Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Matek 2 Corvinus

Kategóriák
  • Determináns, sajátérték, sajátvektor
  • Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
  • Lineáris leképezések
  • Mátrixok és vektorok
  • Valszám alapok, kombinatorika
  • Vektorterek, független és összefüggő vektorok
  • Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
  • Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
  • Várható érték és szórás
  • Geometriai valószínűség, Binomiális tétel
  • Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
  • Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
  • Kétváltozós eloszlások

Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Gauss elimináció és elemi bázistranszformáció
02
 
Egyenletrendszerek megoldása elemi bázistranszformációval
03
 
Egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval
04
 
Végtelen sok megoldás, nulla megoldás, szabadságfok (bázistranszf.)
05
 
Végtelen sok megoldás, nulla megoldás, szabadságfok (Gauss)
06
 
Egyenletrendszer végtelen sok megoldással (Bázistranszf.)
07
 
Egyenletrendszer végtelen sok megoldással (Gauss)
08
 
Egy paraméteres egyenletrendszer (Bázistranszf.)
09
 
Egy paraméteres egyenletrendszer (Gauss)
10
 
Egy rondább paraméteres egyenletrendszer (Bázistranszf.)
11
 
Egy rondább paraméteres egyenletrendszer (Gauss)
12
 
Vektorrendszer rangjának kiszámolása (Bázistranszf.)
13
 
Vektorrendszer rangjának kiszámolása (Gauss)
14
 
Gauss-Jordan elimináció
15
 
Mátrix rangja, oszloprang, sorrang
16
 
Bázisfelbontás
17
 
Vektorrendszer rangja és vektorok előállíthatósága (Bázistranszf.)
18
 
Vektorrendszer rangja és vektorok előállíthatósága (Gauss)
19
 
Mátrix inverze négyzetes mátrixoknál (Bázistranszf.)
20
 
Mátrix inverze négyzetes mátrixoknál (Gauss)
21
 
Az inverz nem négyzetes mátrixoknál (Bázistranszf.)
22
 
Az inverz nem négyzetes mátrixoknál (Gauss)
23
 
FELADAT | Egyenletrendszer bázistranszformáció
24
 
FELADAT | Egyenletrendszer Gauss elimináció
25
 
FELADAT | Egyenletrendszer bázistranszformáció
26
 
FELADAT | Egyenletrendszer Gauss elimináció
27
 
FELADAT | Egyenletrendszer bázistranszformáció
28
 
FELADAT | Egyenletrendszer Gauss elimináció
29
 
FELADAT | Egyenletrendszer bázistranszformáció
30
 
FELADAT | Egyenletrendszer Gauss elimináció

Együtthatómátrix

Egy egyenletrendszer együtthatómátrixa az x-ek együtthatóiból álló mátrix.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Elemi bázistranszformáció

Az elemi bázistranszformáció (Szuper-Gauss) a lineáris egyenletrendszerek megoldásának egy algoritmikus módja.

1. lépés: a generáló elem választása

Csak x-es oszlopból és e-s sorból választhatunk generáló elemet, nullát nem választhatunk és lehetőleg 1-et vagy mínusz 1-et érdemes.

2. lépés: a bázistranszformáció

A generáló elem sorát osztjuk a generáló elemmel, oszlopát elhagyjuk.

A többi elemből kivonjuk a generáló elem neki megfelelő sorában és oszlopában lévő számok szorzatát, osztva a generálóelemmel.

3. lépés: megint generáló elem választás

Újra és újra végrehatjuk a bázistranszformációt, amíg az összes oszlop el nem tűnik

4. lépés: az utolsó transzformáció és a megoldás

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gauss-elimináció

A Gauss-elimináció egy lineáris egyenletrendszerek megoldására használt algoritmus.

Az elimináció lényege, hogy egyenletrendszerünket visszavezetjük vagy valamely háromszög- vagy átlós mátrix alakra.

A Gauss-elimináció megengedett lépései:

  • Két sort (egyenletet) felcserélhetünk
  • Egy sort (egyenletet) nem nulla számmal szorozhatunk
  • Egyik sorhoz (egyenlethez) hozzáadhatjuk egy másik sor (egyenlet) nem nulla számsorosát
Megnézem a kapcsolódó epizódot

Szuper-Gauss = elemi bázistranszformáció

Az elemi bázistranszformáció (Szuper-Gauss) a lineáris egyenletrendszerek megoldásának egy algoritmikus módja.

