége például a fluens kategóriába esik, hiszen a hajó sebessége az időtől függ. Van, amikor a hajó kiköt, és a sebessége nulla, van, amikor továbbindul… Szintén fluens, hogy milyen meleg van odakint, hiszen ahogy telik az idő, a hőmérséklet folyamatosan változik. A másik fogalom, a fluxió már izgalmasabb. Ez azt írja le, hogy egy nagyon picike idő alatt mennyivel változik meg a hajó sebessége, vagy éppen mennyivel változik a hőmérséklet. Itt persze jogosan merül föl a kérdés, hogy mégis mennyire pici az a bizonyos nagyon picike idő. Hát, erre a kérdésre sajnos Newton sem igen tudott válaszolni, és éppen ez volt elméletének egyik kritikus pontja. A nagyon picike idő tényleg nagyon picike, sőt még annál is kisebb. A baj csak az, hogy ez így nem igazán precíz fogalom, és bizony sokan voltak, akik elkezdtek kekeckedni Newtonnal emiatt. De ne essünk a kritikusok hibájába, egy pillanatra tegyük túl magunkat ezen a kis apróságon, hogy megláthassuk Newton elméletének igazi lényegét.

Egy magas torony tetejéről leejtünk egy követ. A kő, ahogy elkezd zuhanni, egyre gyorsabban és gyorsabban fog esni. Kezdetben a sebessége nulla, aztán pedig gyorsulni kezd. Ha egy kis hipnózis segítségével megpróbáljuk fölidézni megboldogult fizikaóráink emlékét, akkor talán beugrik egy szám: 9,81. Ez a bizonyos 9,81 m/s2 nem más, mint a nehézségi gyorsulás. Az egyszerűség kedvéért kerekítsük ezt most 10-re. Ez azt jelenti, hogy egy másodperc alatt mennyivel nő egy elejtett kő sebessége zuhanás közben. Az elejtés pillanatában a kő sebessége nulla, egy másodperc alatt pedig 10-zel nő, vagyis 10 m/s lesz. Ha valaki esetleg a kilométer per órát jobban kedveli, akkor a kedvéért ez a bizonyos 10 m/s éppen 36 km/h. Amikor eltelik újabb egy másodperc, az elejtett kő sebessége már 20 m/s, ami némi fejszámolással 72 km/h. Az már egész sok. Mindössze két másodperc alatt az elejtett kő képes ennyire felgyorsulni… Hát, ezért nem érdemes köveket dobálni tornyok tetejéről.
Próbáljuk most meg kideríteni, hogy az elejtett kő mekkora utat tesz meg a zuhanása közben. Ehhez egy bonyolultabb emléket kellene előhívnunk a fizikaórai élményeink közül, ez pedig nem más, mint a négyzetes úttörvény. Minket most nem annyira érdekel a fizika, így aztán egyszerűen csak fogadjuk el, hogy az elejtett kő által megtett utat a következő képlet írja le:
y = 5 ∙ x².

Ez egy ártatlan kis képlet, és rögtön meg is nézzük, hogyan működik. Ha kíváncsiak vagyunk például arra, hogy 1 másodperc alatt mekkora utat tesz meg a kő, akkor mindössze annyit kell tennünk, hogy x helyére azt írjuk, hogy 1, és akkor az jön ki, hogy y = 5 ∙ 12 = 5, vagyis 5 métert.

