- Determináns, sajátérték, sajátvektor
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze
- Lineáris leképezések
- Mátrixok és vektorok
- Valszám alapok, kombinatorika
- Vektorterek, független és összefüggő vektorok
- Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- Várható érték és szórás
- Geometriai valószínűség, Binomiális tétel
- Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
- Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
- Kétváltozós eloszlások
Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
Diszkrét valószínűségi változó
Diszkrétnek nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik megszámlálhatóan sok értéket vesznek fel. Ez azt jelenti, hogy vagy véges sokat, vagy végtelent, de úgy, hogy fel tudjuk sorolni az értékeit.
Eloszlásfüggvény
Az $X$ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:
\( F(x)=P(X<x) \)
Ha az $X$ valószínűségi változó diszkrét és értékei $X=a, X=b, X=c$ meg ilyenek, akkor az eloszlásfüggvény mindig egy lépcsőzetes függvény, ami minden számnál pontosan akkorát ugrik, mint az adott szám valószínűsége, amíg el nem érjük az 1-et.
\( F(x) = \begin{cases} 0 \quad \text{ha} \; x \leq a \\ P(X=a) \quad\text{ha} \; a<x \leq b \\ P(X=a)+P(X=b) \quad \text{ha} \; b<x \leq c \\ \dots \\ 1 \end{cases} \)
Ha az $X$ valószínűségi változó folytonos, akkor az $a$ és $b$ számok között bármilyen valós értéket fölvehet. Ilyenkor az eloszlásfüggvény is folytonos, ami $a$-ig nullát vesz föl, $a$ és $b$ közt növekszik és $b$ után végig egyet vesz föl.Vagyis ahol az $X$ valószínűségi változó működik, ott a függvény életre kel, előtte és utána pedig hibernált állapotban van.
Folytonos valószínűségi változó
Folytonosnak nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik folytonos mennyiségeket mérnek, ilyen például az idő, a távolság. Ebben az esetben az eloszlás függvény is mindig folytonos függvény lesz.
Sűrűségfüggvény
A sűrűségfüggvény úgy működik, hogy a valószínűségeket a görbe alatti területek adják meg. Az eloszlásfüggvény jele $F(x)$ volt, a sűrűségfüggvény jele $f(x)$. Az $a<X<b$ valószínűség éppen a görbe alatti terület $a$-tól $b$-ig.
\( P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) \; dx \)
Ha az $X<a$ valószínűséget szeretnénk kiszámolni:
\( P(X<a) = \int_{-\infty}^{a} f(x) \; dx \)
Ha a $b<X$ valószínűséget:
\( P(b<X) = \int_{b}^{+\infty} f(x) \; dx \)
Ha ezt a három területet összeadjuk, akkor éppen a teljes görbe alatti területet kapjuk, ami a 100%-ot jelenti, így hát ez a terület éppen 1.
A sűrűségfüggvény tulajdonságai:
\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx = 1 \)
nem negatív
Eloszlásfüggvény tulajdonságai
1. $\lim_{-\infty} F(x) = 0$
2. $\lim_{\infty} F(x) = 1 $
3. monoton nő
4. balról folytonos
Összefüggések eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény között
\( P(X<a)=F(a)=\int_{-\infty}^{a} f(x) \; dx \)
\( P(b<X) = 1 -F(b) = \int_{b}^{+\infty} f(x) \; dx \)
\( P(a<X<b) = F(b)-F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \; dx \)
Sűrűségfüggvény tulajdonságai
1. $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx = 1 $
2. nem negatív
Sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvény és fordítva
Az $X$ valószínűségi változó $F(x)$ eloszlásfüggvényéből úgy kapjuk meg az $f(x)$ sűrűségfüggvényét, hogy az $F(x)$ eloszlásfüggvényt deriváljuk, azaz:
\( F'(x) = f(x) \)
Ha az $X$ valószínűségi változó $f(x)$ sűrűségi függvényét ismerjük, és meg akarjuk adni az $F(x)$ eloszlásfüggvényét, akkor azt pedig így tehetjük:
\( F(x) = \int_{- \infty}^{x} f(t) \; dt \)
Egy céltábla sugara 50 cm. Azt a távolságot, hogy ilyen távol lövünk a céltábla középpontjától, jelöljük $X$-szel. Tegyük föl, hogy a céltáblát biztosan eltaláljuk.
a) $P(X<10)=?$
b) $P(X<20)=?$
c) $P(X<x)=?$
a) Lehet-e $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi függvény?
