Várható érték és szórás

1. 3 darab 10 dollárossal befektetési terveink vannak, egy rulett segítségével. A terv a következő: felteszünk 10 dollárt a pirosra. Ha nyer, akkor megdupláztuk a 10 dollárt és abbahagyjuk a játékot. Namost, ha veszít, akkor újabb 10 dollárt teszünk a pirosra, és ha ezúttal nyerünk, akkor szintén abbahagyjuk a játékot. Ha másodszorra sem nyerünk, akkor az utolsó 10 dollárt is felrakjuk a pirosra. A kérdés az, várhatóan mennyi pénzünk lesz a tranzakció végén.

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Adjuk meg a várható értékét és szórását:

\( f(x)= \begin{cases} \frac{1}{x^4}, &\text{ha } x \leq -1 \\ -x^2-2x, &\text{ha } -1 \leq x \leq 0 \\ 0, &\text{ha } 0<x \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


3.

a) Számoljuk ki, hogy hány esős napra számítsunk egy nyaralóhelyen, hogyha öt napig vagyunk ott és ezek a kilátások...

3% az esélye annak, hogy mindegyik nap esni fog. Aztán 9% az esélye, hogy csak 4 nap fog esni, 24%, hogy 3 nap fog esni, 40%, hogy 2 nap fog esni, 16%, hogy 1 nap fog esni, és 8%, hogy egyik nap sem fog esni.

b) Egy vadrezervátumban 3 hím oroszlán él. Az illegális vadászat miatt 40% eséllyel 5 éven belül mindegyik elpusztul, 30% eséllyel 2 oroszlán pusztul el és 20% eséllyel egy. Ha átköltöztetik az oroszlánokat egy biztonságosabb területre, akkor a tapasztalatok szerint az állatok harmada pusztul el a költöztetés miatt, a többiek életben maradnak. Átköltöztessük-e az oroszlánokat, ha azt szeretnénk, hogy 5 év múlva a lehető legtöbben legyenek életben?

c) Négy dobókockával dobunk. Ha az első kockával 1-est dobunk, akkor nyerünk nyerünk 10 dollárt. Ha a dobás nem 1-es, akkor dobhatunk a második kockával. Ha a második kockával 1-est dobunk, a nyeremény 20 dollár. Hogyha azzal sem 1-est dobunk, akkor jöhet a harmadik kocka. Ha a harmadik kockával 1-est dobunk, a nyeremény 30 dollár. De ha azzal se, akkor dobhatunk a negyedik kockával is. Hogyha ez végre 1-es, a nyeremény 40 dollár. Ha ez sem egyes, akkor vége a játéknak és nem nyertünk semmit. Ha 8 dollárba kerül, hogy játszhassunk egy ilyen játékot, megéri-e játszani?

 

Megnézem, hogyan kell megoldani


4.

a) Egy dobókockával dobunk. Mennyi a dobott számok várható értéke és szórása?

b) Két dobókockával dobunk. Mennyi a dobott számok összegének várható értéke és szórása?

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Elemér és Huba egy dobókocka játékot játszanak. Huba annyi dollárt ad Elemérnek, amennyi a dobott szám kétszerese, Elemér pedig annyit ad Hubának, amennyi a dobott szám négyzete. Melyikünk kedvez a játék?

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Az ötös lottón, egy hasábon 5 számot kell beikszelnünk 1-től 90-ig. Ha nulla vagy egy számot találunk el, akkor nem nyerünk semmit. Két találat esetén a nyeremény 700 Ft, hármas találatnál 10 ezer Ft, négyes esetén 789 ezer Ft, az ötös pedig 535 millió Ft-ot fizet. Mennyi a nyereményünk várható értéke?

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Két kockával dobva mennyi a dobott számok nem kisebbikének várható értéke?

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Egy magasugró versenyen a versenyzők 0,8 valószínűséggel ugorják át a lécet. Minden versenyző háromszor próbálkozhat. Mivel könnyen megeshet, hogy nem rajongunk a magasugró versenyekért, így nem teljesen alaptalan az a kérdés, hogy 12 versenyző esetén várhatóan hány ugrást kell megtekintenünk.

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Adott az $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye.

a) Mekkora a várható értéke?

b) Mekkora a szórás?

c) Mekkora az $ Y=3-2X$ várható értéke és szórása?

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Elmeséljük mi az a várható érték és hogyan kell kiszámolni. Mindezt egyszerű és nagyon szemléletes példákon keresztül. Valószínűségi változó, Eloszlás, Várható érték, Szórás, Várható érték kiszámolása, Várható érték feladatok megoldással, Szórás kiszámolása, Diszkrét valószínűségi változó, Folytonos valószínűségi változó, Primitív függvény, Newton-Leibniz-Tétel, Eloszlás táblázat. Valamint feladatok a várható értékre és a szórásra.



