Matek 2 Corvinus
A kurzus 13 szekcióból áll: Determináns, sajátérték, sajátvektor, Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze, Lineáris leképezések, Mátrixok és vektorok, Valszám alapok, kombinatorika, Vektorterek, független és összefüggő vektorok, Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel, Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, Várható érték és szórás, Geometriai valószínűség, Binomiális tétel, Markov és Csebisev egyenlőtlenségek, Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások, Kétváltozós eloszlások
SOROK
- Mik azok a végtelen sorok? - A bolha ugrásai a számegyenesen.
- Konvergens és divergens sorok - Mikor konvergens és mikor divergens egy sor?
- A mértani sor - A mértani sor képlete, példák mértani sorokra.
- A mértani sor összegképlete - A mértani sorok összegének kiszámolása.
- Konvergenciakritériumok - A sorok konvergenciájának megállapítására vonatkozó képletek.
- Hányados-kritérium - Egy fontos konvergenciakritérium.
- Gyök-kritérium - Egy másik fontos konvergenciakritérium
- Leibniz-sorok - Speciáli sorok.
- Összehasonlító kritérium - A majoráns és a minoráns kritérium.
- Sorok összegének kiszámítása - Néhány trükk a sorok összegének meghatározására.
- Teleszkopikus sorok - Olyan sorok, amelyek valójában az első és az utolsó tagon kívül semmilyen más tagot nem tartamaznak.
- Hatványsorok - A végtelen sorok egy speciális fajtája.
- Konvergeciasugár - A hatványsorok konvergenciájának vizsgálata.
- Konvergencia tartomány - A hatványsorok konvergenciájának vizsgálata.
- Taylor sorok - A végtelen sorok egy speciális fajtája.
INTEGRÁLÁS, PRIMITÍV FÜGGVÉNY
- Határozott és határozatlan integrálás - A határozott integrálással függvények görbéje alatti területeket tudunk kiszámolni, míg a határozatlan integrálással az úgynevezett primitív függvényt tudjuk meghatározni. A kétféle integrálás között a Newton-Leibniz formula létesít kapcsolatot.
- Primitív függvény - Egy f(x) függvény primitív függvénye az a F(x) függvény, amelyet deriválva f(x)-et kapjuk.
- Newton-Leibniz formula - A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
- Alapintegrálok - Tekintsük át a fontosabb függvények integráljait.
- Integrálási szabályok - Lássuk, milyen integrálási szabályok vannak...
- Szorzatok integrálása - Lássuk, milyen módszerek vannak szorzatok integrálására.
- Törtek integrálása - Lássuk, milyen módszerek vannak törtek integrálására.
- Parciális integrálás - Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.
- Összetett függvények integrálása - Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.
- Helyettesítéses integrálás - Bizonyos esetekben érdemes bevezetni egy helyettesítést, amivel az integrálás egyszerűbbé válik. Nézzük meg, hogyan!
- Parciális törtek - A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.
- Racionális törtfüggvények integrálása - A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.
- Polinomosztás - A parciális törtekre bontás előtt néha polinomosztás is kell. Nézzük mikor és hogyan.
- Trigonometrikus függvények integrálása - A trigonometrikus kifejezések integrálása meglehetősen vicces feladat. Csak jó humorérzékűeknek ajánlott...
HATÁROZOTT INTEGRÁLÁS
- Határozott és határozatlan integrálás - A határozott integrálással függvények görbéje alatti területeket tudunk kiszámolni, míg a határozatlan integrálással az úgynevezett primitív függvényt tudjuk meghatározni. A kétféle integrálás között a Newton-Leibniz formula létesít kapcsolatot.
- Primitív függvény - Egy f(x) függvény primitív függvénye az a F(x) függvény, amelyet deriválva f(x)-et kapjuk.
- Newton-Leibniz formula - A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
- Két függvény közötti terület kiszámolása - Néhány tipikus feladat két függvény grafikonjai által közrezárt terület kiszámítására.
- Improprius integrál - Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása.
KETTŐS INTEGRÁL
- A kettősintegrál - A kettősintegrál kétváltozós függvények által meghatározaott felületek alatt elhelyezkedő térfogatok kiszámolására valók.
- Példák kettősintegrálra - Néhány feladat kettősintegrálok kiszámolására.
- x és y szerinti integrálás - A parciális deriválás megfordításaként először x majd y szerint integrálunk.
- Kettősintegrál normáltartományokon - Integrálás függvények által határolt tartományok felett.
- Az integrálás sorrendjének felcserélése - Vannak olyan esetek, amikor nem segít más, mint felcserélni az integrálás sorrendjét.
KOMBINATORIKA
- Permutáció - Egy n elemű halmaz permutációinak száma n!
- Variáció - n elem k-ad osztályú variációja azt mondja meg, hogy n elemből hányféleképpen lehet k darabot kiválasztani úgy, ha számít a kiválasztás sorrendje.
- Kombináció - n elem k-ad osztályú kombinációja azt mondja meg, hogy n elemből hányféleképpen lehet k darabot kiválasztani úgy, ha nem számít a kiválasztás sorrendje.
ESEMÉNYEK ÉS VALÓSZÍNŰSÉGEK
- Események - Mik azok az események? Műveletek eseményekkel, eseményalgebra és egyéb izgalmak..
- Független események - Mikor mondjuk, hogy két esemény egymástól független? Példák független eseményekre.
- Kizáró események - Mikor kizáró két esemény? Példák kizáró eseményekre.
- Feltételes Valószínűség - A feltételes valószínűség. Az A feltéva B valószínűség azt jelenti, hogy mekkora eséllyel következik be az A esemény, ha a B esemény biztosan bekövetkezik..
- Teljes valószínűség tétele - A teljes valószínűség tétele azt mondja ki, hogy ha ismerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamennyi eseményére, akkor ebből az A esemény valószínűsége kiszámítható.
- Bayes-tétel - Olyankor használjuk, ha egy korábban bekövetkezett Bk esemény valószínűségére vagyunk kiváncsiak egy később bekövetkezett A esemény tükrében.
ELOSZLÁSFÜGGVÉNY ÉS SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY
- Valószínűségi változó - A valószínűségi változó eseményekhez rendel hozzá valós számokat. Nézzük meg, hogyan.
- Eloszlásfüggvény - Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x). F(x)=P(x<X) Vagyis minden x számhoz hozzárendeli annak a valószínűségét, hogy X<x. Nos ez elég izgi..
- Sűrűségfüggvény - A sűrűségfüggvény a görbe alatti területekkel írja le egy esemény valószínűségét.
- Hogyan lesz eloszlásfüggvényből sűrűségfüggvény - A sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja.
- Hogyan lesz sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvény - Nos nagyon kalandos körülmények között...
VÁRHATÓ ÉRTÉK ÉS SZÓRÁS
- Várható érték - A valószínűségi változó értékeinek valószínűséggekkel súlyozott átlaga. De valójában ez rémegyszerű, nézzünk rá néhány példát.
- Szórás - A várható értéktől való átlagos eltérést írja le a szórás.
- Markov egyenlőtlenség - A Markov egyenlőtlenség arról szól, hogy az X valószínűségi változó a várható értéknél nem lehet sokkal nagyobb.
- Csebisev egyenlőtlenség - A Csebisev egyenlőtlenség azt írja le, hogy az X valószínűségi változó várható értéktől való eltérése nem lehet túl nagy.
NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS ELOSZLÁSOK
- Binomiális eloszlás - A binomiális eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a valószínűsége p és egymástól függetlenül elvégzünk n darab kísérletet, ahol a kísérletek mindegyikében az esemény vagy bekövetkezik vagy nem. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
- Hipergeometriai eloszlás - A hipergeometriai eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol N darab elem közül kiválasztunk n darab elemet visszatevés nélkül. Az összes elem között K darab selejtes található. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy a kiválasztott elemek között éppen k darab selejte van.
- Poisson-eloszlás - A Poisson eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a várható előfordulása lambda darab. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
- Egyenletes eloszlás - Ez egy folytonos eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének valószínűsége valamely intervallumon konstans.
- Exponenciális eloszlás - Az eltelt idők és a távolságok eloszlása.
- Normális eloszlás - Mennyiseégek eloszlása.
- A Poisson eloszlás és az exponenciális eloszlás kapcsolata - A két eloszlás lényegében ugyanazt írja le, csak az egyik a bekeövetkezések számával, míg a másik a bekövetkezések közt eltelt idővel teszi ezt.
- Az örökifjú tulajdonság - Örökifjúnak lenni marhajó dolog. Az exponenciális eloszlásnak ez megadatik...
KÉTVÁLTOZÓS VALÓSZÍNŰSÉGI ELOSZLÁSOK
- Együttes eloszlás - Két valószínűségi változó együttes eloszlása és eloszlástáblázata.
- Peremeloszlás - Két valószínűségi változó perem eloszlásainak kiszámolása.
- Várható érték - Két valószínűségi változó várhatóértékeinek kiszámolása.
- Szorzat várható értéke - A szorzat várható értékének kiszámítása az együttes eloszlás táblázatából.
- Kovariancia - Két valószínűségi változó kovarianciájának kiszámolása.
- Korreláció - Két valószínűségi változó korrelációjának kiszámolása.
- Peremeloszlás-függvény - Két valószínűségi változó peremeloszlás-függvényeinek felírása.
- Együttes eloszlásfüggvény - Két valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvényeinek felírása.
- Együttes sűrűségfüggvény - Két valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvény nagyon vicces módon írja le a valószínűségeket a függvény felülete alatti térfogat segítségével, vagyis jó sokat kell integrálgatni.
- Perem-sűrűségfüggvény - Két valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvényéből ki tudjuk számolni az X és az Y valószínűségi változó saját sűrűségfüggvényét. Ezeket hívjuk perem-sűrűségfüggvényeknek.
- Együttes eloszlásfüggvény - Az együttes sűrűségfüggvényből nagyon rémes kettősintegrálok segítségével tudjuk előállítani az együttes eloszlásfüggvényt. Ez már olyan rossz, hogy érdemes megnézni.
Determináns, sajátérték, sajátvektor
- -
Egy 2x2-es mátrix determinánsát úgy kapjuk, hogy a bal átló elemeinek szorzatából kivonjuk a jobb átló elemeinek szorzatát.
- -
A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.
- -
Egy túl jó módszer a determináns kiszámolására.
- -
Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.
- -
Példák mikor nulla egy mátrix determinánsa. Két mátrix szorzatának determinánsa.
- -
Azokat a mátrixokat nevezzük regulárisnak, amelyek determinánsa nem nulla.
- -
Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla.
- -
A Cramer szabály egy újabb módszer az egyenletrendszerek megoldására.
- -
A sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet.
- -
A mátrix főátló elemeiből kivonunk $\lambda$-kat, majd ennek vesszük a determinánsát.
- -
Egy mátrix sajátértéke egy valós szám, amely azt mondja meg, hogy a sajátvektor hányszorosát kapjuk akkor, ha azt a mátrixszal szorozzuk.
- -
Egy mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, ami azt tudja, hogy megszorozva a mátrixszal az eredeti vektor skalárszorosát kapjuk. Ez igazán remek, de, hogy pontosan miért, nos ez mindjárt kiderül.
- -
Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix spektrálfelbontását.
- -
Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor a mátrix diagonizálható.
- -
Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.
- -
Egy mátrix főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.
- -
Egy nxn-es mátrix indefinit, ha van nullánál nagyobb és nullánál kisebb sajátértéke is..
- -
Egy nxn-es mátrix negatív definit, ha minden sajátértéke negatív.
- -
Egy nxn-es mátrix negatív szemidefinit, ha minden sajátértéke kisebb vagy egyenlő 0.
- -
Egy nxn-es mátrix pozitív definit, ha minden sajátértéke pozitív.
- -
Egy nxn-es mátrix pozitív szemidefinit, ha minden sajátértéke nagyobb vagy egyenlő 0.
- -
Egy mátrix sarok főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.
- -
Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...
- -
A kvadratikus alakok mátrixa segít eldönteni a definitséget.
Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
- -
Egy egyenletrendszer együtthatómátrixa az x-ek együtthatóiból álló mátrix.
- -
Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.
- -
Az egyenletrendszer megoldásának egy szuper, de koránt sem a legszuperebb módja.
- -
Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.
- -
Ha egy egyenletrendszernek több az ismeretlene, mint ahány egyenlete van, akkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.
- -
Ha egy egyenletrendszerben két olyan egyenlet szerepel, ahol az ismeretlenek együtthatói megegyeznek, de más az eredményük, akkor az ellentmondó egyenletrendszer, aminek nincs megoldása.
- -
A szabadságfok a szabadváltozók száma.
- -
A Gauss-Jordan elimináció a Gauss-elimináció pro változata.
- -
A mátrix rangja a mátrix Gauss elimináció során keletkezett vezéregyeseinek száma, amely megegyezik a mátrix sorrangjával vagy oszlopvektorával
- -
Egy mátrix oszloprangja az oszlopvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.
- -
Egy mátrix sorrangja a sorvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.
- -
Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.
- -
Egy mátrixot teljes sorrangúnak nevezünk, hogyha a sorvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.
- -
Bármely mátrixot fel lehet bontani két olyan mátrix szorzatára, amelyek közül az egyik teljes oszloprangú, a másik pedig teljes sorrangú.
- -
Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.
- -
Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.
- -
Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.
- -
Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.
Lineáris leképezések
- -
A képtér és a magtér dimenzióinak összege éppen $V_1$ dimenziója.
- -
A képtér egy olyan altér $V_2$-ben, amely azokból a vektorokból áll, amiket a $V_1$-beli vektorokból csinál a leképezés.
- -
A lineáris leképezés egy test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény.
- -
Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal.
- -
A magtér egy olyan altér $V_1$-ben, amelyek képe a leképezés során nullvektor.
- -
Egy leképezésnek akkor létezik inverze, ha a leképezés mátrixának létezik inverze.
- -
Két leképezés kompozíciója a mátrixaik szorzata.
- -
Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.
- -
Ha a mátrixnak létezik diagonális alakja, akkor van sajátbázisa, ami fantasztikus dolgokra képes.
- -
A lineáris leképezések másnéven homomorfizmusok. Ezek a homomorfizmusok és azok mátrixai maguk is egy vektorteret alkotnak, ezt a vektorteret $Hom(V_1, V_2)$-nek nevezzük.
- -
Az A és B mátrixok hasonlók, ha létezik egy C mátrix, amivel ha jobbról szorozzuk a B-t, balról pedig a C inverzével szorozzuk, akkor ennek eredménye A.
Mátrixok és vektorok
- -
- -
Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.
- -
Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.
- -
Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.
- -
Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.
- -
Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)
- -
A mátrix összeadás kommutatív és asszociatív.
- -
A mátrixszorzás nem kommutattív, de asszociatív.
- -
A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.
- -
Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.
- -
Az inverz mátrix egy olyan mátrix, hogy ha azzal szorozzuk az eredeti mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk. Ha balról szorozva kapunk egységmátrixot, akkor bal inverz, ha jobbról szorozva, akkor jobb inverz mátrix.
- -
A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.
- -
Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.
- -
A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése.
- -
Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.
- -
A skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.
- -
Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.
- -
Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.
- -
Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.
- -
Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.
- -
Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.
- -
Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak egy oszlopában lévő elemeit.
- -
Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.
- -
Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak sorait.
Valszám alapok, kombinatorika
- -
Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.
- -
A valószínűség kiszámításának klasszikus modellje az, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll a vizsgált esemény és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.
- -
Mikor mondjuk, hogy két esemény egymástól független? Példák független eseményekre.
- -
Mikor kizáró két esemény? Példák kizáró eseményekre.
- -
A feltételes valószínűség. Az A feltéva B valószínűség azt jelenti, hogy mekkora eséllyel következik be az A esemény, ha a B esemény biztosan bekövetkezik..
- -
Események metszetének, uniójának, különbségének és komplementerének valószínűségei.
- -
Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.
Vektorterek, független és összefüggő vektorok
- -
A vektorösszeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és létezik ellentett. A skalárszoros asszociatív, disztributív a vektorokra és a skalárokra is, és létezik egységszeres.
- -
Egy vektorrendszer akkor lineárisan független, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.
- -
Egy vektorrendszer akkor lineárisan összefüggő, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor úgy is elő tud állni, hogy nem minden szorzótényező 0.
- -
A bázis független generátorrendszer.
- -
Egy vektorrendszer akkor alkot független rendszert, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.
- -
Vektorok generátor-rendszert alkotnak, ha minden vektortérbeli vektor elő áll az ő lineáris kombinációjuként.
- -
Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok maximális száma
- -
W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.
- -
A generált altér vektorok lineáris kombinációja.
- -
A legfeljebb n-ed fokú polinomok vektorteret alkotnak az összeadás és a skalárral való szorzás műveletekre.
- -
Egy vektor akkor állítható egy vektorrendszerrel, ha előáll azon vektorok lineáris kombinációjaként.
Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- -
- -
A teljes valószínűség tétele azt mondja ki, hogy ha ismerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamennyi eseményére, akkor ebből az A esemény valószínűsége kiszámítható.
Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- -
Diszkrétnek nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik megszámlálhatóan sok értéket vesznek fel.
- -
Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x). F(x)=P(x<X) Vagyis minden x számhoz hozzárendeli annak a valószínűségét, hogy X<x. Nos ez elég izgi..
- -
Folytonosnak nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik folytonos mennyiségeket mérnek, ilyen például az idő, a távolság.
- -
A sűrűségfüggvény a görbe alatti területekkel írja le egy esemény valószínűségét.
- -
Az eloszlásfüggvény határértéke minusz végtelenben 0, plusz végtelenben 1, monoton nő és balról folytonos.
- -
Három nagyon fontos összefüggés eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény között.
- -
A sűrűségfüggvény integrálja minusz végtelentől plusz végtelenig 1, és nem negatív.
- -
Az $X$ valószínűségi változó $F(x)$ eloszlásfüggvényéből úgy kapjuk meg az $f(x)$ sűrűségfüggvényét, hogy az $F(x)$ eloszlásfüggvényt deriváljuk. Fordítva pedig integrálni kell.
Várható érték és szórás
- -
A szórás azt mutatja meg, hogy a várható érték körül milyen nagy ingadozásra számíthatunk.
- -
A valószínűségi változó értékeinek valószínűségekkel súlyozott átlaga. De valójában ez rém egyszerű, nézzünk rá néhány példát.
- -
Folytonos valószínűségi változó esetén a szórást ugyanúgy kell számolni, mint diszkrét valószínűségi változó esetén:
- -
Folytonos valószínűségi változók esetén a várható értéket egy integrálás segítségével számítjuk.
Geometriai valószínűség, Binomiális tétel
- -
Ha egy esemény előfordulását geometriai alakzat (vonal, síkidom, test) mértékével jellemezzük, akkor geometriai valószínűségről beszélünk.
- -
Kéttagú összegek n-edik hatványra emelésének képlete.
- -
Az (a+b) hatványainak általánosítására egy képlet.
Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
- -
A Markov egyenlőtlenség arról szól, hogy az X valószínűségi változó a várható értéknél nem lehet sokkal nagyobb.
- -
A Csebisev egyenlőtlenség azt írja le, hogy az X valószínűségi változó várható értéktől való eltérése nem lehet túl nagy.
- -
Ha egy esemény bekövetkezésének elméleti valószínűsége $p$, akkor minél többször végezzük el a kísérletet, a relatív gyakoriság és az elméleti valószínűség eltérése annál kisebb lesz.
Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
- -
A binomiális eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a valószínűsége p és egymástól függetlenül elvégzünk n darab kísérletet, ahol a kísérletek mindegyikében az esemény vagy bekövetkezik vagy nem. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
- -
Az eltelt idők és a távolságok eloszlása.
- -
A hipergeometriai eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol N darab elem közül kiválasztunk n darab elemet visszatevés nélkül. Az összes elem között K darab selejtes található. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy a kiválasztott elemek között éppen k darab selejtes van.
- -
A Poisson eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a várható előfordulása lambda darab. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
- -
- -
Mennyiségek eloszlása.
Kétváltozós eloszlások
- -
$X$ és $Y$ együttes eloszlása egy táblázat, amelyben szerepel $X$ és $Y$ összes lehetséges értéke és a hozzájuk tartozó valószínűségek.
- -
A korreláció $X$ és $Y$ valószínűségi változók közötti kapcsolatot írja le.
- -
Két valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvényeinek felírása.
- -
Két valószínűségi változó peremeloszlás-függvényeinek felírása.
- -
Két valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvény nagyon vicces módon írja le a valószínűségeket a függvény felülete alatti térfogat segítségével, vagyis jó sokat kell integrálgatni.
- -
Két valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvényéből ki tudjuk számolni az X és az Y valószínűségi változó saját sűrűségfüggvényét. Ezeket hívjuk perem-sűrűségfüggvényeknek.
- -
Két valószínűségi változó peremeloszlás-függvényeinek felírása.