Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Analízis 1

Kategóriák
  • Komplex számok
  • Polinomok
  • Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
  • Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
  • Függvények
  • Összetett függvény és inverzfüggvény
  • Sorozatok határértéke
  • Küszöbindex és monotonitás
  • Rekurzív sorozatok
  • Sorok
  • Függvények határértéke és folytonossága
  • A határérték precíz definíciója
  • Deriválás
  • Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
  • Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
  • Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
  • Taylor polinom és Taylor sor
  • L’Hospital szabály
  • Határozatlan integrálás, primitív függvény
  • Határozott integrálás
  • Kétváltozós függvények
  • Paraméteres görbék

Paraméteres görbék

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Mik azok a paraméteres görbék?
02
 
Újabb paraméteres görbék: a ciklois
03
 
Paraméteres görbék deriváltja, a sebességvektor és a görbe ívhossza
04
 
Paraméteres görbék a koordinátarendszerben, ellipszis, hiperbola
05
 
A görbület
06
 
Simulókör, paraméteres görbék evolutája
07
 
Főnormálisvektor, simulósík, kísérő triéder
08
 
A torzió
09
 
Torzió, görbület, simulósík
10
 
FELADAT | Paraméteres görbék
11
 
FELADAT | Paraméteres görbék
12
 
FELADAT | Paraméteres görbék
13
 
FELADAT | A ciklois sebességvektora és ívhossza
14
 
FELADAT | Az asztrois sebességvektora és ívhossza
15
 
FELADAT | Paraméteres görbe sebességvektora és ívhossza

Ciklois egyenlete

A ciklois egyenlete:

\( x=R \left( - \sin{u} + u \right) \qquad y=R \left( -\cos{u} +1 \right) \)

\( u =\frac{4}{R} t \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Görbe ívhossza

A görbe ívhossza a $t_0$ és $t_1$ időpillanatokhoz tartozó pontok között:

\( L = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{ (x'(t))^2 + ( y'(t) )^2} \; dt \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Paraméteres görbe egyenlete és deriváltja

A paraméteres görbe egyenlete a görbén mozgó pont pillanatnyi koordinátáit írja le.

\( x=x(t) \qquad y=y(t) \)

A paraméteres görbe deriválásával kapjuk a $v(t)$ sebességvektort, ami minden időpillanatban megadja a görbén mozgó $P$ pont sebességének irányát és nagyságát:

\( v(t)= \left( x'(t), y'(t) \right) \qquad \mid v(t) \mid = \sqrt{ ( x'(t) )^2 + ( y'(t) )^2 } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Görbe binormálisvektora

Binormálisvektornak nevezzük a görbe sebességvektorával és gyorsulásvektorával alkotott szorzatot:

\( \underline{B}(t) = \underline{T}(t) \times \underline{N}(t) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Görbe érintővektora

Az $r(t)$ paraméteres görbe első deriváltja a görbe érintővektora vagy más néven sebességvektora.

Hogyha ezt elosztjuk a saját hosszával, akkor egy egységnyi hosszú vektort kapunk, amit $\underline{T}$-vel jelölünk.

\( \underline{T} = \frac{ r'(t)}{ \mid r'(t) \mid } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Görbe főnormálisvektora

Az $r(t)$ paraméteres görbe második deriváltja a görbe gyorsulásvektora. Ha ezt elosztjuk a saját hosszával:

\( \underline{N}(t) = \frac{ r''(t) }{ \mid r''(t) \mid } \)

Az így keletkező egységnyi hosszú vektor a görbe főnormálisvektora.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Kísérő triéder

A $\underline{T}(t)$, $\underline{N}(t)$ és $\underline{B}(t)$ vektorok együttes elnevezése kísérő triéder.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Simulósík

Az $r(t)$ paraméteres görbe második deriváltja a gyorsulást írja le. Ezek a vektorok egy síkot feszítenek ki, ezt a síkot a görbe simulósíkjának nevezzük. A simulósík normálvektora éppen $r'(t) \times r''(t)$.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Torzió

A görbület azt írja le, hogy a simulósíkon belül milyen erősen kanyarodik a görbe. A térgörbék azonban nem csak a simulósíkon belül kanyarodnak, hanem közben ki is csavarodnak abból. Azt, hogy egy térgörbe éppen milyen ütemben csavarodik ki a simulósíkjából, a torzió írja le.

