Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Matek 1 Corvinus

Kategóriák
  • Rémes előzmények
  • Függvények
  • Összetett függvény és inverzfüggvény
  • Sorozatok
  • Küszöbindex és monotonitás
  • Sorok
  • Függvények határértéke és folytonossága
  • Deriválás
  • Hatványsorok & Taylor sorok
  • Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
  • Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
  • L'hospital-szabály, Taylor-polinom, Taylor-sor
  • Mátrixok, vektorok
  • Független és összefüggő vektorok
  • Lineáris egyenletrendszerek
  • Determináns, sajátérték, sajátvektor
  • Határozatlan integrálás, primitív függvény
  • Határozott integrálás
  • Kettős integrál
  • Kétváltozós függvények

Hatványsorok & Taylor sorok

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Hatványsorok
02
 
A Taylor sor
03
 
Igazán fantasztikus Taylor sorok
04
 
Furmányos Taylor soros feladatok
05
 
Sorok összegének kiszámolása a Taylor sor segítségével
06
 
Függvények hatványsorba fejtése
07
 
Függvények hatványsorba fejtése 2.0
08
 
Függvények hatványsorba fejtése 3.0
09
 
Függvények hatványsorba fejtése 4.0
10
 
A binomiális sor
11
 
FELADAT | Hatványsorok
12
 
FELADAT | Hatványsorok
13
 
FELADAT | Hatványsorok
14
 
FELADAT | Hatványsorok
15
 
FELADAT | Hatványsorok
16
 
FELADAT | Hatványsorok
17
 
FELADAT | Hatványsorok

konvergenciasugár

Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.

A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

konvergenciatartomány

Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.

A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Taylor polinom

Legyen $f(x)$ $k$-szor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt $k$-adfokú Taylor polinomja:

\( T(x) = \sum_{n=0}^k \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Taylor sor

Legyen $f(x)$ akárhányszor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt Taylor sora:

\( T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Nevezetes függvények Taylor sora

Az $e^x$, $\ln{x}$, $\sin{x}$ és $\cos{x}$ függvények Taylor sorai:

\( e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!} x^n } \quad \ln{x}=\sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{ (-1)^{n-1}}{n}(x-1)^n} \)

\( \cos{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{(-1)^n}{ (2n)!} x^{2n}} \quad \sin{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{ (-1)^n}{ (2n+1)!} x^{2n+1}} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hatványsor

Azokat a végtelen sorokat, amelyek így néznek ki, hatványsornak nevezzük:

\( \sum{a_n (x-x_0)^n} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.

a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n} (x-2)^n $$

b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{ n^2 3^n } $$

c) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{ 2^n n! } $$

d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 5^n (x+1)^{2n}}{ n^2 } $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Adjuk meg az $ f(x)=\cos{x} $ függvény $a=0$ pontban felírt Taylor polinomját!

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

a) Írjuk fel az $ f(x)=e^x $ Taylor sorát $x=0$-nál.

b) Írjuk fel az $ f(x)=\ln{x} $ Taylor sorát $x=1$-nél.

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Adjuk meg a következő függvények Taylor sorát!

a) \( f(x)=e^{x-3} \)

b) \( f(x)=\sin{(x+4)} \)

c) \( f(x)=e^{x^2-6x+13} \)

d) \( f(x)=e^{x-2} \quad x=3 \)

e) \( f(x)=\frac{1}{e^{4x-12} } \)

f) \( f(x)=\frac{1}{e^{x^2-8x} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Adjuk meg a következő végtelen sorok összegét!

a) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n}{n!} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} 4^n $$

b) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^n}{(2n)!} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n}{n} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-9)^n}{(2n+1)!} $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Írjuk fel a nulla körüli hatványsorukat!

a) \( f(x)=\frac{1}{4+5x^4} \)

b) \( f(x)= \frac{x^4}{3+4x^3} \)

c) \( f(x)=\frac{4}{x^2+6x+7} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Írjuk fel a nulla körüli hatványsorukat!

a) \( f(x)=\arctan{(4x)} \)

b) \( f(x)=\ln{(x+2)} \)

c) Adjuk meg az $ f(x)=\ln{(2x+5)} \; x_0=2 $ közepű és $x_0=-3 $ közepű hatványsorát!

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Fejtsük sorba az alábbi függvényeket!

a) \( f(x)=\arctan{(x+1)} \)

b) \( g(x)=\ln{(x+4)} \)

c) \( h(x)=\frac{1}{(x+4)^2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Fejtsük sorba az alábbi függvényeket!

a) \( f(x)=\frac{1}{x+4} \)

b) \( g(x)=\frac{x+6}{x+4} \)

c) \( h(x)=\frac{3x^4}{x+4} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Adjuk meg az alábbi függvények hatványsorát!

a) \( f(x)=\sqrt[3]{1+x} \)

b) \( f(x)=\sqrt[4]{16-x^2} \)

c) \( f(x)=\sqrt{9x^4-5x^6} \)

d) \( f(x)=\frac{4x^3}{\sqrt[4]{16-3x^6}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{nx^n}{n+2} $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{\sqrt{n}} $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^n x^n}{n!} $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n x^n}{n!} $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{n^2+4}} $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(x+3)^n}{5^n} $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{nx^n}{4^n(n^2+1)} $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Hatványsorok

Azokat a végtelen sorokat, amelyek így néznek ki, hatványsornak nevezzük:

Itt van például egy hatványsor.

És derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.

A hatványsoroknál általában a gyök kritérium szokott beválni.

Ha  akkor  

és  itt úgy viselkedik, mint egy konstans, vagyis sajátmagához tart.

A sor akkor konvergens, ha ez kisebb, mint 1.

A sárgával jelölt tartományban helyezkednek el azok az x-ek amelyekre a sor konvergens. 

Ezt hívjuk konvergencia-tartománynak.

Az   pedig a konvergencia-sugár.

A kérdés, hogy vajon konvergens-e a sor a konvergencia-tartomány végpontjaiban?

Nos, ezt mindig még külön meg kell vizsgálni.

A jelek szerint ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens.

Most lássuk a másik végpontot.

Nos, itt a sor divergens.

-t a hatványsor középpontjának nevezzük.

-ban a hatványsor mindig abszolút konvergens.

Az  pont sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.

A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat  pedig külön kell vizsgálni.

Lássuk mi a helyzet ezzel:

Megint gyök kritérium:

És most jöhetnek a végpontok.

Az ebben a végpontban kapott sor konvergens, sőt abszolút konvergens.

A másik végpontban szintén.

Itt jön aztán egy olyan hatványsor, amire nem lesz jó a gyök kritérium.

Az  miatt itt a hányados kritérium lesz a nyerő.

Írhatunk x helyére bármilyen számot, ez mindig teljesülni fog.

A jelek szerint tehát a sor miden x-re konvergens.


A Taylor sor

Igazán fantasztikus Taylor sorok

Furmányos Taylor soros feladatok

Sorok összegének kiszámolása a Taylor sor segítségével

FELADAT | Hatványsorok

FELADAT | Hatványsorok

FELADAT | Hatványsorok

FELADAT | Hatványsorok

FELADAT | Hatványsorok

FELADAT | Hatványsorok

FELADAT | Hatványsorok

Függvények hatványsorba fejtése

Függvények hatványsorba fejtése 2.0

Függvények hatványsorba fejtése 3.0

Függvények hatványsorba fejtése 4.0

A binomiális sor

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim