Analízis 1
- Komplex számok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Halmazok, rendezett párok, leképezések
- Függvények
- Az inverzfüggvény
- Sorozatok
- Küszöbindex és monotonitás
- Rekurzív sorozatok
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Paraméteres görbék
- Rémes előzmények
Paraméteres görbék
1. Adjuk meg az Arkhimédészi spirál paraméteres görbe képletét.
Megnézem, hogyan kell megoldani
2. Adjuk meg a ciklois paraméteres görbe képletét.
Megnézem, hogyan kell megoldani
3. Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,\pi]$ intervallumon.
\( x=\cos^3{t} \quad y=\sin^3{t} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
4. Vannak itt ezek a paraméteres görbék. Ábrázoljuk őket koordinátarendszerben és találjuk ki, hogy így melyik függvény grafikonját kaptuk.
a)
\( x(t)=t+3 \qquad t \in [0,+ \infty) \)
\( y(t)=\sqrt{t} \)
b)
\( x(t)=e^t+1 \qquad t \in [0,+ \infty) \)
\( y(t)=e^{2t}-2 \)
c)
\( x(t)=3+\cos{t} \qquad t \in [0,2\pi) \)
\( y(t)=2+\sin{t} \)
d)
\( x(t)=3\cos{t} \qquad t \in [0,2\pi) \)
\( y(t)=2\sin{t} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
5. Adjuk meg az alábbi paraméteres görbék görbületét.
a)
\( x(t)= 6 \cdot \cos{t} \)
\( y(t)=2 \cdot \sin{t} \)
b)
\( x(t)= 4 \cdot \cos{t} \)
\( y(t)=3 \cdot \sin{t} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
6.
a) Adjuk meg az \( y=x^2 \) parabola simulókörét az origóban.
b) Adjuk meg a koszinusz függvény simulókörét az origóban.
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. Adjuk meg az alábbi görbe kísérő triéderét.
\( r(t)=(2\cos{t},2 \sin{t}, t) \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Adjuk meg az alábbi görbe görbületét és torzióját.
\( r(t)=(2\cos{t},2 \sin{t}, t) \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi görbe síkgörbe, adjuk meg a görbe síkjának normálvektorát és számoljuk ki a görbületet.
\( r(t)=(\sin{t}, \cos{t}, \sin{t}) \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
10. Adjuk meg az alábbi paraméteres görbék Descartes-koordinátás egyenleteit, és ábrázoljuk is őket.
a)
\( x(t)=t-2 \qquad t \in [0,+ \infty) \)
\( y(t)=\sqrt{t}+1 \)
b)
\( x(t)=t-1 \qquad t \in [0,+ \infty) \)
\( y(t)=t^2-2 \)
c)
\( x(t)=t+1 \qquad t \in [0,+ \infty) \)
\( y(t)=t^3-1 \)
d)
\( x(t)=1+\cos{t} \qquad t \in [0, 2\pi) \)
\( y(t)=1+\sin{t} \)
e)
\( x(t)=3+\cos{t} \qquad t \in [0, 2\pi) \)
\( y(t)=2+\sin{t} \)
f)
\( x(t)=-2+\cos{t} \qquad t \in [0, \pi) \)
\( y(t)=1+\sin{t} \)
g)
\( x(t)=3+2\cos{t} \qquad t \in [0,2\pi) \)
\( y(t)=1+2\sin{t} \)
h)
\( x(t)=2+3\cos{t} \qquad t \in [0,\pi) \)
\( y(t)=1+2\sin{t} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
11. Adjuk meg az alábbi ellipszisek paraméteres egyenleteit, majd ábrázoljuk is őket.
a) \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \)
b) \( \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 2 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
12. Adjuk meg az alábbi paraméteres görbék Descartes-koordinátás egyenleteit, és ábrázoljuk is őket.
a)
\( x(t)=\cosh{t} \qquad t \in R \)
\( y(t)=\sinh{t} \)
b)
\( x(t)=3\cosh{t} \qquad t \in R \)
\( y(t)=2\sinh{t} \)
c)
\( x(t)=-2\cosh{t} \qquad t \in R \)
\( y(t)=2\sinh{t} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
13. Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,\pi]$ intervallumon.
\( x=R(t-\sin{t}) \quad y=R(1-\cos{t}) \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
14. Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,\pi]$ intervallumon.
\( x=\cos^3{t} \quad y=\sin^3{t} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
15. Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,3]$ intervallumon.
\( x=t^3 \quad y=6t^2 \)
Mik azok a paraméteres görbék? Hogyan néznek ki és mire jók tulajdonképpen? Már mutatjuk is. Itt mindent megtudhatsz a paraméteres görbékről egyszerű példákon keresztül szuper-érthetően. Megnézzük mi az Arkhimédészi spirál, milyen a kör paraméterezése és az is kiderül mire jó ez az egész valójában. Itt gyorsan és szuper-érthetően megtudhatsz mindent a paraméteres görbékről egyszerű példákon keresztül. Megnézzük mi az a ciklois, milyen a kör paraméterezése és az is kiderül mire jó ez az egész valójában. Paraméteres görbék egyenlete, a görbét bejáró pont sebességvektora és a paraméteres görbe ívhossza egyszerű példákon keresztül.