Hogyha egy görbe minden pontjában nulla a torzió, az annak a jele, hogy ez a görbe egy síkgörbe. Egy görbe akkor tud kilépni a simulósíkjából, ha a torzió legalább egy pontban nem nulla. Vagyis olyankor, ha a görbe elmozdul a binormális vektor irányában is. A torzió kiszámításához szükségünk van a görbe harmadik deriváltjára:

\( \tau = \frac{ \left( r'(t) \times r''(t) \right) \cdot r'''(t) }{ \mid r'(t) \times r''(t) \mid^2 } = \frac{  \det{ \begin{bmatrix} x'(t) & y'(t) & z'(t) \\  x''(t) & y''(t) & z''(t) \\ x'''(t) & y'''(t) & z'''(t) \end{bmatrix} }}{ \mathrel{\Bigg|} \det{ \begin{bmatrix} \underline{i} & \underline{j} & \underline{k} \\ x'(t) & y'(t) & z'(t) \\  x''(t) & y''(t) & z''(t) \end{bmatrix} } \mathrel{\Bigg|}^2 } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Görbület

Az $r(t)=( x(t), y(t) )$ paraméteres görbe görbülete:

\( \kappa = \frac{ \mid r'(t) \times r''(t) \mid }{ \mid r'(t) \mid^3} = \frac{ \mid x'(t) \cdot y''(t) - y'(t) \cdot x''(t) \mid}{ \sqrt{ (x'(t))^2 + (y'(t))^2}^3} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Paraméteres görbék evolutája

A simulókörök középpontjai által kirajzolt alakzatot evolutának hívjuk.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Simulókör

Hogyha a görbének egy $P$ pontjában létezik nem nulla görbülete, akkor azt a kört, amel a $P$-ben érinti a görbét és a görbülete megegyezik a görbe $P$-beli görbületével és a középpontja a görbe konkáv részében található, a görbe $P$ pontbeli simulókörének nevezzük.

A simulókör sugarát a görög ró betűvel jelöljük, és

\( \rho = \frac{1}{\kappa} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Ellipszis egyenlete

Ha az ellipszis fél-nagytengelyének hossza $a$, fél-kistengelyének hossza $b$, akkor egyenlete:

\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hiperbola egyenlete

Ha a hiperbola fél-nagytengelyének hossza $a$, fél-kistengelyének hossza $b$, akkor egyenlete:

\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Adjuk meg az Arkhimédészi spirál paraméteres görbe képletét.

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Adjuk meg a ciklois paraméteres görbe képletét.

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,\pi]$ intervallumon.

\( x=\cos^3{t} \quad y=\sin^3{t} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Vannak itt ezek a paraméteres görbék. Ábrázoljuk őket koordinátarendszerben és találjuk ki, hogy így melyik függvény grafikonját kaptuk.

a)

\( x(t)=t+3 \qquad t \in [0,+ \infty) \)

\( y(t)=\sqrt{t} \)

b)

\( x(t)=e^t+1 \qquad t \in [0,+ \infty) \)

\( y(t)=e^{2t}-2 \)

c)

\( x(t)=3+\cos{t} \qquad t \in [0,2\pi) \)

\( y(t)=2+\sin{t} \)

d)

\( x(t)=3\cos{t} \qquad t \in [0,2\pi) \)

\( y(t)=2\sin{t} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Adjuk meg az alábbi paraméteres görbék görbületét.

a)

\( x(t)= 6 \cdot \cos{t} \)

 \( y(t)=2 \cdot \sin{t} \)

b)

\( x(t)= 4 \cdot \cos{t} \)

 \( y(t)=3 \cdot \sin{t} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

a) Adjuk meg az \( y=x^2 \) parabola simulókörét az origóban.

b) Adjuk meg a koszinusz függvény simulókörét az origóban.

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Adjuk meg az alábbi görbe kísérő triéderét.

\( r(t)=(2\cos{t},2 \sin{t}, t) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Adjuk meg az alábbi görbe görbületét és torzióját.

\( r(t)=(2\cos{t},2 \sin{t}, t) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Bizonyítsuk be, hogy az alábbi görbe síkgörbe, adjuk meg a görbe síkjának normálvektorát és számoljuk ki a görbületet.

\( r(t)=(\sin{t}, \cos{t}, \sin{t}) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Adjuk meg az alábbi paraméteres görbék Descartes-koordinátás egyenleteit, és ábrázoljuk is őket.

a)

\( x(t)=t-2 \qquad t \in [0,+ \infty) \)

\( y(t)=\sqrt{t}+1 \)

b)

\( x(t)=t-1 \qquad t \in [0,+ \infty) \)

\( y(t)=t^2-2 \)

c)

\( x(t)=t+1 \qquad t \in [0,+ \infty) \)

\( y(t)=t^3-1 \)

d)

\( x(t)=1+\cos{t} \qquad t \in [0, 2\pi) \)

\( y(t)=1+\sin{t} \)

e)

\( x(t)=3+\cos{t} \qquad t \in [0, 2\pi) \)

\( y(t)=2+\sin{t} \)

f)

\( x(t)=-2+\cos{t} \qquad t \in [0, \pi) \)

\( y(t)=1+\sin{t} \)

g)

\( x(t)=3+2\cos{t} \qquad t \in [0,2\pi) \)

\( y(t)=1+2\sin{t} \)

h)

\( x(t)=2+3\cos{t} \qquad t \in [0,\pi) \)

\( y(t)=1+2\sin{t} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Adjuk meg az alábbi ellipszisek paraméteres egyenleteit, majd ábrázoljuk is őket.

a) \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \)

b) \( \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Adjuk meg az alábbi paraméteres görbék Descartes-koordinátás egyenleteit, és ábrázoljuk is őket.

a)

\( x(t)=\cosh{t} \qquad t \in R \)

\( y(t)=\sinh{t} \)

b)

\( x(t)=3\cosh{t} \qquad t \in R \)

\( y(t)=2\sinh{t} \)

c)

\( x(t)=-2\cosh{t} \qquad t \in R \)

\( y(t)=2\sinh{t} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,\pi]$ intervallumon.

\( x=R(t-\sin{t}) \quad y=R(1-\cos{t}) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,\pi]$ intervallumon.

\( x=\cos^3{t} \quad y=\sin^3{t} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,3]$ intervallumon.

\( x=t^3 \quad y=6t^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Mik azok a paraméteres görbék? Hogyan néznek ki és mire jók tulajdonképpen? Már mutatjuk is. Itt mindent megtudhatsz a paraméteres görbékről egyszerű példákon keresztül szuper-érthetően. Megnézzük mi az Arkhimédészi spirál, milyen a kör paraméterezése és az is kiderül mire jó ez az egész valójában. Itt gyorsan és szuper-érthetően megtudhatsz mindent a paraméteres görbékről egyszerű példákon keresztül. Megnézzük mi az a ciklois, milyen a kör paraméterezése és az is kiderül mire jó ez az egész valójában. Paraméteres görbék egyenlete, a görbét bejáró pont sebességvektora és a paraméteres görbe ívhossza egyszerű példákon keresztül.



Mik azok a paraméteres görbék?

Újabb paraméteres görbék: a ciklois

Paraméteres görbék deriváltja, a sebességvektor és a görbe ívhossza

FELADAT | Paraméteres görbe sebességvektora és ívhossza

FELADAT | A ciklois sebességvektora és ívhossza

FELADAT | Az asztrois sebességvektora és ívhossza

Paraméteres görbék a koordinátarendszerben, ellipszis, hiperbola

Torzió, görbület, simulósík

FELADAT | Paraméteres görbék

FELADAT | Paraméteres görbék

FELADAT | Paraméteres görbék

A görbület

Simulókör, paraméteres görbék evolutája

Főnormálisvektor, simulósík, kísérő triéder

A torzió

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim