Itt jön egy újabb konvergencia kritérium. Ezt a kritériumot kimondottan olyan sorokra érdemes használni, mint amilyen ez:

A számláló és a nevező is egy polinom.

azokban az esetekben az összehasonlító kritériumot érdemes használni.

Éppen itt is jön:

Ha és nem negatív tagú sorok, és egy bizonyos tagtól akkor

konvergens is konvergens

divergens is divergens

Ezen kívül azt is érdemes tudni, hogy a

típusú sor konvergens, ha és divergens, ha .

Most, hogy mindezt megtudtuk, lássuk konvergens-e ez a sor.

Feltehetően igen.

De lássuk az összehasonlító kritériumot.

Úgy tudjuk igazolni, hogy a sor konvergens, ha felülről becsüljük egy másik konvergens sorral.

Úgy kell felülről becsülni, hogy a számlálót növeljük, a nevezőt pedig csökkentjük.

De nem bízzuk a dolgot a véletlenre.

A számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.

A számlálót úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.

A nevezőt meg úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.

Az eredeti sort felülről becsültük egy olyan sorral, ami konvergens, ezért az eredeti sor is konvergens.

Nézzünk meg egy másikat is.

Konvergens-e a következő sor?

Nos megint az összehasonlító kritériumot hívjuk segítségül.

A hangok azt mondják, hogy ezúttal a sor divergens lesz.

Így most alulról kell becsülni… ráadásul szintén divergenssel.

Nagyon nem is kell megerőltetnünk a fantáziánkat.

Nos ez divergens, tehát az eredeti sor is divergens.

Végül lássunk egy bonyolultabbat.

Így aztán megint alulról kell becsülni:

A számlálót csökkentjük,

a nevezőt pedig növeljük.

SZÜKSÉGES FELTÉTEL

Ha akkor divergens.

LEIBNIZ-SOROK

A sor mindig konvergens, ha

de nem mindig abszolút konvergens.

GYÖK KRITÉRIUM

Ha akkor abszolút konvergens

Ha akkor divergens

Ha akkor nem tudni mi van

HÁNYADOS KRITÉRIUM

Ha akkor absz. konvergens

Ha akkor divergens

Ha akkor nem tudni mi van

A mértani soroknál már nagy sikereket értünk el a sorösszeg meghatározásában. Itt az idő, hogy egy újabb speciális sor, az úgynevezett teleszkopikus sor összegét is kiszámoljuk.