Rémes előzmények

1. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=(-x-2)^2 \)

b) \( f(x)=(-x-2)^2+3 \)

c) \( f(x)=\sqrt{x-3}+2 \)

d) \( f(x)=-\sqrt{x} \)

e) \( f(x)=\sqrt{-2x+6}+2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=x^2-6x+7 \)

b) \( f(x)=x^2+5x+6 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Végezzük el az alábbi műveleteket.

a) \( \frac{6^3}{6^2} \)

b) \( \frac{6^3}{6^5} \)

c) \( \left( 6^5 \right)^3 \)

d) \( 9^{ \frac{1}{2} } \)

e) \( 8^{ \frac{4}{3} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Oldjuk meg az alábbi logaritmusos egyenleteket.

a) \( 4^{x+3}+5=13 \)

b) \( 4\cdot 3^{x+1} = 26-3^x\)

c) \( \log_2{(x+5)}=3 \)

d) \( \log_2{(2x+6)}+1=3+\log_2{x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Határozzuk meg a a szinuszát és koszinuszát a következő szögeknek: 0°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 180°

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Oldjuk meg az alábbi trigonometrikus egyenleteket.

a) \( \sin{x}=\frac{1}{2} \)

b) \( \cos{x} = \frac{1}{2} \)

c) \( \sin{3x}=-\frac{1}{2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Oldjuk meg az alábbi trigonometrikus egyenleteket.

a) \( 2 \cos^2{x}-7\cos{x}+3=0 \)

b) \( 2 \sin^2{x} + 4 \cos^2{x}-3\cos{x}-1=0 \)

c) \( \sin{2x}+\cos{x} = 0 \)

d) \( \sin{2x} + \cos{2x} + \sin^2{x} = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Adjuk meg az $ f(x)=16-x^2 $ függvény inverzét, ha

a) \( x \in R \)

b) \( x \in R^{+} \)

c) \( -4 \leq x \leq 0 \)

d) \( -4 \leq x \leq 4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Adjuk meg az alábbi függvények inverzeit.

a) \( f(x)=2^{5-4x} \)

b) \( f(x)=3+\log_2{(x-5)} \)

c) \( f(x)=4+e^{2x-1} \)

d) \( f(x)=7+\ln{ \frac{x+3}{4} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Függvények ábrázolása, függvénytranszformációk

Kezdjük egy nagyon egyszerű dologgal.

Nézzük meg, hogyan működnek a függvények.

Nos itt van az x tengely, tele számokkal.

x tengely

A függvény pedig ezek közül a számok közül bizonyos számokhoz hozzárendel egy másik számot.

Mondjuk hozzárendeli a négyzetüket.

Ezt a függvényt így jelöljük, hogy

Legtöbbször ezt a harmadik jelölést fogjuk használni.

Azokat a szerencsés x-eket amikhez a függvény hozzárendel valamit, értelmezési tartománynak nevezzük és -el jelöljük.

Az x2-nél ez az egész x tengely.

De itt jön például a  

ami negatív x-ekre nincs értelmezve.

Így aztán az értelmezési tartomány:

Az y tengelynek azt a részét, amit az x-ekhez hozzárendeltünk értékkészletnek nevezzük.

Az értékkészlet jele

Most pedig térjünk vissza az x2 függvényhez.

Az x2 függvény grafikonja egy parabola, a parabolának a csúcsa az origóban van.

De ha x helyére azt írjuk, hogy

nos akkor odébb megy.

A parabola csúcsa mindig ott van, ahol ez nulla.

Most éppen -nál.

Itt jön aztán mondjuk ez.

Ha a négyzeten kívül még hozzáadunk hármat,

nos az az y tengelyen tolja el 3-mal.

Ezt belső függvény transzformációnak nevezzük,

ezt pedig külsőnek.

Ha van egy ilyen, hogy

akkor a belső transzformáció miatt az x tengely mentén tolódik el,

a külső miatt pedig az y tengely mentén.

Lássuk mi történik, ha ide 2x-et írunk.

Nos ekkor az y tengely mentén van egy kis megnyúlás,

de ez nem annyira izgalmas.

Ami sokkal izgalmasabb, hogy az eltolódás is megváltozik.

És most lássuk, hogyan nézhet ki ez.

A -et már ismerjük.

Ezt kell arrébb tolnunk az x tengelyen lássuk csak…

3-mal.

Az y tengelyen pedig 2-vel.

Ha pedig van egy ilyen, hogy

nos akkor a 3x miatt kicsit megnyúlik,

aztán pedig a szokásos.

Ha a  elé írunk egy mínusz jelet, akkor ezzel a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.

Ha belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor ezáltal az y tengelyre tükrözzük.

És ha kedvünk van, tükrözhetjük a függvényt mindkét tengelyre is.

A helyzet akkor válik izgalmassá, ha ezt ötvözzük az eddigi tologatással.

Nézzük meg például, hogy vajon hogyan nézhet ki ez a függvény.

Lesz egy kis eltolódás az x tengelyen,

aztán az y tengelyen is,

és végül a mínuszjel miatt egy tükrözés.

Ha a mínuszjel kívül van, nos akkor egészen más a helyzet:

Hát ez remek. Ez a külső függvénytranszformáció meg belső függvénytranszformáció igazán nagyon izgalmas elfoglaltság. Most pedig nézzük mi jöhet még.


A teljes négyzetté kiegészítés művészete

A teljes négyzetté kiegészítés művészete.

Az előző képsorban látott függvény-transzformációk alapján megpróbáljuk ábrázolni ezt a függvényt.

Ahhoz, hogy eldönthessük, ez a függvény milyen transzformációknak esett áldozatául, először egy nagyon vicces dolgot kell csinálnunk vele.

Ezt a dolgot teljes négyzetté kiegészítésnek nevezzük és még később is sokszor kelleni fog, így hát essünk túl rajta.

A lényeg ez a két azonosság:

Most éppen ebbe az irányba használjuk majd őket.

Addig-addig nézegetjük a függvényt, amíg belelátjuk valamelyik azonosságot.

Lássuk csak mennyi lehet vajon b.

Nos ennyi: 

És ezt már tudjuk ábrázolni, ha még emlékszünk az előző képsorra.

Nézzük meg ezt is:


Az exponenciális függvények és a hatványazonosságok

Most pedig itt az ideje, hogy újabb függvényekkel ismerkedjünk meg.

A következő képsorban már jönnek is az exponenciális függvények.

Ez exponenciális függvényekkel való ismerkedésünket kezdjük az alapokkal, a hatványazonosságokkal.

Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy

de semmi ördögi nem lesz itt.

Az első hatványazonosság azzal fog foglalkozni, hogy mi történik, ha megszorozzuk ezt mondjuk azzal, hogy 62.

Hát nézzük meg.

Nos ha ezeket összeszorozzuk, akkor

a kitevők összeadódnak.

Ez lesz az első azonosság.

HATVÁNYAZONOSSÁGOK

Most nézzük meg mi történik, ha ezeket elosztjuk egymással.

De azért van itt egy apró kellemetlenség.

Már jön is.

Nos amikor a nevező kitevője nagyobb, ilyenkor az eredmény egy tört.

Itt pedig a kitevő negatív lesz.

Most lássuk, hogyan kell hatványt hatványozni.

Nos így:

A kitevőket kell összeszoroznunk.

Itt van aztán ez, hogy

Na ez vajon mi lehet?

Nézzük meg mi történik ha alkalmazzuk rá a legújabb azonosságunkat.

Vagyis ez valami olyan, amit ha négyzetre emelünk, akkor 9-et kapunk.

Ilyen éppenséggel van, ezt hívjuk -nek.

A törtkitevő tehát gyökvonást jelent.

Az előbbi két azonosságot kicsit továbbfejlesztve kapunk egy harmadikat.

Ha van egy ilyen, hogy

nos akkor ezen ki is próbálhatjuk ezt a képletet.

Jön itt még néhány újabb képlet,

de most már lássuk a függvényeket.

Így néz ki a 2x függvény. Ez pedig a 3x.

Ha az alap egy 2 és 3 közti szám, akkor a függvény a 2x és a 3x között van.

Például egy ilyen szám a

2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…

Ez a szám mágikus jelentőséggel bír a matematikában és az egyszerűség kedvéért elnevezték e-nek.

Ez a függvény tehát az ex.

Az összes 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvény valahogy így néz ki.

Ha az alap 1-nél kisebb, nos az egy másik állatfajta.


Színre lép a logaritmus

Színre lép a logaritmus

És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.

Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.

Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.

Itt van például ez:

Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.

Nos 23=8, tehát a válasz…

Vagy nézzük meg ezt:

Nos lássuk csak

Itt jön aztán egy nehezebb ügy:

A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.

A jó válasz:

Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:

A kérdés, 8 a hányadikon a 16.

Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.

Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,

utána pedig a 2-ből 16-ot.

Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:

Sőt ez sem:

Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.

LOGARITMUS AZONOSSÁGOK

A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez

Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.

És voila.

Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy 

akkor ebből így kapjuk meg x-et.

A megfordítását is jegyezzük meg, ha

akkor így kapjuk meg x-et.

Exponenciális egyenlet megoldása

Logaritmikus egyenlet megoldása

Oldjuk meg például ezeket:

Most pedig lássuk a függvényeket.

Nos a logaritmus csak pozitív x-ekre van értelmezve.

Ha az alap 1-nél nagyobb, akkor a függvény növekszik.

Ha 1-nél kisebb, akkor csökken.


Szinusz, koszinusz és társai

Az inverzfüggvény

Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.

Az inverz kiszámolásának menete a következő:

Legyen mondjuk

Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:

Itt x-hez rendelünk y-t.

Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.

Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:

Az inverz jele:

Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.

Például az  függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .

A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.

De ha a negatív számokat kiiktatjuk,

nos akkor már minden rendben.

Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez

különböző y-okat rendelnek.

Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.

Az függvény injektív, ha  akkor .

Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.

És van itt még egy dolog.

Legyen a függvényünk az  és értelmezési tartománya .

Nos, ekkor az értékkészlete .

Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.

Ha  invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.

Nézzünk néhány példát.

Adjuk meg az  függvény inverzét, ha

Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.

Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.

Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.

Lássuk az inverzt

Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.

Lássuk az inverzt!

Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.

Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.

Lássunk még egyet.

Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.

 és

Végül nézzük meg ezt is.

Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.

Van itt egy függvény

és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.

Nos ez.

Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.

A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.

És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.

Itt jön aztán egy másik remek függvény az

Nos ennek a függvénynek az inverze az

Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.

És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.

Nézzük meg például ennek az inverzét:

A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.

Vagy itt van például egy másik:

Az  és az szintén egymás inverzei.

Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.

De talán egy még belefér…


Újabb inverzfüggvények

Minden függvény egy hozzárendelés, aminek az inverze, ha az egyáltalán létezik, az fordított hozzárendelés.

Az inverz kiszámolásának menete a következő:

Legyen mondjuk

Előszöris írjuk a függvényt y=izé alakban:

Itt x-hez rendelünk y-t.

Az inverz a fordított hozzárendelés, ahol y-hoz rendelünk x-et, ezért a cél mindig az, hogy az Y=izét x=bigyó alakra rendezzük.

Végül x-et és y-t kicseréljük (van aki nem) és így kapjuk az inverzt:

Az inverz jele:

Van azonban egy kis gond. Nem minden függvénynek van inverzze, ugyanis nem minden függvénynél fordítható meg a hozzárendelés.

Például az  függvény esetében és amit megfordítani nem tudunk: .

A gond azzal van, hogy ez a függvény két különböző számhoz (a 2-höz és a -2-höz is) ugyanazt a számot rendeli és emiatt a hozzárendelés nem fordítható meg.

De ha a negatív számokat kiiktatjuk,

nos akkor már minden rendben.

Inverze tehát csak azon függvényeknek van, amik két különböző x-hez

különböző y-okat rendelnek.

Ezt úgy mondjuk, hogy kölcsönösen egyértelműek, vagy kicsit rövidebben injektívek.

Az függvény injektív, ha  akkor .

Minden szigorúan monoton függvény injektív és így invertálható.

És van itt még egy dolog.

Legyen a függvényünk az  és értelmezési tartománya .

Nos, ekkor az értékkészlete .

Az inverz függvény a fordított hozzárendelés, tehát ilyenkor ezek fölcserélődnek.

Ha  invertálható, akkor az értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével, és értékkészlete az inverz értelmezési tartományával.

Nézzünk néhány példát.

Adjuk meg az  függvény inverzét, ha

Nincs inverz, mert a függvény nem injektív.

Például 4-hez és -4-hez is ugyanazt rendeli, éppenséggel 0-t.

Ebben az esetben viszont egészen más a helyzet, itt ugyanis x csak pozitív lehet. Márpedig nincs két pozitív szám, aminek a négyzete ugyanaz, így a függvény injektív.

Lássuk az inverzt

Ebben az esetben is van inverz, mert a függvény injektív.

Lássuk az inverzt!

Ebben az esetben a függvénynek nincs inverze, mert ezúttal sem injektív, például 4-hez és -4-hez is megint ugyanazt rendeli, 0-t.

Sajna ilyenkor sincs inverz, mert a függvény nem injektív.

Lássunk még egyet.

Van itt ez a függvény, keressük az inverzét.

 és

Végül nézzük meg ezt is.

Beszéljünk egy kicsit az inverz geometriai jelentéséről.

Van itt egy függvény

és nézzük meg, mi történik a függvény grafikonjával, amikor invertáljuk.

Nos ez.

Tükrözzük a függvénygrafikonját az y=x egyenletű egyenesre.

A rajzon az is remekül látszik, hogy a gyökös függvények inverze sosem a teljes paraola, mindig csak a fele.

És ez fordítva is igaz: a teljes parabolát sosem tudjuk invertálni, mindig csak a felét.

Itt jön aztán egy másik remek függvény az

Nos ennek a függvénynek az inverze az

Az exponenciális függvények inverzei a logaritmusfüggvények.

És ez kölcsönös, tehát a logaritmusfüggvények inverzei az exponenciális függvények.

Nézzük meg például ennek az inverzét:

A kitevőből úgy tudjuk x-et előcsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal logaritmusát.

Vagy itt van például egy másik:

Az  és az szintén egymás inverzei.

Vigyázni kell ezzel az inverz függvény számolással, nagy mennyiségben ugyanis ártalmas lehet.

De talán egy még belefér…


Az egységkör

Trigonometrikus egyenletek megoldása