- Komplex számok
- Polinomok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
- Hatványozás, logaritmus, exponenciális és logaritmusos egyenletek
- Trigonometria, trigonometrikus egyenletek
- Függvények
- Összetett függvény és inverz függvény
- Trigonometrikus függvények és arkusz függvények
- Hiperbolikus függvények és inverzeik
- Sorozatok határértéke
- Küszöbindex és monotonitás
- Rekurzív sorozatok
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Taylor polinom és Taylor sor
- L’Hôpital szabály
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Paraméteres görbék
Rekurzív sorozatok
Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?
\( a_{n+1}=\sqrt{5 a_n +6} \qquad a_1=1 \)
Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?
\( a_{n+1}=\frac{ a_n^2 -12}{4} \qquad a_1=10 \)
Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?
\( a_{n+1}=5+\frac{6}{10-a_n} \qquad a_1=7 \)
Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?
\( a_{n+1}=\sqrt{12a_n+13} \qquad a_1=2 \)
Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?
\( a_{n+1}=\frac{10}{7-a_n} \qquad a_1=3 \)
Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?
\( a_{n+1}=\sqrt{a_n +6} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \qquad a_1=1 \)
Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?
\( a_{n+1}=4+\sqrt{a_n -2}- \frac{4}{\sqrt{n+4}} \qquad a_1=2 \)
Konvergens-e az alábbi sorozat, ha igen, akkor hova tart?
\( a_{n+1}=1+\frac{12}{a_n} \qquad a_1=3 \)
Megnézzük, mik azok a rekurzív sorozatok, hogyan kell kiszámolni egy rekurzív sorozat határértékét. Monotonitás vizsgálata, korlátosság vizsgálata, teljes indukció, rész-sorozat.
A rekurzív sorozat egy olyan sorozat, amit a korábbi tagjainak segítségével definiálunk. A leghíresebb ilyen sorozat a Fibonacci sorozat, amelynek első tagja 1, a második tagja szintén 1, és minden további tagja pedig az előző két tag összege. A harmadik tagja tehát 1+1=2, a negyedik tagja pedig 1+2=3. A sorozat századik tagját így meglehetősen nehézkes dolog kézzel kiszámolni, hiszen föl kellene írni hozzá az első 99 darab tagot. Íme a sorozat néhány tagja: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
A rekurzív sorozatnak bizonyos értelemben ellenpárja az általánosan, képlettel megadott sorozat fogalma. Az általános képlettel megadott sorozat azt jelenti, hogyha kíváncsiak vagyunk a sorozat valamely tagjára, azt az előző tagok ismerete nélkül is, explicit módon ki tudjuk számolni. Ezzel szemben a rekurzív sorozatoknál ez nem így van.
A rekurzív sorozatok a matematika számos területén felbukkannak. Különösen nagy szerepük van a számítógéptudományban, a kombinatorikában, és a numerikus módszerekben. Utóbbi területen szinte a legtöbb numerikus számítási módszer rekurzióra és rekurzív sorozatokra épül. A rekurzió meglehetősen nehézzé teszi a kézi számolásokat, így például a Fibonacci sorozat századik tagjának kiszámolását, mivel nem ad közvetlen számolási módot az általános tagra. Az informatika számára ugyanakkor azért különösen fontosak a rekurzív sorozatok, mivel az általános tagot számítgató emberrel ellentétben a gépek a rekurzív sorozatokkal boldogulnak jobban.
A numerikus számítási módszerek legnagyobb része úgy működik, hogy egy adott rekurziót olyan sokszor ismétel meg egymás után, ameddigre a kapott eredmény egy előre meghatározott hibahatáron belül esik.
Szerencsére a rekurzív sorozatok határértékének kiszámolására elég jó eszközeink vannak, sőt a lineáris rekurziók esetében képesek vagyunk zárt formulát is adni az általános tagra. Ezzel a lineáris rekurzió témakörben külön foglalkozunk.