1. lépés: a generáló elem választása

Csak x-es oszlopból és e-s sorból választhatunk generáló elemet, nullát nem választhatunk és lehetőleg 1-et vagy mínusz 1-et érdemes.

2. lépés: a bázistranszformáció

A generáló elem sorát osztjuk a generáló elemmel, oszlopát elhagyjuk.

A többi elemből kivonjuk a generáló elem neki megfelelő sorában és oszlopában lévő számok szorzatát, osztva a generálóelemmel.

3. lépés: megint generáló elem választás

Újra és újra végrehatjuk a bázistranszformációt, amíg az összes oszlop el nem tűnik

4. lépés: az utolsó transzformáció és a megoldás

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Egyenletrendszer végtelen sok megoldással

Ha egy egyenletrendszernek több az ismeretlene, mint ahány egyenlete van, akkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.

Bázistranszformációval, ha maradnak $\underline{e}$-s sorok ahol már nem tudunk generáló elemet választani, olyankor mindig végtelen sok megoldás van, vagy nincs megoldás.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Ellentmondó egyenletrendszer

Ha egy egyenletrendszerben két olyan egyenlet szerepel, ahol az ismeretlenek együtthatói megegyeznek, de más az eredményük, akkor az ellentmondó egyenletrendszer, aminek nincs megoldása.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Szabadságfok

A bázistranszformáció során fent maradt x-ek úgynevezett szabadváltozók. A szabadságfok a szabadváltozók száma, tehát ahány $x_i$ fönt marad.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gauss-Jordan elimináció

A Gauss-Jordan elimináció a Gauss-elimináció pro változata. A dolog lényege az, hogy nemcsak a vezéregyesek alatt nullázzuk ki, hanem felettük is. Előnye, hogy így a megoldások az elimináció végeztével egyből leolvashatók.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrix rangja

A mátrix rangja a mátrix Gauss elimináció során keletkezett vezéregyeseinek száma, amely megegyezik a mátrix sorrangjával vagy oszlopvektorával

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Oszloprang

Egy mátrix oszloprangja az oszlopvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Sorrang

Egy mátrix sorrangja a sorvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Teljes oszloprangú mátrix

Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Teljes sorrangú mátrix

Egy mátrixot teljes sorrangúnak nevezünk, hogyha a sorvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Bázisfelbontás

Bármely mátrixot fel lehet bontani két olyan mátrix szorzatára, amelyek közül az egyik teljes oszloprangú, a másik pedig teljes sorrangú. Ezt bázisfelbontásnak hívják, és egy kiss Gauss-Jordan eliminációval tudjuk elkészíteni.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrix inverze (négyzetes mátrix)

Négyzetes mátrixok inverzét a Gauss-elimináció segítségével úgy állíthatjuk elő, hogy megoldjuk az $Ax=b$ egyenletrendszert úgy, hogy a $b$ helyére beírjuk az egységmátrixot. Az eliminációs lépéseket addig kell végezni, amíg az egységmátrixot nem kapjuk az $A$ helyén, a $b$ helyén keletkezett mátrix pedig az $A$ mátrix inverze lesz.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrix inverzének kiszámolása elemi bázistranszformációval

Négyzetes mátrixok inverzét a bázistranszformáció segítségével úgy állíthatjuk elő, hogy megoldjuk az $Ax=b$ egyenletrendszert úgy, hogy a $b$ helyére beírjuk az egységmátrixot.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrix inverzének kiszámolása Gauss-Jordan eliminációval

Négyzetes mátrixok inverzét a Gauss-Jordan elimináció segítségével úgy állíthatjuk elő, hogy megoldjuk az $Ax=b$ egyenletrendszert úgy, hogy a $b$ helyére beírjuk az egységmátrixot.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mátrix inverze nem négyzetes mátrixok esetében

Az inverz kiszámolása rettentő egyszerű dolog. Mindössze annyit kell tennünk, hogy felírjuk a mátrixot a szokásos táblázatba, és mellé írjuk az egységmátrixot. Ezek után jön a bázistranszformáció. Ha nem tudjuk mindegyik x-et levinni, akkor nincs inverz. Ha mindet le tudjuk vinni, akkor van.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.

