- Komplex számok
- Polinomok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
- Függvények
- Összetett függvény és inverzfüggvény
- Sorozatok határértéke
- Küszöbindex és monotonitás
- Rekurzív sorozatok
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Taylor polinom és Taylor sor
- L’Hospital szabály
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Paraméteres görbék
Paraméteres görbék
Ciklois egyenlete
A ciklois egyenlete:
\( x=R \left( - \sin{u} + u \right) \qquad y=R \left( -\cos{u} +1 \right) \)
\( u =\frac{4}{R} t \)
Görbe ívhossza
A görbe ívhossza a $t_0$ és $t_1$ időpillanatokhoz tartozó pontok között:
\( L = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{ (x'(t))^2 + ( y'(t) )^2} \; dt \)
Paraméteres görbe egyenlete és deriváltja
A paraméteres görbe egyenlete a görbén mozgó pont pillanatnyi koordinátáit írja le.
\( x=x(t) \qquad y=y(t) \)
A paraméteres görbe deriválásával kapjuk a $v(t)$ sebességvektort, ami minden időpillanatban megadja a görbén mozgó $P$ pont sebességének irányát és nagyságát:
\( v(t)= \left( x'(t), y'(t) \right) \qquad \mid v(t) \mid = \sqrt{ ( x'(t) )^2 + ( y'(t) )^2 } \)
Görbe binormálisvektora
Binormálisvektornak nevezzük a görbe sebességvektorával és gyorsulásvektorával alkotott szorzatot:
\( \underline{B}(t) = \underline{T}(t) \times \underline{N}(t) \)
Görbe érintővektora
Az $r(t)$ paraméteres görbe első deriváltja a görbe érintővektora vagy más néven sebességvektora.
Hogyha ezt elosztjuk a saját hosszával, akkor egy egységnyi hosszú vektort kapunk, amit $\underline{T}$-vel jelölünk.
\( \underline{T} = \frac{ r'(t)}{ \mid r'(t) \mid } \)
Görbe főnormálisvektora
Az $r(t)$ paraméteres görbe második deriváltja a görbe gyorsulásvektora. Ha ezt elosztjuk a saját hosszával:
\( \underline{N}(t) = \frac{ r''(t) }{ \mid r''(t) \mid } \)
Az így keletkező egységnyi hosszú vektor a görbe főnormálisvektora.
Kísérő triéder
A $\underline{T}(t)$, $\underline{N}(t)$ és $\underline{B}(t)$ vektorok együttes elnevezése kísérő triéder.
Simulósík
Az $r(t)$ paraméteres görbe második deriváltja a gyorsulást írja le. Ezek a vektorok egy síkot feszítenek ki, ezt a síkot a görbe simulósíkjának nevezzük. A simulósík normálvektora éppen $r'(t) \times r''(t)$.
Torzió
A görbület azt írja le, hogy a simulósíkon belül milyen erősen kanyarodik a görbe. A térgörbék azonban nem csak a simulósíkon belül kanyarodnak, hanem közben ki is csavarodnak abból. Azt, hogy egy térgörbe éppen milyen ütemben csavarodik ki a simulósíkjából, a torzió írja le.
Hogyha egy görbe minden pontjában nulla a torzió, az annak a jele, hogy ez a görbe egy síkgörbe. Egy görbe akkor tud kilépni a simulósíkjából, ha a torzió legalább egy pontban nem nulla. Vagyis olyankor, ha a görbe elmozdul a binormális vektor irányában is. A torzió kiszámításához szükségünk van a görbe harmadik deriváltjára:
\( \tau = \frac{ \left( r'(t) \times r''(t) \right) \cdot r'''(t) }{ \mid r'(t) \times r''(t) \mid^2 } = \frac{ \det{ \begin{bmatrix} x'(t) & y'(t) & z'(t) \\ x''(t) & y''(t) & z''(t) \\ x'''(t) & y'''(t) & z'''(t) \end{bmatrix} }}{ \mathrel{\Bigg|} \det{ \begin{bmatrix} \underline{i} & \underline{j} & \underline{k} \\ x'(t) & y'(t) & z'(t) \\ x''(t) & y''(t) & z''(t) \end{bmatrix} } \mathrel{\Bigg|}^2 } \)
Görbület
Az $r(t)=( x(t), y(t) )$ paraméteres görbe görbülete:
\( \kappa = \frac{ \mid r'(t) \times r''(t) \mid }{ \mid r'(t) \mid^3} = \frac{ \mid x'(t) \cdot y''(t) - y'(t) \cdot x''(t) \mid}{ \sqrt{ (x'(t))^2 + (y'(t))^2}^3} \)
Paraméteres görbék evolutája
A simulókörök középpontjai által kirajzolt alakzatot evolutának hívjuk.
Simulókör
Hogyha a görbének egy $P$ pontjában létezik nem nulla görbülete, akkor azt a kört, amel a $P$-ben érinti a görbét és a görbülete megegyezik a görbe $P$-beli görbületével és a középpontja a görbe konkáv részében található, a görbe $P$ pontbeli simulókörének nevezzük.
