Analízis 1 képsor tartalma:

Mik azok az implicit függvények, Explicit és implicit módon megadott függvények deriválása, Az implicit deriválás, Az implicit függvények deriválásának képlete.

A képsor tartalma

IMPLICIT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSI SZABÁLYA

Az  egy explicit függvény, deriváltja annak rendje és módja szerint

Egy függvény akkor implicit, ha y nincs kifejezve, vagyis nem y=… alakú.

Implicit függvényt kapunk, ha  a függvényt elrontjuk, mondjuk így:

sőt még gyököt is vonunk

Na ez egy implicit függvény.

Ha most az így kapott implicit függvényt deriválnunk kéne, ezt úgy tehetjük meg, hogy az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk és y-t egy függvénynek tekintjük*.

mellesleg az is, hiszen .

Nos a jobb oldalon álló x deriváltja egészen biztosan 1.

A bal oldal már jóval izgalmasabb. Itt egy összetett függvény áll:

És szorozni kell még a belső függvény deriváltjával is.

Nekünk ebből -re vagyis az implicit módon megadott  függvény deriváltjára van szükségünk.

Próbáljuk meg kifejezni -t

Nos íme itt van.

Mivel pedig , ha ezt beírjuk y helyére…

Ez pedig éppen megegyezik az explicit deriválttal.

Fölmerül a kérdés, hogy miért fáradoztunk ezzel ennyit, ha végül ugyanazt kaptuk, csak sokkal bonyolultabban.

Nos a válasz az, hogy vannak sajnos olyan függvények, amelyeknek nincs explicit alakjuk.

Ennek a függvénynek van explicit alakja, ezért itt az implicit deriválással fölöslegesen fáradoztunk.

De itt van például ez.

Ebben y sehogy sem fejezhető ki, ezért kénytelenek vagyunk implicit módon deriválni.

Vagyis mindkét oldalt deriváljuk, de ne felejtsük el, hogy itt y egy függvény.

Tehát például  egy összetett függvény.

Az összetett függvény deriválási szabálya szerint:

Külső függvény deriváltja,

szorozva a belső függvény deriváltjával.

Lássuk tehát az implicit deriválást.

Az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk:

Nekünk y deriváltjára van szükségünk, ezért az egyik oldalon összegyűjtjük az összes -t, a többieket átküldjük a másik oldalra:

Aztán kiemeljük -t.

   és végül leosztunk: 

Nos ez volna az implicit módon megadott függvényünk deriváltja.

Most pedig lássuk az implicit függvények deriválási szabályát.

A módszer lényege, hogy megkönnyítse életünket.

Azt mondja, hogy ha  egy implicit függvény, akkor deriváltja:

Nos eddig nincsen ebben semmi bíztató, de lássuk hogyan működik ez a gyakorlatban.

Itt volna az implicit függvény:

amit nullára kell rendezni,

és elkeresztelni F-nek.

Mielőtt végzetes tévedések áldozatául esnénk, tisztázzuk, hogy itt  nem kétváltozós függvény, hanem implicit függvény.

Az  és az  közötti különbség ugyanis óriási.

Lássuk mi is a különbség!

 tényleg kétváltozós függvény, x és y szabadon megadható, ám

 nem kétváltozós, mert próbáljuk csak meg x helyére 0-t és y helyére a 1-et beírni.

Az jön ki, hogy 2=0 ami nem igaz, vagyis itt x és y közül csak az egyik adható meg szabadon, a másik nem. Na ezért lesz ez a függvény egyváltozós.

Most, hogy mindezt tisztáztuk, lássuk mit mond a képlet.

Az implicit deriválás képlete szerint ezt a függvényt kell deriválni a szokásos parciális deriválással x és y szerint.

És íme, itt az implicit derivált.

Pontosan ugyanaz jött ki, mint korábban,

csak most így sokkal egyszerűbben.

Erre jó az implicit deriválási szabály.

A szabály több változó esetén is működik.

Ha  egy egyváltozós implicit függvény, akkor deriváltja:

Ha  egy n változós implicit függvény, akkor az , mint implicit függvény deriváltja az  változó szerint:

Nézzünk erre egy példát!

Ez egy kétváltozós implicit függvény.

Ugyan három betű van benne, x, y és z, de közülük csak kettő adható meg szabadon az egyenlőség miatt.

A kétváltozós függvényekben x és y szokott lenni a változó, tehát felfoghatjuk ezt a függvényt úgy, hogy

Z=valami x és y

Deriváljuk akkor most x és y szerint:

 

Az implicit függvény deriválása

07
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Mik azok az implicit függvények, Explicit és implicit módon megadott függvények deriválása, Az implicit deriválás, Az implicit függvények deriválásának képlete.

Végül is miért ne néznél meg
még egy képsort?

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!