\( f(x)= \begin{cases} e^{2x}, &\text{ha } x<0 \\ 1-x, &\text{ha } 0\leq x\leq1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
b) Milyen $A$ paraméter esetén lesz $f(x)$ sűrűségfüggvény?
\( f(x)= \begin{cases} e^{3x}, &\text{ha } x<0 \\ Ax^2, &\text{ha } 0\leq x\leq1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
Csináljunk $F(x)$-ből $f(x)$-et.
\( F(x)= \begin{cases} \frac{3}{4}e^{2x-4}, &\text{ha } x<2 \\ 1-\frac{1}{x^2}, &\text{ha } 2 \leq x \end{cases} \)
a) Adott az $X$ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, álltsuk elő a sűrűségfüggvényt.
\( F(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}e^{2x}, &\text{ha } x \leq 0 \\ \frac{1}{2}+x-\frac{x^2}{2}, &\text{ha } 0 < x \leq 1 \\ 1, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
b) Itt volna a sűrűségfüggvény és állítsuk elő az eloszlásfüggvényt!
\( f(x)= \begin{cases} e^{2x}, &\text{ha } x \leq 0 \\ 1-x, &\text{ha } 0 < x \leq 1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
\( F(x) \) egy eloszlásfüggvény.
\( F(x)= \begin{cases} A+2^{x-2}, &\text{ha } x<1 \\ B-\frac{1}{x^2+1}, &\text{ha } 1 \leq x \end{cases} \)
\( A=? \qquad B=? \qquad P(0<X<2)=? \qquad f(x)=? \)
\( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.
\( f(x)= \begin{cases} Ae^{3x-6}, &\text{ha } x<2 \\ 0, &\text{ha } 2 \leq x \end{cases} \)
\( A=? \qquad F(x)=? \qquad P(1<X<3)=? \)
\( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.
\( f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt{x+1}}, &\text{ha } 0<x \leq 8 \\ 0, &\text{máshol } \end{cases} \)
\( F(x)=? \qquad P(0<X<3)=? \)
Egy sorsjegy ára 200 forint és minden ötödik sorsjegy nyer. Pista bácsinak 800 forintja van és addig veszi a sorsjegyeket, amíg nem nyer - vagy amíg el nem fogy a pénze. Jelentse X a vásárolt sorsjegyek számát. Adjuk meg az eloszlást, eloszlásfüggvényt, várható értéket és szórást.
Egy repülőtéren a leszálló gépeknek néha várakozniuk kell, hogy legyen szabad leszállópálya. A várakozási idő legfeljebb egy óra lehet, a várakozási időt az X valószínűségi változó írja le órában kifejezve, melynek sűrűségfüggvénye:
\( f(x) = \begin{cases} 6x(1-x) &\text{ha } 0<x<1 \\ 0 &\text{különben} \end{cases} \)
Egy dobozban cédulákat helyezünk el. Egy darab 1-es, két darab 2-es és három darab 3-as feliratút. A dobozokból két cédulát húzunk és jelentse X a húzott cédulákon szereplő számok összegét. Adjuk meg az eloszlást és az eloszlásfüggvényt.
\( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.
\( f(x)= \begin{cases} \frac{Ax}{\sqrt{x^2+16}}, &\text{ha } 0<x<3 \\ 0, &\text{máshol } \end{cases} \)
\( A=? \qquad F(x)=? \)
\( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.
\( f(x)= \begin{cases} \frac{1}{x^4}, &\text{ha } x<-1 \\ x+1, &\text{ha } -1\leq x \leq 0 \\ e^{-6x}, &\text{ha } 0<x \end{cases} \)
\( F(x)=? \qquad P(X<4)=? \qquad P(|X-5|<3)=? \)
\( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.
\( f(x)= \begin{cases} Ax\cdot e^{-3x^2}, &\text{ha } 0>x \\ 0, &\text{máshol } \end{cases} \)
\( A=? \qquad F(x)=? \qquad P(X<4)=?\)
\( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.
\( f(x)= \begin{cases} \frac{A \ln{x}}{x}, &\text{ha } 1<x<e \\ 0, &\text{máshol } \end{cases} \)
\( A=? \qquad F(x)=? \)
Egy dobozban van 2 piros, 3 sárga és 1 kék labda. Kiveszünk három darabot visszatevés nélkül. Jelentse X a húzott piros labdák számát. Adjuk meg az eloszlást, eloszlásfüggvényt, várható értéket és szórást.