\( x_1 + 2x_2 + x_3= 8 \)

\( 2x_1+x_2-x_3=1 \)

\( 2x_1-x_2+x_3=3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformációval.

\( x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 \)

\( x_1-x_3+x_4=2 \)

\( 2x_2+x_4=8 \)

\( x_1+x_4=5 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert Gauss eliminációval.

\( x_1 + x_2 - x_3 + x_4 = 4 \)

\( x_1-x_3+x_4=2 \)

\( 2x_2+x_4=8 \)

\( x_1+x_4=5 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a bázis transzformáció segítségével.

a)

\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)

\( 2x_1+x_2=2 \)

\( 3x_1+2x_2+x_3=5 \)

b)

\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)

\( 2x_1+x_2=2 \)

\( 3x_1+2x_2+x_3=6 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket a Gauss elimináció segítségével.

a)

\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)

\( 2x_1+x_2=2 \)

\( 3x_1+2x_2+x_3=5 \)

b)

\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \)

\( 2x_1+x_2=2 \)

\( 3x_1+2x_2+x_3=6 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert bázis transzformáció segítségével.

\( 2x_1 - x_4  = 4 \)

\( 2x_1-x_2+3x_3+x_4=1 \)

\( 8x_1-2x_2+6x_3=6 \)

\( 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 -5x_4=2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a Gauss elimináció segítségével.

\( 2x_1 - x_4  = 4 \)

\( 2x_1-x_2+3x_3+x_4=1 \)

\( 8x_1-2x_2+6x_3=6 \)

\( 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 -5x_4=2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Az \( \alpha \) és \( \beta \) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? A feladatot a bázis transzformáció segítségével oldjuk meg.

\( x_1 + x_2 + x_3  = 4 \)

\( 2x_1+x_2+x_3=5 \)

\( x_1+2x_2+\alpha x_3=\beta \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Az \( \alpha \) és \( \beta \) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? A feladatot a Gauss elimináció segítségével oldjuk meg.

\( x_1 + x_2 + x_3  = 4 \)

\( 2x_1+x_2+x_3=5 \)

\( x_1+2x_2+\alpha x_3=\beta \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Az \( \alpha \), \( \beta \) és \( \gamma\) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? (Oldjuk meg bázis transzformációval)

\( x_1 + x_2 + 2x_3+x_4  = \beta \)

\( x_2+2x_3+x_4=1 \)

\( 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 \)

\( 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Az \( \alpha \), \( \beta \) és \( \gamma\) paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? (Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)

\( x_1 + x_2 + 2x_3+x_4  = \beta \)

\( x_2+2x_3+x_4=1 \)

\( 2x_2+4x_3+ \gamma x_4=4 \)

\( 3x_2+6x_3+3x_4=\alpha \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Bázis transzformáció segítségével számítsuk ki a

\( \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)

\( \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad  \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)

vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

A Gauss elimináció segítségével számítsuk ki a

\( \underline{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)

\( \underline{v_3} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \quad  \underline{v_4} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)

vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektor.

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval az alábbi egyenletrendszereket.

a)

\( 2x_1 + 6x_2 -4x_3 = 4 \)

\( 3x_1 + 2x_2 + 8x_3 =27 \)

\( 4x_1 +x_2 -3x_3 = 7 \)

b)

\( 2x_1 + 4x_2 -6x_3-2x_4 = 4 \)

\( 3x_1 + x_2 + 6x_3+2x_4 =16 \)

\( x_1 +7x_2 -18x_3-6x_4 = -8 \)

c)

\( x_1 + 3x_2 -4x_3+5x_4 = 9 \)

\( 2x_1 + 4x_2 + x_3-3x_4 =10\)

\( 3x_1 +5x_2 +6x_3-11x_4 = 4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Itt van ez a mátrix. Számoljuk ki a rangját, és döntsük el, hogy teljes oszloprangú vagy teljes sorrangú-e.

\( A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 3 & 8 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Számoljuk ki az $A$ mátrix rangját, keressük meg az oszlop-vektorterének egy bázisát, és adjuk meg ebben a bázisban az $A$ mátrix oszlopvektorainak koordinátáit.

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -4 & 2 & 10 \\ 3 & 9 & 1 & -4 & 1 \\ 1 & 3 & -9 & 8 & 19 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és

\( \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)

\( \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} \)

\( \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)

Mekkora a $\underline{v_1}, \underline{v_2}, \underline{v_3}$ vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a $\underline{b}=\underline{a_1}+2\underline{a_2}+\underline{a_3}$ vektor? Számításainkat a bázis transzformáció segítségével végezzük.

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Az $\underline{a_1}$, $\underline{a_2}$, $\underline{a_3}$ független vektorok, és

\( \underline{v_1}= \underline{a_1} - 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)

\( \underline{v_2}= \underline{a_1} + \underline{a_3} \)

\( \underline{v_3}= 3\underline{a_1}+ 2 \underline{a_2} + \underline{a_3} \)

Mekkora a $\underline{v_1}, \underline{v_2}, \underline{v_3}$ vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a $\underline{b}=\underline{a_1}+2\underline{a_2}+\underline{a_3}$ vektor? Számításainkat a Gauss elimináció segítségével végezzük.

Megnézem, hogyan kell megoldani

19.

Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a bázis transzformáció segítségével.

\( A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

20.

Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzét a Gauss elimináció segítségével.

\( A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

21.

Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a bázis transzformáció segítségével.

\( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

22.

Számoljuk ki az alábbi mátrix inverzeit a Gauss elimináció segítségével.

\( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

23.

A $p$ és $q$ valós paraméterek minden értékére adjuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldásainak a számát. Ha az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, akkor a $p$ és $q$ ezen értékeire adjuk meg az összes megoldást. (Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)

\( x_1+x_2+x_3-7x_4=8 \)

\( 4x_1+4x_2+x_3-28x_4=23 \)

\( 5x_1+3x_2-x_3-31x_4=14 \)

\( 2x_1+p\cdot x_4 = q \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

24.

A $p$ és $q$ valós paraméterek minden értékére adjuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldásainak a számát. Ha az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, akkor a $p$ és $q$ ezen értékeire adjuk meg az összes megoldást. (Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)

\( x_1+x_2+x_3-7x_4=8 \)

\( 4x_1+4x_2+x_3-28x_4=23 \)

\( 5x_1+3x_2-x_3-31x_4=14 \)

\( 2x_1+p\cdot x_4 = q \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

25.

Döntsük el, hogy a $p$ és $q$ valós paraméterek milyen értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.

(Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)

\( x_1-3x_2-14x_3=-17 \)

\( 2x_1-6x_2-28x_3+p\cdot x_4 = q-34 \)

\( 3x_1-7x_2-36x_3+4p\cdot x_4 = 4q-37 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

26.

Döntsük el, hogy a $p$ és $q$ valós paraméterek milyen értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek.

Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.

\( x_1 -3x_2 - 14x_3 = -17 \)

\( 2x_1 - 6x_2 - 28x_3 + p \cdot x_4 = q-34 \)

\( 3x_1 -7x_2 -36x_3 +4p \cdot x_4 = 4q -37 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

27.

Döntsük el, hogy a $p$ valós paraméterek mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.

(Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)

\( x_1+3x_2+5x_3=7 \)

\( 2x_1+9x_2+16x_3=17 \)

\( x_1+p\cdot x_2 + p\cdot x_3 = 5 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

28.

Döntsük el, hogy a $p$ valós paraméterek mely értékeire van megoldása az alábbi egyenletrendszernek. Ha van megoldás, adjuk is meg az összeset.

(Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)

\( x_1+3x_2+5x_3=7 \)

\( 2x_1+9x_2+16x_3=17 \)

\( x_1+p\cdot x_2 + p\cdot x_3 = 5 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

29.

Adjuk meg az alábbi mátrix inverzét, majd döntsük el, hogy a $p$ valós paraméter mely értékeire nem létezne az inverzmátrix.

(Oldjuk meg a bázis transzformáció segítségével)

\( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & p \\ 6 & 13 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

30.

Adjuk meg az alábbi mátrix inverzét, majd döntsük el, hogy a $p$ valós paraméter mely értékeire nem létezne az inverzmátrix.

(Oldjuk meg a Gauss elinimáció segítségével)

\( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & p \\ 6 & 13 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Gauss elimináció és elemi bázistranszformáció

Egyenletrendszerek megoldása elemi bázistranszformációval

Itt jön egy egyenletrendszer.

Érdemes generáló elemet úgy választani, hogy a sorában és oszlopában jó sok nulla legyen.