A simulókör sugarát a görög ró betűvel jelöljük, és
\( \rho = \frac{1}{\kappa} \)
Ellipszis egyenlete
Ha az ellipszis fél-nagytengelyének hossza $a$, fél-kistengelyének hossza $b$, akkor egyenlete:
\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
Hiperbola egyenlete
Ha a hiperbola fél-nagytengelyének hossza $a$, fél-kistengelyének hossza $b$, akkor egyenlete:
\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,\pi]$ intervallumon.
\( x=\cos^3{t} \quad y=\sin^3{t} \)
Vannak itt ezek a paraméteres görbék. Ábrázoljuk őket koordinátarendszerben és találjuk ki, hogy így melyik függvény grafikonját kaptuk.
a)
\( x(t)=t+3 \qquad t \in [0,+ \infty) \)
\( y(t)=\sqrt{t} \)
b)
\( x(t)=e^t+1 \qquad t \in [0,+ \infty) \)
\( y(t)=e^{2t}-2 \)
c)
\( x(t)=3+\cos{t} \qquad t \in [0,2\pi) \)
\( y(t)=2+\sin{t} \)
d)
\( x(t)=3\cos{t} \qquad t \in [0,2\pi) \)
\( y(t)=2\sin{t} \)
Adjuk meg az alábbi paraméteres görbék görbületét.
a)
\( x(t)= 6 \cdot \cos{t} \)
\( y(t)=2 \cdot \sin{t} \)
b)
\( x(t)= 4 \cdot \cos{t} \)
\( y(t)=3 \cdot \sin{t} \)
a) Adjuk meg az \( y=x^2 \) parabola simulókörét az origóban.
b) Adjuk meg a koszinusz függvény simulókörét az origóban.
Adjuk meg az alábbi görbe kísérő triéderét.
\( r(t)=(2\cos{t},2 \sin{t}, t) \)
Adjuk meg az alábbi görbe görbületét és torzióját.
\( r(t)=(2\cos{t},2 \sin{t}, t) \)
Bizonyítsuk be, hogy az alábbi görbe síkgörbe, adjuk meg a görbe síkjának normálvektorát és számoljuk ki a görbületet.
\( r(t)=(\sin{t}, \cos{t}, \sin{t}) \)
Adjuk meg az alábbi paraméteres görbék Descartes-koordinátás egyenleteit, és ábrázoljuk is őket.
a)
\( x(t)=t-2 \qquad t \in [0,+ \infty) \)
\( y(t)=\sqrt{t}+1 \)
b)
\( x(t)=t-1 \qquad t \in [0,+ \infty) \)
\( y(t)=t^2-2 \)
c)
\( x(t)=t+1 \qquad t \in [0,+ \infty) \)
\( y(t)=t^3-1 \)
d)
\( x(t)=1+\cos{t} \qquad t \in [0, 2\pi) \)
\( y(t)=1+\sin{t} \)
e)
\( x(t)=3+\cos{t} \qquad t \in [0, 2\pi) \)
\( y(t)=2+\sin{t} \)
f)
\( x(t)=-2+\cos{t} \qquad t \in [0, \pi) \)
\( y(t)=1+\sin{t} \)
g)
\( x(t)=3+2\cos{t} \qquad t \in [0,2\pi) \)
\( y(t)=1+2\sin{t} \)
h)
\( x(t)=2+3\cos{t} \qquad t \in [0,\pi) \)
\( y(t)=1+2\sin{t} \)
Adjuk meg az alábbi ellipszisek paraméteres egyenleteit, majd ábrázoljuk is őket.
a) \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \)
b) \( \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 2 \)
Adjuk meg az alábbi paraméteres görbék Descartes-koordinátás egyenleteit, és ábrázoljuk is őket.
a)
\( x(t)=\cosh{t} \qquad t \in R \)
\( y(t)=\sinh{t} \)
b)
\( x(t)=3\cosh{t} \qquad t \in R \)
\( y(t)=2\sinh{t} \)
c)
\( x(t)=-2\cosh{t} \qquad t \in R \)
\( y(t)=2\sinh{t} \)
Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,\pi]$ intervallumon.
\( x=R(t-\sin{t}) \quad y=R(1-\cos{t}) \)
Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,\pi]$ intervallumon.
\( x=\cos^3{t} \quad y=\sin^3{t} \)
Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,3]$ intervallumon.
\( x=t^3 \quad y=6t^2 \)
Mik azok a paraméteres görbék? Hogyan néznek ki és mire jók tulajdonképpen? Már mutatjuk is. Itt mindent megtudhatsz a paraméteres görbékről egyszerű példákon keresztül szuper-érthetően. Megnézzük mi az Arkhimédészi spirál, milyen a kör paraméterezése és az is kiderül mire jó ez az egész valójában. Itt gyorsan és szuper-érthetően megtudhatsz mindent a paraméteres görbékről egyszerű példákon keresztül. Megnézzük mi az a ciklois, milyen a kör paraméterezése és az is kiderül mire jó ez az egész valójában. Paraméteres görbék egyenlete, a görbét bejáró pont sebességvektora és a paraméteres görbe ívhossza egyszerű példákon keresztül.