Ha x helyére 2-t írunk, akkor megkapjuk, hogy mekkora utat tesz meg a kő 2 másodperc alatt: y = 5 ∙ 22 = 20, tehát a megtett út 20 méter. Ez az y = 5x² egy időtől függő fizikai mennyiség, amelyet a matematika nagyon szemléletesen úgy nevez, hogy függvény. Merthogy függ valamitől. Ebben az esetben a megtett út, vagyis az y függ az eltelt időtől, amely az x.
Newton elmélete szerint a megtett út, vagyis az y egy időtől függő fizikai mennyiség, tehát ez egy fluens. Most lássuk, hogy mi lesz itt a fluxió. Ezt Newton ẋ-tal és ẏ-tal jelölte, és a következőket mondta. Az eredeti összefüggés
y = 5x²,
és ha most itt az x értékét egy nagyon picikét megnöveljük, akkor ezáltal y értéke is egy nagyon picikét megnő. Mint utóbb, majd 100 évvel később kiderült, ez az állítás egyáltalán nem természetes, és csak úgynevezett folytonos függvényekre igaz. De a mi történetünkben mégis hihetőnek tűnik – és egyébként ebben az esetben igaz is, hogy ha egy icike-picike idő telik el, akkor a kő egy picike utat tesz meg.
Newton ezt a nagyon picike megnövelést így jelölte: ẋ0 és ẏ0. És itt most álljunk meg egy pillanatra, és tisztázzunk két fontos dolgot. Az egyik, hogy ez voltaképpen egy szorzás, tehát ẋ meg van szorozva nullával. Mielőtt azonban azt mondanánk, hogy hát akkor a szorzat eredménye is nulla, jön a másik fontos dolog, mégpedig az, hogy ezek a nullák skizofrén nullák.

Ez azt jelenti, hogy „ha akarom nulla, de ha akarom, akkor csak egy nagyon picike szám”… Igen, ez valóban kissé furcsán hangzik. A kor matematikusai az ilyen skizofrén nulláknak külön nevet is adtak. Talán éppen azért, mert nagyon is jól látták, hogy itt valami nem teljesen kerek, de azzal, hogy nevet adtak neki, ők maguk is jobban hittek a skizofrén nullák létezésében. Ráadásul egy meglehetősen komplikált nevet találtak ki a skizofrén nulláknak. Úgy nevezték el őket, hogy infinitezimális – ami azt jelenti, hogy határtalanul kicsi mennyiség. Az a rendkívül különös helyzet alakult ki, hogy bár tisztában voltak azzal, hogy itt valami nem stimmel, az ezekkel folytatott számolások végeredményei mégis minduntalan tökéletesen helyesek voltak. Így aztán nem volt mit tenni, a könyörtelen logika világából való jogos száműzetés helyett különös kegyelmet adtak ezeknek a skizofrén nulláknak. Ez volt az egyik Newtont gyötrő kétely, ami miatt oly sokat várt művének publikálásával. Úgy érezte, előbb el kell még rendeznie a skizofrén nullák ügyét, és csak azután állhat elő elméletével. Sajnos azonban ennek az ügynek a tisztázásához még több mint 100 évre és Leibniz jól eltalált jelöléseire volt szükség.
Lássuk most Newton eredeti gondolatmenetét a skizofrén nullákkal.
A torony tetejéről elejtett kő útját leíró képletünk:
y = 5x².

Ha itt x értékét egy picikét megnöveljük, akkor ezáltal y értéke is picikét nő, vagyis ha egy nagyon picit több idő telik el, akkor a megtett út is egy picikét nagyobb lesz. A nagyon picit több idő x + ẋ0x+x ̇0, és a picikét több út pedig y + ẏ0y+y ̇0. Most helyettesítsük be ezeket az eredeti képletünkbe x és y helyére:
y + ẏ0 = 5(x + ẋ0)².

Ezek után pedig egy apró kis számolás következik. Mielőtt gyorsan továbblapozna a kedves olvasó, gondoljuk végig azt, hogy ez az elmélet, amelyet Newton megalkotott, sorsfordító jelentőségű az egész emberiség történetében. A minket körülvevő világ szinte minden technikai eszköze ennek az elméletnek köszönheti létezését. Így aztán ez az elmélet éppen úgy része az emberiség közös kultúrkincsének, mint Shakespeare drámái vagy a Római Birodalom története. Szánjunk hát rá még pár percet az életünkből, és bontsuk fel a zárójelet. Megint egy rémes emlék, ezúttal matekóráról:
(a + b)² = a² +2ab + b².