Ennek előnyeit pillanatokon belül élvezhetjük.

Legyen mondjuk ez.

Hát ugye  az nincs

 az nincs és  sincs

Érdemes generáló elemet úgy választani, hogy a sorában és oszlopában jó sok nulla legyen.

Ennek előnyeit pillanatokon belül élvezhetjük.

Legyen mondjuk ez.

A nulla miatt ebben az oszlopban minden elemből nullát vonunk ki,

tehát az egész oszlop marad.

Ezért érdemes úgy választani generáló elemet, hogy a sorában

és oszlopában jó sok nulla legyen.

Hát ezért éri meg így választani.

A nullák megkönnyítik az életünket.

Kiszámolni csak ezeket kell.

A nulla miatt ebben az oszlopban mindenki marad

Sőt, ebben a sorban is mindenki marad.

És ebben a sorban is.

Alig kell valamit számolni.

Ezt az egyet kell kiszámolni:


Végtelen sok megoldás, nulla megoldás, szabadságfok (Gauss)

Egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval

Egyenletrendszer végtelen sok megoldással (Gauss)

Egy paraméteres egyenletrendszer (Bázistranszf.)

Az és  paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek?

Elkezdjük megoldani a bázistranszformációval.

Olyan sorban és oszlopban, ahol paraméter van, nem ajánlatos generáló elemet választani.

Ezeket tehát kerüljük el!

Van itt ez a marhajó 1-es, válasszuk ezt.

Elkerüljük a paramétereket, amíg lehet.

Most elkezdünk egy kicsit gondolkodni.

1.ESET   és

végtelen sok megoldás

2.ESET   és

nincs megoldás

3.ESET   és

 levihető és egy megoldás

Na ennyi gondolkodás elég is volt.


Egy paraméteres egyenletrendszer (Gauss)

Egy rondább paraméteres egyenletrendszer (Bázistranszf.)

Az ,  és  paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek?

Amíg lehet ne válasszunk generáló elemet olyan sorban vagy oszlopban,

amiben paraméter van.

van itt ez a remek 1-e, válaszzuk ezt!

Aztán ezt a másik 1-est választjuk. Marha nagy szerencsénk van a nullákkal.

A nulla miatt ebben a sorban minden elemből nullát vonunk ki,

tehát az egész sor marad ahogy van,

meg itt is,

sőt itt is.

Ezért érdemes úgy választani generáló elemet, hogy a sorában

és oszlopában jó sok nulla legyen. A nullák megkönnyítik az életünket.

A bázistranszformáció itt elakad, a legalsó sorban ugyanis csupa nulla van, a felette

lévőben pedig paraméter.

Kezdjünk el kicsit gondolkodni!

1.ESET  

nincs megoldás  és    bármi lehet.

2.ESET  

nincs megoldás,  és  bármi lehet.

3.ESET  és

ekkor  levihető, végtelen sok megoldás, a szabadságfok egy

Van itt még valami.

Itt ugye, ha nem nulla van, akkor nincs megoldás.

De itt mindegy mi van, ha például ,

ennek akkor is van megoldása.

Ne felejtsük el ugyanis, hogy ezek

a feltételek csak -s sorokra vonatkoznak.

Ez -s sor, tehát itt

tényleg nincs megoldás.

Ebben a sorban viszont már x van,

így semmilyen szabálynak nem kell teljesülnie.


Egy rondább paraméteres egyenletrendszer (Gauss)

Vektorrendszer rangjának kiszámolása (Bázistranszf.)

Számítsuk ki a

vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az  és  vektor.

 illetve  

Akkor állítható elő az  vektor, ha léteznek olyan  számok, hogy

    illetve  

Ez tulajdonképpen két egyenletrendszer:

Ezeket kell megoldanunk. Ha van megoldás, akkor az adott vektor előállítható, ha nincs megoldás, akkor nem állítható elő.

megoldjuk:

van megoldás,

így az  vektor előállítható

Például

Jön a szokásos, és persze nagyon izgalmas bázistranszformáció.

nincs megoldás,

ezért a  vektor sajna nem állítható elő

A bázistranszformáció itt sajnos elakad, mert az -s sorokban már csak nullák vannak.

Ilyenkor vagy végtelen sok megoldás van vagy nincs megoldás.

Lássuk, hogyan áll elő az  vektor!

Az egyenletrendszer megoldását a

szokásos módon olvassuk le.

 és  tetszőleges

Ha mondjuk  és  nulla, akkor

A vektorrendszer rangja annyi, ahány x-et lehoztunk, vagyis most éppen kettő.


Vektorrendszer rangjának kiszámolása (Gauss)

Gauss-Jordan elimináció

A Gauss-elimináció pro változatát Gauss-Jordan eliminációnak nevezzük. 

A lényege az, hogy nem csak a vezéregyesek alatt nullázunk ki, hanem felettük is.

Éppen itt is jön ez az egyenletrendszer.

Oldjuk meg, és nézzük meg, hogyan működik a Gauss-Jordan elimináció.

 
Ebben a mátrixban két független oszlopvektor van.

A harmadik oszlop ugyanis az első kettő összege…

A negyedik pedig a második kétszerese.

1 4 5 8
3 1 4 2
2 1 3 2

Egy mátrix oszloprangja az oszlopvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.

Most maximum két független oszlopvektor választható ki…

Így hát ennek a mátrixnak az oszloprangja kettő.

Független sorvektora persze lehetne akár három is…

De nincs.

Egy Gauss-Jordan eliminációval mindjárt az is kiderül, hogy miért nincs.

 
 

Mivel a harmadik sort ki tudtuk nullázni…
Ez azt jelenti, hogy az első két sornak a lineáris kombinációja.

Egy mátrix oszloprangja és sorrangja mindig megegyezik a vezéregyesek számával.

Most éppen két vezéregyes van, így ennek a mátrixnak az oszloprangja és a sorrangja is kettő.

Ezt hívjuk a mátrix rangjának, és a szokásos módon jelöljük:
 


Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Ez a mátrix nem teljes oszloprangú…

Az oszloprang ugyanis csak 2 és a mátrixnak négy oszlopa van.


Egy mátrixot 


Mátrix rangja, oszloprang, sorrang

Ebben a mátrixban két független oszlopvektor van.

A harmadik oszlop ugyanis az első kettő összege…

A negyedik pedig a második kétszerese.

1 4 5 8
3 1 4 2
2 1 3 2

Egy mátrix oszloprangja az oszlopvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.

Most maximum két független oszlopvektor választható ki…

Így hát ennek a mátrixnak az oszloprangja kettő.

Független sorvektora persze lehetne akár három is…

De nincs.

Egy Gauss-Jordan eliminációval mindjárt az is kiderül, hogy miért nincs.

 
 

Mivel a harmadik sort ki tudtuk nullázni…
Ez azt jelenti, hogy az első két sornak a lineáris kombinációja.

Egy mátrix oszloprangja és sorrangja mindig megegyezik a vezéregyesek számával.

Most éppen két vezéregyes van, így ennek a mátrixnak az oszloprangja és a sorrangja is kettő.

Ezt hívjuk a mátrix rangjának, és a szokásos módon jelöljük:
 


Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Ez a mátrix nem teljes oszloprangú…

Az oszloprang ugyanis csak 2 és a mátrixnak négy oszlopa van.


Egy mátrixot teljes sorrangúnak nevezünk, hogyha a sorvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Ez a mátrix nem is teljes sorragú…
A rang ugyanis még mindig 2, sor viszont három van.

Itt van aztán ez a másik mátrix. Számoljuk ki a rangját, és döntsük el, hogy teljes oszloprangú vagy teljes sorrangú-e.

Hát, túl nagy izgalmakra azért ne számítsunk.
Megint jön a Gauss-elimináció.

Három darab vezéregyes van, így hát a mátrix rangja 3.

Az oszlopok száma és a rang most ugyanannyi, mindkettő 3…
Ez a mátrix tehát teljes oszloprangú.

Sorokból viszont egy kicsit több van mint 3…
Tehát a mátrix nem teljes sorrangú.

A bázisfelbontás szemléletes jelentése egészen izgalmas...
Az eredeti A mátrix rangja most 2…
Tehát az oszlopvektorai közül két független vektort tudunk kiválasztani.
Mondjuk ezt a kettőt itt.
 

Ez a két vektor az A mátrix oszlop-vektorterének egy bázisa.

A bázisfelbontásban szereplő második mátrix azt írja le…
Hogy a két bázisvektor miként állatja elő az eredeti mátrix oszlopvektorait.

Ez a második mátrix tehát az eredeti A mátrix oszlopvektorainak a koordinátáit adja meg a  bázisban.

Számoljuk ki az A mátrix rangját, keressük meg az oszlopvektorainak egy bázisát, és adjuk meg ebben a bázisban az A mátrix oszlopvektorainak koordinátáit.

 
 


Bázisfelbontás

Vektorrendszer rangja és vektorok előállíthatósága (Bázistranszf.)

Az      független vektorok, és

Mekkora a  vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a  vektor?

A  vektor akkor állítható elő, ha van olyan  amire

A jobb oldalt átrendezzük úgy, hogy lássuk mennyi van az      vektorokból

Mivel      független vektorok, ha például a bal oldalon egy darab  van,

akkor a jobb oldalon is egy darab kell, hogy legyen,

vagy ha a bal oldalon két  van, akkor jobb oldalon is.

Érdemes megfigyelni, hogy ezt a táblázatot

rögtön a feladatból is felírhatjuk.

Nincs más dolgunk, mint összeszámolni, hány darab  van,

aztán azt, hogy hány darab  és végül hány .

A megoldás:      

A vektor előáll:  

A vektorrendszer rangja pedig, mivel mindhárom x-et lehoztuk,

így a jelek szerint három.


Vektorrendszer rangja és vektorok előállíthatósága (Gauss)

Mátrix inverze négyzetes mátrixoknál (Bázistranszf.)

Most egy nagyon izgalmas dologgal, a mátrixok inverzével fogunk foglalkozni.

Az   -es   mátrix inverze egy olyan  mátrix, ami azt tudja, hogy

A mátrixok szorzása nem kommutatív, tehát  ha a szereplőket megcseréljük,

akkor lehet, hogy valami egészen más  mátrixszal kell az -t szorozni ahhoz, hogy az egységmátrixot kapjuk.

Mindkét  mátrixot  inverznek nevezzük

    ilyenkor  jobb oldali inverz

    ilyenkor  bal oldali inverz

Az -es mátrixoknak azonban megvan az a remek tulajdonsága,

hogy a szorzás sorrendje az inverznél mindegy, vagyis

Tehát a jobb és bal inverz ilyenkor megegyezik.

Mi most ilyen -es mátrixok inverzét fogjuk kiszámolni,

és maradjunk ennél a sorrendnél.

Itt van például egy mátrix:

Próbáljuk meg kiszámolni az inverzét.

Egy olyan mátrixot kell találnunk, hogy az eredeti mátrixszal megszorozva az egységmátrixot kapjuk.

A kérdőjelek nem igazán segítenek a válasz megtalálásában.

Írhatnánk helyette betűket, hogy a, b, c, meg ilyenek.

Vagy hívhatnánk az elemeit a szokásos jelöléssel úgy, hogy  meg  meg  stb.

De inkább egy másfajta jelölést fogunk használni, és hamarosan az is kiderül majd, hogy

miért.

A kettős indexezés túl bonyolult, ezért legyen csak ,  és .

Az oszlopokat pedig színekkel különböztessük meg.

Ez volna tehát az inverz mátrix. Már csak azt kell kiszámolni, hogy mennyi ,  és

Ehhez végezzük el a szorzást!

A dolog picit bonyolultnak tűnik, de csak első ránézésre.

Bármi legyen is az inverz mátrix, az elemeire teljesülnie kell ennek a három egyenletrendszernek.

Oldjuk őket meg! Ehhez elvileg három külön táblázatra van szükségünk.

Valójában elég egyetlen táblázat.

A három egyenletrendszert tehát egyszerre oldjuk meg, a szokásos bázistranszformációval.

A bázistranszformáció lépéseit most nem részletezzük, minden pontosan úgy megy, ahogyan eddig. Aki esetleg úgy érzi, hogy elhomályosultak az emlékei ezzel kapcsolatban, az nézze meg a bázistranszformációról szóló részt.

A kapott megoldás éppen az inverz.

Csak annyi dolgunk van, hogy

sorba rakjuk a sorokat:

Az inverz kiszámolása valójában tehát rettentő egyszerű. Itt van mondjuk ez a mátrix:

Mindössze annyit kell tennünk, hogy felírjuk a mátrixot, a szokásos táblázatba,

és mellé írjuk az egységmátrixot.

