- Trigonometria
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Kombinatorika
- Gráfok
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Számelmélet, számrendszerek
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- A geometriai valószínűség
- A várható érték
- Vektorok
- Koordinátageometria
- A parabola (emelt szint)
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Függvények ábrázolása
- Feladatok függvényekkel
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számtani és mértani sorozatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Szinusztétel és koszinusztétel
Szinusztétel
Bármely háromszögben az oldalak aránya megegyezik a velük szemközti szögek szinuszának arányával. De ne ezt jegyezzük meg. A szinusztétel ennél sokkal többet is tud. Mégpedig ezt, ahol R a háromszög köré írható körének a sugara:
\( 2R = \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}} \)
Koszinusztétel
A Koszinusz tétel minden háromszögben felírható:
\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\gamma} \)
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy háromszögben \( a=12 \), \( \alpha = 30° \), \( \beta = 40° \). Mekkorák a háromszög oldalai és a körülírt kör sugara?
b) Egy másik háromszögben \( a=12 \), \( b=13 \) és \( \alpha = 50° \). Mekkora a \( c \) oldal?
c) Egy harmadik háromszögben \( a=8 \), \( b=13 \) és \( \beta= 60° \). Mekkora a \( c \) oldal?
d) És végül egy negyedik háromszögben \( a=12 \), \( b=13 \), \( c= 8 \) és \( \gamma = 37° \). Mekkorák a háromszög szögei?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Az \( ABC \) háromszögben \( BC=14 \), \( AC=12 \), és az \( ACB \) szög 60°-os. Mekkorák az \( AB \) oldal és a háromszög területe?
b) Egy háromszög egyik oldala 5 cm, a szemben levő szög 60°. A másik két oldal összege 8 cm. Mekkora a másik két oldal és a háromszög területe?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Az \( ABC \) háromszögben \( BC=16 \), \( AC=12 \), és az \( ACB \) szög 60°-os. Mekkora az \( AB \) oldal és a háromszög területe?
b) Egy másik háromszögben \( a=16 \), \( \alpha = 30° \), \( \beta = 40° \). Mekkorák a háromszög oldalai és a háromszög területe?
c) És itt jön végül ez a harmadik háromszög, amiben a három oldal \( a=10 \), \( b=12 \) és \( c=16 \). Mekkorák a háromszög szögei és a háromszög területe?
Egy háromszög egyik oldala 6 cm, a másik két oldal különbsége 4 cm, és a 6 cm-es oldallal szemközti szög 75°-os. Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai és szögei?
Az \( ABC \) hegyesszögű háromszögben legyen az \( AB \) oldal felezőpontja \( C_1 \). Az \( AB \) oldal hossza 36, a \( CC_1 \) szakaszé 24, továbbá a \( C_1CB \) szög 40°-os
a) Mekkora a háromszög \( B \) csúcsnál lévő belső szög?
b) Mekkora a \( BC \) oldal hossza?
c) Mekkora a háromszög területe?
Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú. Az ezzel az oldallal szemközti szög 28,96°. A másik két oldal négyzetének összege 625 \( cm^2 \). Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai és szögei?
a) Egy háromszög három oldala $a=5$, $b=6$ és $c=10$.
Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?
b) Egy háromszög három oldala $a=6$, $b=8$ és $c=12$.
Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?
Egy háromszög szögei: ABC szög 50°-os, BCA szög 60°-os, CAB szög 70°-os, és BC=5.
a) Mekkora a háromszög területe?
b) Mekkora a köré írható kör sugara?
Egy toronyantennához 230 m egyenes út vezet, melynek emelkedése 21°. Az út elejéről az út síkjához képest az antenna csúcsa 39° szögben látszik. Milyen magas az antenna?
Egy hegymászó a hegyoldal valamely pontjából a tőle 1657 m távolságban levő hegycsúcsot 23° emelkedési szögben s ugyanennek a hegycsúcsnak a tükörképét az alatta elterülő tó tükrében 49°-os depressziószög alatt látja. Milyen magasan van a hegymászó, s milyen magasan van a hegycsúcs a tenger színe felett, ha a tó felszíne 608 m-nyire van a tenger színe felett?
Az \( ABC \) hegyesszögű háromszögben \( BC=14 \), \( AC=12 \), és a \( BCA \) szög 40°-os. Mekkora az \( AB \) oldal? Legyen az \( AB \) oldal felezőpontja \( C_1 \) és a \( BC \) oldal felezőpontja \( A_1 \). Mekkora az \( AC_1A_1C \) négyszög területe?
Egy derékszögű háromszögben \( \tan{\alpha}=\frac{3}{4} \), a háromszög területe pedig \( 24 cm^2 \).
a) Mekkorák a háromszög oldalai?
b) Mekkora a köré írható kör sugara?
Az \( ABCD \) trapéz oldalainak hossza: \( AB=10 \), \( BC=5 \), \( CD=4 \), \( DA=5 \).
a) Számítsa ki a trapéz szögeit!
b) Határozza meg az \( ABC \) és \( ACD \) háromszögek területének arányát!
c) A trapéz belső szögeit egy-egy 5mm sugarú körívvel jelöljük be. Számítsa ki a négy körív hosszának összegét!
Az \( ABCD \) trapéz oldalainak hossza: \( AB=10 \), \( CD=6 \), \( AD=7 \). Az \( A \) csúcsnál fekvő belső szög 70°-os.
a) Mekkora távolságra van a \( D \) pont az \( AB \) oldaltól?
b) Számítsa ki a négyszög \( AC \) átlójának hosszát!
Az \( E \) pont az \( AD \) és \( BC \) szárak egyenesének metszéspontja.
c) Számítsa ki az \( ED \) szakasz hosszát!
Egy háromszög egyik oldala 5 cm, a másik két oldal összege 8 cm, és az 5 cm-es oldallal szemben lévő szög 60°. Mekkora a másik két szög, és a másik két ismeretlen oldal?
Az $ABCD$ húrnégyszögben $AB=20$, $BC=18$, az $ABC$ szög 70°-os, a $CAD$ szög 50°-os. Milyen hosszú a $CD$ oldal és mekkora a húrnégyszög területe?
Egy háromszög kerülete $598 \; cm$, $a=258 \; cm$, $\alpha = 98°33'$. Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai és szögei?
