Markov és Csebisev egyenlőtlenségek

1. Ha egy újságárus óránként 64 darab újságot szokott eladni, mekkora a valószínűsége, hogy az egyik órában

a) legalább 250-et ad el?

b) 200-nál kevesebbet ad el?

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. 

a) Egy újságárus óránként 64 darab újságot szokott eladni, a szórás pedig 8 darab. Adjunk becslét annak valószínűségére, hogy az újságos által eladott lapok száma 50 darab és 78 darab közé esik.

b) Egy üzemben 150 mm hosszú csavarokat gyártanak 2 mm szórással. Egy csavar selejtes, ha 146 mm-nél rövidebb vagy 154 mm-nél hosszabb. Adjunk becslést a selejtarányra.

c) Egy bankba óránként általában 120 ügyfél érkezik, a szórás 10. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy adott órában 100 és 150 közé esik az ügyfelek száma.

d) Egy sí üdülőhelyen a téli szezonban hetente átlag 300 cm hó esik, a szórás 60 cm. Ha 50 cm-nél kevesebb hó esik, akkor a túl kevés hó miatt le kell zárni egy bizonyos pályát. Ugyanezt a pályát 480 cm feletti hóesésnél lavinaveszély miatt kell lezárni. Adjunk becslést a pálya lezárásának valószínűségére.

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. 

a) Hányszor kel dobnunk a kockával ahhoz, hogy a hatos dobás valószínűségét a relatív gyakoriság 0,1-nél jobban megközelítse az esetek 95%-ában?

b) Hányszor kell feldobnunk egy érmét ahhoz, hogy a fej dobások valószínűségét a relatív gyakoriság 0,05-nél jobban megközelítse legalább 0,9 valószínűséggel?

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. 

a) Egy könyvárus óránként átlag 8 könyvet tud eladni. Mekkora a valószínűsége, hogy 5 óra alatt legalább 50 darabot? Adjunk erre becslést a Markov-egyenlőtlenséggel.

b) Az $X$ valószínűségi változó várható értéke 20. Adjunk becslést a $P(X<80)$ valószínűségre a Markov-egyenlőtlenséggel.

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. 

a) Egy csavargyárban 10 cm hosszú csavarokat gyártanak, 2 mm szórással. Egy csavar selejtes, ha a hossza 9,5 cm-nél kisebb vagy 10,5 cm-nél nagyobb. Adjunk becslést a selejtarányra.

b) Egy mozi előadásainak átlagos nézőszáma 120 fő, a szórás 16. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy előadáson a nézők száma 100 és 140 közé esik.

c) Az $X$ valószínűségi változó várható értéke 20, szórása 4. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy $X$ 15 és 28 közé esik. 

d) Egy üzletben óránként átlag 80-an vásárolnak, a szórás 10. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy adott órában a vevőszám 60 és 96 közé esik.

e) Egy üzletben óránként átlag 12-en vásárolnak. A vásárlók száma Poisson-eloszlású. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy 3 órás időtartamban a vevőszám 25 és 45 közé esik.

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. 

a) Az $X$ valószínűségi változó várható értéke 20, annak valószínűsége, hogy $X$ 15 és 25 közé esik a Csebisev-egyenlőtlenség alapján legalább 0,96. Legfeljebb mekkora valószínűséggel esik $X$ a várhatótól legalább 4-nél távolabb?

b) Az $X$ valószínűségi változó várható értéke 40, annak valószínűsége, hogy $X$ a várható értéktől legalább 6-tal eltér legfeljebb 0,25. Legalább mekkora valószínűséggel esik $X$ 30 és 52 közé?

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


A Markov egyenlőtlenség (nem egy nagy szám)

A Csebisev egyenlőtlenség (na ez már nem rossz)

A Nagy Számok Törvénye (na ez már nagy szám)

FELADAT | Markov-egyenlőtlenség

FELADAT | Csebisev-egyenlőtlenség

FELADAT | Csebisev-egyenlőtlenség