Ezek után jön a bázistranszformáció. Ha nem tudjuk mindegyik x-et levinni, akkor nincs inverz. Ha mindet le tudjuk vinni, akkor van.


Mátrix inverze négyzetes mátrixoknál (Gauss)

Az inverz nem négyzetes mátrixoknál (Bázistranszf.)

Elérkezett az idő, hogy olyan mátrixok inverzét is kiszámoljuk, amelyek nem -esek.

Ilyenkor a jobb oldali inverz és a bal oldali inverz nem egyezik meg.

 ilyenkor  jobb oldali inverz

 ilyenkor  bal oldali inverz

Itt van például egy mátrix

A bal oldali inverz 3x2-es lesz

A jobb oldali inverz szintén 3x2-es lesz

Mindkettőt bázistranszformációval számoljuk ki

Itt sajnos van egy kis gond.

bal oldali inverz

most nincs

jobb oldali inverz

most épp van

Maradt egy -s sor, amiben nem

mindenki nulla, tehát nincs megoldás.

Itt viszont  van  megoldás,

a fönt maradt  legyen mondjuk .


Az inverz nem négyzetes mátrixoknál (Gauss)

FELADAT | Egyenletrendszer bázistranszformáció

FELADAT | Egyenletrendszer Gauss elimináció

FELADAT | Egyenletrendszer bázistranszformáció

FELADAT | Egyenletrendszer Gauss elimináció

FELADAT | Egyenletrendszer bázistranszformáció

FELADAT | Egyenletrendszer Gauss elimináció

FELADAT | Egyenletrendszer bázistranszformáció

FELADAT | Egyenletrendszer Gauss elimináció

Végtelen sok megoldás, nulla megoldás, szabadságfok (bázistranszf.)

Nézzünk meg két nagyon izgalmas egyenletrendszert!

Ebben az egyenletrendszerben valójában

csak két egyenlet van.

A harmadik egyenlet ugyanis az első kettő összege.

Ilyen alapon lehetne még egy negyedik, ötödik,

sőt hatodik egyenlet is.

Valójában tehát csak két egyenlet van, vagyis több

az ismeretlen, mint ahány egyenlet, és ilyenkor

az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.

Na ennyi elég

Ebben az egyenletrendszerben a harmadik egyenlet

szintén az első kettő összege, de van egy kis gond.

A jobb oldal ugyanis nem stimmel, mert 5 helyett 6 van.

Ilyenkor ugye nem tud egyszerre mindegyik egyenlet

teljesülni, vagyis az egyenletek ellentmondanak,

és ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása.

Van tehát két egyenletrendszerünk, és mi előre tudjuk, hogy az egyiknek végtelen sok megoldása lesz, a másiknak pedig nem lesz megoldása.

Nézzük meg, hogy ha elkezdjük megoldani ezeket az egyenletrendszereket a jól bevált elemi bázistranszformációval, akkor vajon hogyan fog kiderülni, hogy az egyiknek

végtelen sok megoldása van, a másiknak pedig nincs megoldása.

Itt kezdődnek a problémák.

-at ugyanis nem tudjuk lehozni, mert 0-t nem választhatunk generáló elemnek.

A bázistranszformáció tehát úgy ér véget, hogy marad egy –s sor.

HA MARADNAK -S SOROK, AHOL MÁR NEM TUDUNK GENERÁLÓ ELEMET VÁLASZTANI, OLYANKOR MINDIG VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VAN, VAGY NINCS MEGOLDÁS.

HA A MEGMARADT -S SOR ILYEN,

AKKOR VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VAN

x-es oszlop

0

0

HA A MEGMARADT -S SOR ILYEN,

AKKOR NINCS MEGOLDÁS

x-es oszlop

0

NEM 0

A MEGOLDÁS LEOLVASÁSA A TÁBLÁZATBÓL

A fent maradt változók úgynevezett szabad változók, ők t, s és egyéb néven szerepelnek tovább a történetben.

A MEGOLDÁS:

ÁLTALÁNOS MEGOLDÁS:

SZABADSÁGFOK=ahány  fönt marad

(most a szabadságfok 1)

RANG=ahány  levihető

(most a rang 2)

A MEGOLDÁS LEOLVASÁSA A TÁBLÁZATBÓL

Itt már nincs további teendő


Egyenletrendszer végtelen sok megoldással (Bázistranszf.)

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim