Kettős integrál

1.

a) $$ \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} x^2+xy^4+y^3 \; dxdy  $$

b) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=2-x$ egyenes és a koordinátatengelyek által meghatározott derékszögű háromszög!

$$ \iint_D x^2+4y^3 \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


2.

a) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=2-x$ és $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$ által közrefogott tartomány!

$$ \iint_D x+4y \; dydx  $$

b) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=\sqrt{x}$ és $y=x^2$ által közrefogott tartomány!

$$ \iint_D xy \; dydx  $$

c) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=\sqrt{x}$ és $y=x^2$ által közrefogott tartomány!

$$ \iint_D \frac{y}{\sqrt{x}} \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Végezzük el az alábbi intergálásokat.

a) $$ \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} xe^{xy} \; dxdy  $$

b) $$ \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\sqrt{\pi}} \cos{y^2} \; dydx  $$

c) $$ \int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \sqrt{1+y^3} \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} 5-x^2-y^2 \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} 3x-2y^3+2 \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{y}{(xy+2)^2} \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \left( y+e^{3x}-1 \right) \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{6y}{ \left( 2x+3y^2+1 \right)^2 } \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \left( x^2-1 \right) \cdot e^{-3y} \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


A kettős integrál kiszámolása

Az egyváltozós függvények úgy működnek, hogy egy valós számhoz rendelnek hozzá egy másik valós számot.

A függvény grafikonja egy vonal.

Határozott integrálja a-tól b-ig pedig egy terület.

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát, kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.

A kétváltozós függvények határozott integrálja egy test térfogata.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor egy téglalap alakú tartományon integrálunk.

Az x tengely szerint a-tól b-ig, az y szerint c-től d-ig.

Mindegy, hogy az y szerinti határokat írjuk előbb és az x szerintit később,

vagy fordítva.

Egyedül arra kell vigyáznunk, hogy ez a kettősintegrál

ilyen hagyma szerkezetű. Vannak külső és belső rétegei.

Amikor az y szerinti határokkal kezdünk, akkor a dy a végén van.

Persze kezdhetjük az x szerinti határokkal is, ilyenkor a dx van a végén.

Ha például ki szeretnénk számolni ezt a kettősintegrált, akkor írhatjuk úgy is, hogy az x szerinti határok vannak elöl…

és írhatjuk úgy is, hogy az y szerintiek.

A számolást viszont mindig belülről kifele kell elkezdeni. Először elintézzük a belsejét – most akkor ezek szerint x szerint.

Úgy kell x szerit integrálni, hogy az x-es tagokat integráljuk, y-t pedig konstansnak tekintjük.

x-et integráljuk,  pedig csak konstans szorzónak számít.

És  is konstans szorzónak számít.

Most, hogy ez megvan, behelyettesítjük ezeket a számokat.

De nem mindegy, hogy x vagy y helyére. Nos, x szerint integráltunk, úgyhogy x helyére.

Hát ez megvolna, most rátérünk a külső integrálásra.

Ezúttal y szerint.

Végül behelyettesítünk.

y szerint integráltunk, ezért y helyére. Nem mintha lenne más választásunk.

Hát ez kész.

Most nézzünk meg mi van akkor, ha nem egy téglalap felett akarunk integrálni, hanem mondjuk egy háromszög felett.

Ezek a térhatású rajzok csodálatosak…

de a vizuális élvezeteken kívül másra nem igazán használhatóak.

Sokkal jobban járunk, ha készítünk egy felülnézeti ábrát.

x szerint 0-tól 2-ig kell integrálnunk.

Ha y szerint is 0-tól 2-ig integrálunk, nos akkor egy téglalapot kapunk…

Az nem túl jó, mert mi a háromszögön szeretnénk integrálni.

A háromszöget úgy kapjuk meg, ha az y szerinti határok 0, és .

És most kezdjünk el integrálni.

A külső integrálás határai soha ne tartalmazzanak x-et vagy y-t.

Szerencsére a sorrendet bármikor megcserélhetjük.

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Ez most y szerinti, úgyhogy az y-okat integráljuk,

x meg olyan, mintha konstans lenne.

Aztán y helyére behelyettesítünk.

És ezt integráljuk x szerint.

A folytatás még izgalmasabb lesz…


Kettősintegrál normáltartományon

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.

Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.

Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.

Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…

Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .

Vagyis az y szerinti határ egy függvény.

Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.

Nos, legyen mondjuk

Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Először tehát y szerint integrálunk.

Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.

És most jöhet az x szerinti integrálás.

Csak előbb egy kicsit összevonunk.

Nem is olyan kicsit…

Hát ez nem volt túl kellemes.

Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.

Integráljuk a D tartományon az  függvényt.

Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.

Itt van például ez a tartomány.

Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.

Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:

Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,

vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.

Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.

Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek  és ,

az y szerinti határok pedig két függvény,  és  .

Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…

vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.

Egy 2 sugarú kört.

Lássuk csak, a kör egyenlete:

És ha , akkor

Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.

Integráljuk ezen a körön az  függvényt.

A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.

Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.

A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.

Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.

Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.

Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.

A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:

A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása

Főleg, ha tudjuk, hogy

Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.

Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.

A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,

és a sugarat.

És már kész is van.

A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.

Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.

Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.

Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.

A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:

Lássunk néhány ilyen esetet.

Integráljuk a  tartományon a következő függvényt:

Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.

A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.

Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.

A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.

De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,

és már kész is.

Itt jön aztán egy másik.

Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:


A polárkoordinátás helyettesítés

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.

Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.

Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.

Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…

Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .

Vagyis az y szerinti határ egy függvény.

Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.

Nos, legyen mondjuk

Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Először tehát y szerint integrálunk.

Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.

És most jöhet az x szerinti integrálás.

Csak előbb egy kicsit összevonunk.

Nem is olyan kicsit…

Hát ez nem volt túl kellemes.

Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.

Integráljuk a D tartományon az  függvényt.

Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.

Itt van például ez a tartomány.

Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.

Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:

Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,

vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.

Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.

Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek  és ,

az y szerinti határok pedig két függvény,  és  .

Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…

vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.

Egy 2 sugarú kört.

Lássuk csak, a kör egyenlete:

És ha , akkor

Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.

Integráljuk ezen a körön az  függvényt.

A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.

Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.

A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.

Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.

Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.

Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.

A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:

A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása

Főleg, ha tudjuk, hogy

Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.

Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.

A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,

és a sugarat.

És már kész is van.

A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.

Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.

Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.

Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.

A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:

Lássunk néhány ilyen esetet.

Integráljuk a  tartományon a következő függvényt:

Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.

A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.

Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.

A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.

De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,

és már kész is.

Itt jön aztán egy másik.

Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:


Néhány vicces kettősintegrál

Most pedig néhány egészen vicces integrálás következik.

Itt is van az első:

Ebben a trükk az, hogy a belső integrálás x-szerinti, viszont az ilyen  sajnos parciális integrálás.

Fenének van kedve parciálisan integrálni, így aztán megcseréljük az integrálás sorrendjét.

Most a belső integrálás y-szerinti, tehát x itt olyan, mintha konstans lenne, úgyhogy csak annyit kell integrálni, hogy …

na jó, valami c-szer

Ja és még itt van ez is, hogy a kitevőben valami a-szor y van.

A következő még viccesebb lesz.

Íme, itt is van:

Na ezzel meg az a probléma, hogy y-szerint nem igazán tudjuk integrálni.

Úgyhogy kénytelenek vagyunk x-szerint.

Úgy nem lesz nehéz, mert x-szerint  csak konstansnak számít.

A csere miatt viszont kívülre került az ismeretlent tartalmazó határ…

ami nem maradhat így, ezért egy kis trükkre van szükség.

Jelenleg x-szerint 0-tól integrálunk -ig

és y-szerint x-től -ig.

De mindezt fordítva is nézhetjük.

Aztán itt jön egy még izgalmasabb eset.

Az a helyzet, hogy y-szerint meglehetősen kellemetlen lenne ezt integrálni.

Ezért megint megcseréljük a sorrendet.

A csere miatt viszont kívülre került az ismeretlent tartalmazó határ…

ami nem maradhat így, ezért ismét egy kis trükkre van szükség.

Jelenleg x-szerint 0-tól integrálunk 4-ig

és y-szerint -től 2-ig.

De mindezt fordítva is nézhetjük.


FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál