Azokat a végtelen sorokat, amelyek így néznek ki, hatványsornak nevezzük:

Itt van például egy hatványsor.

És derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.

A hatványsoroknál általában a gyök kritérium szokott beválni.

Ha akkor

és itt úgy viselkedik, mint egy konstans, vagyis sajátmagához tart.

A sor akkor konvergens, ha ez kisebb, mint 1.

A sárgával jelölt tartományban helyezkednek el azok az x-ek amelyekre a sor konvergens.

Ezt hívjuk konvergencia-tartománynak.

Az pedig a konvergencia-sugár.

A kérdés, hogy vajon konvergens-e a sor a konvergencia-tartomány végpontjaiban?

Nos, ezt mindig még külön meg kell vizsgálni.

A jelek szerint ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens.

Most lássuk a másik végpontot.

Nos, itt a sor divergens.

-t a hatványsor középpontjának nevezzük.

-ban a hatványsor mindig abszolút konvergens.

Az pont sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.

A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.

Lássuk mi a helyzet ezzel:

Megint gyök kritérium:

És most jöhetnek a végpontok.

Az ebben a végpontban kapott sor konvergens, sőt abszolút konvergens.

A másik végpontban szintén.

Itt jön aztán egy olyan hatványsor, amire nem lesz jó a gyök kritérium.

Az miatt itt a hányados kritérium lesz a nyerő.

Írhatunk x helyére bármilyen számot, ez mindig teljesülni fog.

A jelek szerint tehát a sor miden x-re konvergens.