A várható érték és a szórás

FELADAT | Várható érték kiszámolása diszkrét esetben

FELADAT | Várható érték és szórás folytonos esetben

FELADAT | Várható érték és szórás kiszámolása diszkrét esetben

FELADAT | Várható érték kiszámolása diszkrét esetben

FELADAT | Várható érték kiszámolása diszkrét esetben

FELADAT | Várható érték kiszámolása diszkrét esetben

A várható érték és a szórás folytonos valószínűségi változóknál

Várható értékkel és szórással kapcsolatos feladatok

Most pedig nézzünk, hogy milyen izgalmak várhatók ebben a várható érték témában.

Itt is jön az első, számoljuk ki, hogy hány esős napra számítsunk egy nyaralóhelyen, hogyha öt napig vagyunk ott és ezek a kilátások…

5% esélye van annak, hogy mindegyik nap esni fog.

Aztán 7% az esélye, hogy csak 4 nap fog esni, és így tovább…

Az esős napok számának várható értéke:

 a hét napos ott tartózkodásunk alatt.

át napos tartózkodásunk alatt várhatóan hány esős napra készüljünk.Egy vadrezervátumban 3 hím oroszlán él. Az illegális vadászat miatt 40% eséllyel 5 éven belül mindegyik elpusztul, 30% eséllyel 2 oroszlán pusztul el és 20% eséllyel egy. Ha átköltöztetik az oroszlánokat egy biztonságosabb területre, akkor a tapasztalatok szerint az állatok harmada pusztul el a költöztetés miatt, a többiek életben maradnak. Átköltöztessük-e az oroszlánokat, ha azt szeretnénk, hogy 5 év múlva a lehető legtöbben legyenek életben?

Hogyha költöznek az oroszlánok…

akkor várhatóan 2 marad életben.

Ha nem költöznek…

40% az esélye, hogy nulla darab oroszlán lesz.

30% eséllyel egy darab…

20% eséllyel kettő…

És úgy tűnik 10% eséllyel mindhárom oroszlán életben marad.

Most pedig lássuk, hogy várhatóan hány élő oroszlánunk lesz…

A jelek szerint a költözés jobb hatással van az oroszlánok életben maradására.

Várhatóan 2,19 nap fog esni.

Na persze nem mindegy, hogy mekkora a szórás.

Nézzük meg.

Nézzünk meg egy másik nagyon izgalmas történetet is.

Van négy dobókockánk.

Ha az első kockával 1-est dobunk, akkor

Végül itt jön egy nagyon izgalmas történet négy dobókockával.

Ha az első kockával 1-est dobunk, akkor nyerünk 1 dollárt.

Ha a dobás nem 1-es, akkor dobhatunk a második kockával.

Ha a második kockával 1-est dobunk, a nyeremény 20 dollár.

Hogyha azzal sem 1-est dobunk, akkor jöhet a harmadik kocka.

Ha a harmadik kockával végre 1-est dobunk, a nyeremény 30 dollár.

De ha azzal se, akkor dobhatunk a negyedik kockával is.

Hogyha ez végre 1-es, a nyeremény 40 dollár.

Ha ez sem egyes, akkor vége a játéknak és nem nyertünk semmit.

És még csak most jön a kérdés…

Ha 8 dollárba kerül, hogy játszhassunk egy ilyen játékot, megéri-e játszani?

Vagyis a játék várható nyereménye vajon több vagy kevesebb, mint 8 dollár?

Hát, nézzük meg.

Akkor nyerünk 10 dollárt, ha elsőre 1-est dobunk.

Annak a sansza, hogy az első dobás nem 1-es 5/6.

A második dobás 1/6 eséllyel lesz 1-es.

De az is lehet, hogy nem 1-es.

Hogyha a harmadik dobás végre 1-es, akkor 30 dollárt nyerünk.

De előfordulhat, hogy az sem 1-es.

Aztán jön a mindent eldöntő negyedik dobás.

És most lássuk a várható nyereményt.

0,167

0,139

0,116

0,096

0,482

Hogyha 8 dollárba kerül a játék, akkor játékonként átlagosan 11,77 – 8 = 3,77 dollárt nyerünk.

Nekünk tehát megéri…

Annak viszont, akinek a játékot üzemelteti veszteséges.

Kéne szólni neki, hogy 11,77 dollárnál drágábban árulja…