HELYETTESÍTÉSES INTEGRÁLÁS

A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést u-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.

Nézzünk erre egy példát!

Az ilyen esetekben mindig az egész gyökös kifejezést érdemes elnevezni u-nak.

HASZNOS HELYETTESÍTÉSEK

Eddig jó, most pedig kifejezzük x-et.

Amit aztán feltehetően majd be fogunk helyettesíteni ide.

De sajna van itt még egy dolog.

Nos az, hogy a dx-et is le kell cserélni, mégpedig a következőképpen.

A kifejezett x-et deriváljuk u szerint.

Akit esetleg meglep amit lát, nos mindent meg tudok magyarázni.

A dolog úgy áll, hogy réges-régen az emberek még nem a jól ismert f’ jelölést használták a deriválásra, hanem azt, hogy

Vannak akik még ma is ezt használják.

Később aztán egyszerűsítették a jelöléseket, de valamilyen rejtélyes okból itt a

helyettesítéses integrálásnál mégis megmaradt az ősi módszer.

Szóval törődjünk bele, hogy a kifejezett x-nek a deriváltja nem a szokásos

hanem

Remélhetőleg azért senkinek nem lesznek álmatlan éjszakái emiatt.

Most pedig jön a helyettesítés.

Nos ez megvolna.

Nézzünk meg még egy ilyet.

A helyettesítéses integrálást érdemes használni akkor is, ha ronda összetett függvényekkel van dolgunk.

Ilyenkor általában a belső függvényt nevezzük el u-nak.

Most pedig parciálisan integrálunk.

Lássunk még egy ilyet.

Ebből ki kell fejeznünk x-et

egy kis trükk segítségével.

Van egy ilyen, hogy

úgyhogy ezzel megvolnánk.

Már csak deriválni kell u szerint.

És jöhet a helyettesítés.

Most pedig integrálunk. A nevező deriváltja

éppen a számláló.

Vannak aztán ezeknél izgalmasabb helyettesítések is.

Már jönnek is a következő képsorban. Persze csak azoknak akik kedvelik az izgalmakat.

A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést u-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.

Eddig voltak a könnyebb helyettesítéses integrálások most pedig jöhetnek a nehezebbek. Kezdjük például a gyökös esetekkel.

Ha a gyök alatti kifejezés lineáris, az a kellemesebb ügy, ilyenkor mindig az egész gyökös kifejezést érdemes helyettesíteni.

Ha viszont a gyök alatti kifejezés nem lineáris, nos akkor egészen más a helyzet.

Ilyenkor nem is mindig helyettesítéssel érdemes próbálkozni.

Gyanakvásra ad okot, hogy a gyök alatti 1 – x4 deriváltja majdnem a számláló.

Így aztán nem helyettesítünk, hanem

az S2 névre keresztelt módszert használjuk.

De ha bosszantó módon a számlálóban nem x3 van hanem x2,

akkor az előző módszer nem működik.

Így hát elkeseredésünkben a helyettesítéses integrálást választjuk.

Íme a menü.

Most éppen erre lesz szükség.

Lássuk mi lesz ebből.

Most jön az, hogy deriváljuk x-et.

Először a külső függvényt deriváljuk,

aztán a belsőt.

Hát ez eddig nem tűnik túl bíztatónak. De nézzük a helyettesítést.

És most jön a lényeg.

Az egész helyettesítést azért csináljuk, mert

és így megszabadulunk a gyökjeltől.

Az már csak külön mázli, hogy egyszerűsíteni is tudunk.

Végül pedig kiderül, hogy ez életünk legkönnyebb integrálása.

Már csak annyi dolgunk van, hogy u helyére visszaírjuk, hogy mit is neveztünk u-nak.

Tényleg mit is neveztünk u-nak?

Most pedig mindkét oldalnak vesszük az arkusz szinuszát.

Ez a szinusz inverze, és így

Nézzünk meg még egy izgalmas esetet.

Most jön az, hogy megszabadulunk a gyökjeltől.

És most pedig jó lenne integrálni egyet.

Ehhez egy kis trükkre van szükség.

Már megint

Aztán pedig darabolunk (T1)

Végül u helyére visszaírjuk, hogy mit is neveztünk u-nak.

A következő történet a trigonometrikus függvények helyettesítéséről fog szólni.

Nézzünk meg egy gyökös esetet is ebben a j(t) belső függvényes verzióban.

Ilyenkor a nevezőben lévő gyökös kifejezést érdemes elnevezni t-nek,

tehát így és .

Ez utóbb lesz a j(t) függvény,

vagyis és .

A helyettesítést elvégezve feladatunk a következőképpen alakul:

Itt még t helyére vissza kell helyettesíteni és kész is.