Geometriai valószínűség, Binomiális tétel

1.

a) Egy lavina $ 8000 m^2 $ nagyságú területet temetett be egy síterepen. Bence éppen ott snowboardozott, ezért a keresésére indultak. Mekkora az esélye, hogy ha a mentőcsapat egy $600 m^2$ nagyságú területet átvizsgál, akkor megtalálják Bencét?

b) Anna minden reggel 6 és fél 7 között véletlenszerűen érkezik a buszmegállóba. Kétféle buszjárat jó neki, az egyik 15, a másik 20 percenként indul reggel 6  órától kezdve. Mennyi a valószínűsége, hogy Annának nem kell 5 percnél többet várnia a buszmegállóban?

c) Két webáruházból is házhozszállítással rendeltünk. A szállítandó árut mindkét áruházból délután 5 és 6 óra közötti idősávba rendeltük, hogy ne kelljen feleslegesen sokat várakozni. Az áru kipakolása mindkét esetben 10 percet vesz igénybe. Mekkora a valószínűsége, hogy a futárok éppen egy időben fognak érkezni, vagyis az egyik futár még ott lesz, amikor a másik érkezik?

d) Egy raktárhoz 24 órás időtartamon belül véletlen időpontokban két kamion érkezik. Az előbb érkező kamion rögtön megkezdi a rakodást. A rakodás az egyik kamionnál 1, a másiknál 2 órát vesz igénybe. Ha a második kamion akkor érkezik, amikor az elsőre még rakodnak, akkor várakoznia kell a rakodás befejezéséig. Mekkora a valószínűsége, hogy a két kamion közül valamelyiknek várakoznia kell?

Megnézem, hogyan kell megoldani


2.

a) Egy kör alakú céltáblára lövés érkezik. Mi a valószínűsége, hogy a lövés helye közelebb lesz a kör középpontjához, mint a határvonalhoz, feltéve, hogy minden lövésünk eltalálja a céltáblát?

b) Egy 10x10 cm-es négyzetre leejtünk három darab 1 cm sugarú érmét. Mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom érme a négyzet valamelyik csúcsát le fogja fedni? (Az érméket egymás után dobjuk el.)

Megnézem, hogyan kell megoldani


3.

a) Mennyi $(a+b)^7$-nél az $a^2b^5$-es tag együtthatója?

b) Mennyi $(a+2)^7$-nél az $a^2$-es tag együtthatója?

c) Mennyi $(x+3)^8$-nél az $x^6$-os tag együtthatója?

Megnézem, hogyan kell megoldani


4.

a) A (0,5) intervallumot felosztjuk (0,2) és (2,5) részekre. Egymás után véletlenszerűen kiválasztunk két pontot, mekkora valószínűséggel esnek különböző részekbe?

b) Egy 10x10 cm-es négyzetre leejtünk három darab 2 cm sugarú érmét. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább két érme nem fogja érinteni a négyzet egyik szélét sem, tehát teljesen a belsejében landol? (Az érméket egymás után dobjuk el.)

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Egy [0,2]x[0,2] négyzeten belül egymás után véletlenszerűen kiválasztunk 10 pontot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legfeljebb két pont esik az alább megadott ponthalmazba?

\( \left( x- \frac{3}{2} \right)^2 + \left( y- \frac{3}{2} \right)^2 < \frac{1}{4} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. 

a) A (0,1) intervallumban véletlenszerűen kiválasztunk két számot. Mennyi a valószínűsége, hogy az egyik szám több lesz, mint a másik kétszerese?

b) A (0,3), (0,5) szakaszokon véletlenszerűen választunk egy-egy pontot, jelölje $x$ és $y$. Mennyi a valószínűsége, hogy $x$, $y$, és 2 hosszúságú szakaszokból szerkeszthető háromszög?

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. 

a) Mennyi $ \left( x+ \frac{1}{x^2} \right)^{20}$-nél az $x^{17}$-es tag együtthatója?

b) Mennyi $n$, ha $ \left( x+ \frac{1}{x} \right)^{n}$ esetén az első 3 tag együtthatójának összege 92?

c) Mennyi $n$, ha $ (x+ 3)^n$ esetén az első 3 tag együtthatójának összege 277?

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. 

a) Mennyi $(2x+3)^7$-nél az $x^5$-es tag együtthatója?

b) Mennyi $(x-2y)^{13}$-nál az $x^{10}y^3$-es tag együtthatója?

c) Mennyi $(x-3y)^7$-nél az $x^4y^3$-os tag együtthatója?

d) Mennyi $(x-2)^{10}$-nél az $x^7$-es tag együtthatója?

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. 

a) \( V_{n}^{8i}-5V_{n}^{7i}-6V_{n}^{6i}=0 \qquad n=? \qquad \text{n pozitív egész} \)

b) \( C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=46 \qquad n=? \qquad \text{n pozitív egész} \)

c) \(  3\cdot \binom{n}{2}+\binom{n}{n-1}=92 \qquad n=? \qquad \text{n pozitív egész} \)

d)  \( C_{n+1}^{4}+C_{n}^{4}=5\cdot C_{n}^{2} \qquad n=? \qquad n \geq 4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


A geometriai valószínűség

Még egy kis geometriai valószínűség

Binomiális tétel és binomiális együtthatók

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT