Hatványsorok & Taylor sorok

 

1. Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.

a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n} (x-2)^n $$

b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{ n^2 3^n } $$

c) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{ 2^n n! } $$

d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 5^n (x+1)^{2n}}{ n^2 } $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Adjuk meg az $ f(x)=\cos{x} $ függvény $a=0$ pontban felírt Taylor polinomját!

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. 

a) Írjuk fel az $ f(x)=e^x $ Taylor sorát $x=0$-nál.

b) Írjuk fel az $ f(x)=\ln{x} $ Taylor sorát $x=1$-nél.

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Adjuk meg a következő függvények Taylor sorát!

a) \( f(x)=e^{x-3} \)

b) \( f(x)=\sin{(x+4)} \)

c) \( f(x)=e^{x^2-6x+13} \)

d) \( f(x)=e^{x-2} \quad x=3 \)

e) \( f(x)=\frac{1}{e^{4x-12} } \)

f) \( f(x)=\frac{1}{e^{x^2-8x} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Adjuk meg a következő végtelen sorok összegét!

a) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n}{n!} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} 4^n $$

b) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^n}{(2n)!} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n}{n} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-9)^n}{(2n+1)!} $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


 

6. Írjuk fel a nulla körüli hatványsorukat!

a) \( f(x)=\frac{1}{4+5x^4} \)

b) \( f(x)= \frac{x^4}{3+4x^3} \)

c) \( f(x)=\frac{4}{x^2+6x+7} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Írjuk fel a nulla körüli hatványsorukat!

a) \( f(x)=\arctan{(4x)} \)

b) \( f(x)=\ln{(x+2)} \)

c) Adjuk meg az $ f(x)=\ln{(2x+5)} \; x_0=2 $ közepű és $x_0=-3 $ közepű hatványsorát!

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Fejtsük sorba az alábbi függvényeket!

a) \( f(x)=\arctan{(x+1)} \)

b) \( g(x)=\ln{(x+4)} \)

c) \( h(x)=\frac{1}{(x+4)^2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Fejtsük sorba az alábbi függvényeket!

a) \( f(x)=\frac{1}{x+4} \)

b) \( g(x)=\frac{x+6}{x+4} \)

c) \( h(x)=\frac{3x^4}{x+4} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Adjuk meg az alábbi függvények hatványsorát!

a) \( f(x)=\sqrt[3]{1+x} \)

b) \( f(x)=\sqrt[4]{16-x^2} \)

c) \( f(x)=\sqrt{9x^4-5x^6} \)

d) \( f(x)=\frac{4x^3}{\sqrt[4]{16-3x^6}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Hatványsorok

Azokat a végtelen sorokat, amelyek így néznek ki, hatványsornak nevezzük:

Itt van például egy hatványsor.

És derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.

A hatványsoroknál általában a gyök kritérium szokott beválni.

Ha  akkor  

és  itt úgy viselkedik, mint egy konstans, vagyis sajátmagához tart.

A sor akkor konvergens, ha ez kisebb, mint 1.

A sárgával jelölt tartományban helyezkednek el azok az x-ek amelyekre a sor konvergens. 

Ezt hívjuk konvergencia-tartománynak.

Az   pedig a konvergencia-sugár.

A kérdés, hogy vajon konvergens-e a sor a konvergencia-tartomány végpontjaiban?

Nos, ezt mindig még külön meg kell vizsgálni.

A jelek szerint ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens.

Most lássuk a másik végpontot.

Nos, itt a sor divergens.

-t a hatványsor középpontjának nevezzük.

-ban a hatványsor mindig abszolút konvergens.

Az  pont sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.

A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat  pedig külön kell vizsgálni.

Lássuk mi a helyzet ezzel:

Megint gyök kritérium:

És most jöhetnek a végpontok.

Az ebben a végpontban kapott sor konvergens, sőt abszolút konvergens.

A másik végpontban szintén.

Itt jön aztán egy olyan hatványsor, amire nem lesz jó a gyök kritérium.

Az  miatt itt a hányados kritérium lesz a nyerő.

Írhatunk x helyére bármilyen számot, ez mindig teljesülni fog.

A jelek szerint tehát a sor miden x-re konvergens.


A Taylor sor

Igazán fantasztikus Taylor sorok

Furmányos Taylor soros feladatok

Sorok összegének kiszámolása a Taylor sor segítségével

FELADAT | Hatványsorok

FELADAT | Hatványsorok

FELADAT | Hatványsorok

FELADAT | Hatványsorok

FELADAT | Hatványsorok

FELADAT | Hatványsorok

FELADAT | Hatványsorok

Függvények hatványsorba fejtése

Függvények hatványsorba fejtése 2.0

Függvények hatványsorba fejtése 3.0

Függvények hatványsorba fejtése 4.0

A binomiális sor