Lássuk, hogyan alakul mindez a mi kis képletünkben.
Ez volt:
y + ẏ0 = 5(x + ẋ0)².

És ez lett:
y + ẏ0 = 5(x² + 2xẋ0 + ẋ²0²).
Most pedig beszorzunk azzal az ötössel:
y + ẏ0 = 5x² + 10xẋ0 + 5ẋ²0².

Már nincs sok hátra. Az eredeti képletünk az volt, hogy y = 5x², ezért ezt be tudjuk helyettesíteni a bal oldalon y helyére.
5x2 + ẏ0 = 5x² + 10xẋ0 + 5ẋ²0².

Ekkor 5x² mindkét oldalon megjelent. Levonjuk hát mindkét oldalból:
ẏ0 = 10xẋ0 + 5ẋ²0².
Végül bűvészmutatványok következnek. Az egyenlőség minden tagjában szerepel egy skizofrén nulla:
ẏ0 = 10xẋ0 + 5ẋ²0².
Így aztán minden tagot elosztunk vele. Ha még emlékszünk rá, nullával nem lehet osztani, de hát éppen azért skizofrén ez a nulla, mert amikor osztunk vele, akkor éppen azt gondolja magáról, hogy nem nulla.
Az osztás után mindenhonnan eltűnt:
ẏ = 10xẋ + 5ẋ²0.

Kivéve a legutolsó tagot, ahol eredetileg a négyzeten volt, és így az osztás után is maradt belőle.
Most jön a skizofrén nulla másik énállapota, és azt mondjuk, hogy lám-lám, az utolsó tag nullával van szorozva, és nulla szorozva bármivel az nulla, így az utolsó tagot elhagyjuk:
ẏ = 10xẋ.

Mindenki átérezheti Newton gyötrelmeit, hiszen amit tettünk, voltaképpen csalás – legalábbis annak tűnik. Egyik pillanatban még komoly matematikai számításokat végzünk olyan kifejezésekkel, amelyek mindegyikére simán rávághatnánk, hogy nulla, majd a számításaink végén, azt, ami még továbbra is nulla, valóban nullának tekintjük. A kapott eredmény mégis tökéletes. Már csak azt kéne tudnunk, hogy mit is kaptunk valójában.

Ez jött ki:
ẏ = 10xẋ.
Egyetlen dolgunk van már csak, ezt az egészet elosztani ẋx ̇-tal:
ẏ / ẋ = 10x.

Most pedig próbáljuk megfejteni, hogy mit jelent ez a képlet. A számlálóban az út nagyon picike megváltozása szerepel. A nevezőben az idő nagyon picike megváltozása. A kapott eredmény tehát a nagyon picike út osztva a megtételéhez szükséges nagyon picike idővel. Kezd rémleni? Megtett út osztva eltelt idő, másként fogalmazva ez éppen a Δs/Δt képlet az általános iskolából. Amit kaptunk, nem más, mint a kő sebessége.

Azt jött ki, hogy a kő sebessége 10x, vagyis a képletünk képes bármely pillanatban megmondani, milyen gyorsan esik a kő: 2 másodperc elteltével például 20 m/s-mal.
Itt persze megkérdezhetjük, hogy mi ennek az egésznek a haszna. Aki még nem adta fel teljesen, talán emlékszik rá, hogy itt már egyszer jártunk. Azt mondtuk korábban, hogy a kő gyorsulása 10 m/s2, és ez éppen azt jelenti, hogy 1 másodperc múlva 10 m/s, és 2 másodperc múlva 20 m/s lesz a kő sebessége. Most kiszámoltuk ugyanezt ilyen rettentő bonyolultan is, de mégis mire jó ez az egész? A válasz jobban érthető akkor, ha Leibniz jelöléseit használjuk. Ezért is rettentő nagy kár, hogy Newton és Leibniz nem egymással közösen dolgoztak elméleteiken… De lássuk végre, hogy miért is olyan roppant fontos ez az egész...