Valószínűségszámítás epizód tartalma:

Elmeséljük, mit jelent a határozott és a határozatlan integrálás, és azt is, hogyan kell ezeket kiszámolni. Határozott integrálás, Határozatlan integrálás, Primitív függvény, Newton Leibniz formula, Görbe alatti terület, Néhány függvény görbe alatti területe, A primitív függvény kiszámolása, Néhány függvény primitív függvénye, Integrálás feladatok, Integrálási szabályok, Primitív függvény keresés, A határozatlan integrál fogalma, A határozott integrál fogalma, Integrálás feladatok megoldással.

A képsor tartalma

Itt az ideje, hogy megismerkedjünk az integrálással. Rögtön kétfélével is, a határozott és a határozatlan integrálással.

A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.

Van itt egy függvény

aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.

A határozatlan integrálás egészen máshogy működik.

Azért nevezzük határozatlannak, mert itt nincsenek a és b határai az integrálásnak, csak úgy egyszerűen integrálgatunk:

f(x) határozatlan integrálja egy függvény, amit primitív függvénynek neveztek el.

A primitív függvény jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et.

Ez a határozatlan integrálás tulajdonképpen nem más, mint a deriválás megfordítása.

Emiatt úgy is szokás emlegetni, mint antideriválás.

Lássunk néhány példát.

Itt van mondjuk ez:

Egy olyan függvényre van szükségünk, aminek a deriváltja 2x.

Ilyen függvény van, mégpedig az

Itt jön egy másik:

Olyan függvény is van, aminek deriváltja

Ha még emlékszünk rá

Ha valaki tudja, hogy mi az az abszolútérték, akkor nem fogja nagyon felzaklatni a hír, hogy az még kell ide. Ez amiatt van, mert az

függvényt negatív x-ekre is szeretnénk integrálni.

lnx viszont csak a pozitív x-eket szereti és ezt a kis problémát oldja meg az abszolútérték,

de elég annyit megjegyezni, hogy

Végül lássunk még egyet:

Mit kell deriválni vajon, hogy x2-et kapjunk?

Ez majdnem jó, csak el kell osztani 3-mal.

És még egy dolog. Ha deriváljuk az x2-et az persze 2x, de

Vagyis x2 után állhat tetszőleges konstans.

Sőt itt is, meg itt is.

Most pedig lássuk, mi a kapcsolat a határozott és a határozatlan integrálás között.

A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele.

Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

Ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor

ez itt azt jelenti, hogy a primitív függvény megváltozása, vagyis először be kell helyettesíteni a b-t, aztán pedig kivonni belőle, hogy behelyettesítjük az a-t

Próbáljuk is ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.

Itt jön a primitív függvény, aminek vennünk kell a megváltozását 0-tól 1-ig.

Probléma akkor van, ha nem jut eszünkbe a primitív függvény.

Számoljuk ki például az

görbe alatti területét 0 és 1 között.

Addig semmi gond, hogy felírjuk mit kéne integrálni.

Az viszont már baj, hogy fogalmunk sincs, mi lehet a primitív függvény.

A problémát tehát a primitív függvények keresése vagyis a határozatlan integrálás fogja okozni.

Vagyis itt az ideje, hogy fejlesszük ezt a képességünket.

Az igény ugyanakkor egyre nagyobb volt arra, hogy a bonyolult fizikai folyamatokat képesek legyenek leírni, csak éppen az nem volt világos, hogyan. Az 1700-as évek elejéig kellett várni erre, amikor nyilvánosan is megjelent egy angol fizikus-matematikus fluxió elmélete, amely alapjaiban változtatta meg a fizika és a matematika működését. Az illetőt Isaac Newtonnak hívták és elméletét már az 1660-as években kidolgozta, de akkor még nem érezte teljesen késznek a megjelentetésre, ugyanis voltak benne bizonyos definiálásból eredő pontatlanságok. Nos, ezeket a kisebb pontatlanságokat csak 100 évvel később, az 1800-as évek elejére sikerült kiiktatnia Augustin Louis Cauchy francia mérnök-matematikusnak, így aztán utólag megállapíthatjuk, Newton akár azon nyomban is előállhatott volna elméletével, ezzel megkímélve magát egy felesleges hiúsági versenytől, amelyet a kor másik hatalmas gondolkodójával Gottfried Wilhelm Leibniz-cel vívott.

A dolog ugyanis úgy áll, hogy Newton és Leibniz lényegében egyszerre jött rá egymástól függetlenül és más-más okok által motiválva ugyanarra a dologra. Míg Newtont a fizikai világ matematikai leírása vezérelte, addig Leibniz – aki inkább volt filozófus, mint matematikus – egészen más irányból közelített a problémához. Newton egy módszert fejlesztett ki, amely képessé tette az emberiséget arra, hogy leírhassa a minket körülvevő világ fizikai folyamatait. Leírhassa, hogy ezáltal lehetőség nyíljon a problémák megoldására. Amint az később számos alkalommal kiderült, a probléma leírását egyáltalán nem követi azonnal a megoldás megtalálása, de ha leírni sem vagyunk képesek a problémát, akkor egészen biztosan nem tudjuk megoldani. Ezzel szemben Leibniz arra érzett rá, hogy az 1600-as évek matematikusai rátaláltak valamire, de „mintha bekötött szemmel jártak volna” nem voltak képesek ezt egy kerek egységes elméletté kidolgozni. Leibniz megtette azt a sorsdöntő lépést, hogy egységes és nagyon okos jelölést vezetett be és ezen jelölésének köszönhetően képes volt olyan új összefüggéseket is meglátni, melyeket maga Newton sem látott.

A Newton és Leibniz közötti prioritási vita voltaképpen azért volt igazán tragikus, mert ha nem egymással szemben, hanem egymás mellett dolgoztak volna, közösen talán képesek lettek volna betömni azokat a réseket, amelyeknek a betömésére még több mint 100 évet kellett várni.

Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Elmeséljük, mit jelent a határozott és a határozatlan integrálás, és azt is, hogyan kell ezeket kiszámolni. Határozott integrálás, Határozatlan integrálás, Primitív függvény, Newton Leibniz formula, Görbe alatti terület, Néhány függvény görbe alatti területe, A primitív függvény kiszámolása, Néhány függvény primitív függvénye, Integrálás feladatok, Integrálási szabályok, Primitív függvény keresés, A határozatlan integrál fogalma, A határozott integrál fogalma, Integrálás feladatok megoldással.

Végül is miért ne néznél meg
még egy epizódot?
Ugrás az
összeshez