Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Matek 1 Corvinus

Kategóriák
  • Rémes előzmények
  • Függvények
  • Összetett függvény és inverzfüggvény
  • Sorozatok
  • Küszöbindex és monotonitás
  • Sorok
  • Függvények határértéke és folytonossága
  • Deriválás
  • Hatványsorok & Taylor sorok
  • Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
  • Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
  • L'hospital-szabály, Taylor-polinom, Taylor-sor
  • Mátrixok, vektorok
  • Független és összefüggő vektorok
  • Lineáris egyenletrendszerek
  • Determináns, sajátérték, sajátvektor
  • Határozatlan integrálás, primitív függvény
  • Határozott integrálás
  • Kettős integrál
  • Kétváltozós függvények

Függvények

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
00
 
Függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet
01
 
Függvények ábrázolása, függvénytranszformációk
02
 
Monotonitás, konvexitás, szélsőértékek, értékkészlet
03
 
A másodfokú függvény ábrázolása
04
 
Hatványfüggvények ábrázolása, függvények paritása
05
 
Négyzetgyök függvény ábrázolása
06
 
Abszolútérték függvény ábrázolása
07
 
Trükkösebb abszolútértékes függvények
08
 
Az 1/x függvény ábrázolása
09
 
Az exponenciális függvény ábrázolása
10
 
Az e^x függvény ábrázolása
11
 
A logaritmus függvény ábrázolása
12
 
FELADAT | Másodfokú függvények
13
 
FELADAT | Gyökös függvények
14
 
FELADAT | Abszolútértékes függvények
15
 
FELADAT
16
 
FELADAT
17
 
FELADAT
18
 
FELADAT
19
 
FELADAT
20
 
FELADAT
21
 
FELADAT
22
 
FELADAT
23
 
FELADAT
24
 
FELADAT
25
 
FELADAT

Értékkészlet

Adott az $f: A \mapsto B$ függvény. A függvény értékkészlete azoknak az elemeknek a halmaza a $B$ halmazban, amelyek hozzá vannak rendelve valamely $A$ halmazbeli elemekhez.

Az értékkészlet jele az angol range szó alapján, ami azt jelenti, hogy kiterjedés: $R_f$ vagy az akadálymentesített jelölése: É.K.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Értelmezési tartomány

Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.

Függvény esetén azokat a szerencsés $x$-eket, amelyekhez a függvény hozzárendel egy $y$ számot, a függvény értelmezési tartományának nevezzük.

A következőket érdemes megjegyezni:

\( \sqrt[ \text{páros}]{ \text{ez itt} \geq 0} \quad \sqrt[ \text{páratlan} ]{ \text{ez itt bármi}} \quad \log{ \left( \text{ez itt} > 0 \right)} \quad \text{ tört nevező} \neq 0  \)

pl.: $ f(x)=\frac{4x}{(x-3)^4} $ értelmezési tartománya $ \forall x \in R \setminus \{ -3 \} $, mert nincs gyök és nincs logaritmus, de tört van, tehát a nevező nem lehet nulla ($x \neq 3$)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Függvénytranszformációk

Belső függvénytranszformáció: $f(x+a)$, ez úgy működik, hogy az $x$ tengely mentén tolja el a függvény grafikonját.

Külső függvénytranszformáció: $f(x)+a$, ez pedig az $y$ tengelyen tolja el a függvényt.

Függvény szorzása számmal: $a\cdot f(x)$, ilyenkor megnyújtjuk a függvényt az $y$ tengely szerint.

Függvény változójának szorzása egy számmal: $f(a \cdot x)$, ilyenkor az $x$ tengely szerint nyújtjuk a függvényt.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Függvény konvexitása

Konkávnak nevezzük a függvényt azon a szakaszon, ahol "szomorú hangulatban" van, vagy precizebben ha a szakaszon a függvény bármely két pontját összekötve a függvény a két pontot összekötő egyenes felett halad.

Konvexnek nevezzük a függvényt azon a szakaszon, ahol "vidám hangulatban" van, vagy precizebben ha a szakaszon a függvény bármely két pontját összekötve a függvény a két pontot összekötő egyenes alatt halad.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Függvény monotonitása

Az $f(x)$ függvényt egy $]a,b[$ intervallumon monoton növekedőnek mondunk, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) \leq f(x_2) $

Szigorúan monoton növekedő, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) < f(x_2) $

Az $f(x)$ függvényt egy $]a,b[$ intervallumon monoton csökkenőnek mondunk, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) \geq f(x_2) $

Szigorúan monoton csökkenő, ha bármely $x_1, x_2 \in ]a,b[$ esetén, ha $x_1 < x_2$, akkor $f(x_1) > f(x_2) $

 

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Függvény szélsőértéke

Függvény szélsőértékén a maximumát illetve minimumát értjük.

Precízebben:

Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában (globális) maximuma van, ha minden $x\in D_f$ esetén $f(x) \leq f(x_0)$.

Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában (globális) minimuma van, ha minden $x\in D_f$ esetén $f(x) \geq f(x_0)$.

Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában lokális maximuma van, ha létezik olyan nem nulla környezete, hogy ott ő a maximum.

Az $f(x)$ függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontjában lokális minimuma van, ha létezik olyan nem nulla környezete, hogy ott ő a minimum.

 

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Függvények paritása

Minden olyan függvényt, ami az $y$ tengelyre szimmetrikus, páros függvénynek hívunk. Ezek a függvények azt tudják, hogy bármely $x$-re amelyre értelmezve vannak:

\( f(-x) = f(x) \)

Azokat a függvényeket, amelyek az origóra szimmetrikusak, páratlan függvénynek nevezzük. A páratlan függvények úgy működnek, hogy bármely $x$-re amelyre értelmezve vannak:

\( f(-x) = - f(x) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Polinomfüggvény

Ha az $x$ különböző pozitív egész kitevős hatványait összeadjuk vagy kivonjuk, akkor polinomokat kapunk.

A polinomfüggvény általános alakja:

\( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots a_1 x + a_0 \)

A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=(x-3)^2 \)

b) \( f(x)=(-x-2)^2 \)

c)  \( f(x)=(x-4)^2-3 \)

d)  \( f(x)=\sqrt{x-3}+2 \)

e)  \( f(x)=-\sqrt{x} \)

f)  \( f(x)=\sqrt{-x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Ábrázoljuk a következő függvényeket.

a) \( f(x)=(x-3)^2 \)

b) \( f(x)=x^2-3 \)

c) \( f(x)=(x-4)^2-8 \)

d) \( f(x)=(x+2)^2-4 \)

e) \( f(x)=2\cdot x^2 \)

f) \( f(x)=3\cdot(x-4)^2-5 \)

g) \( f(x)=(-x+3)^2-8 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=x^2-6x+7 \)

b) \( f(x)=x^2+5x+6 \)

c)  \( f(x)=3x^2-12x+9 \)

d)  \( f(x)=-2x^2+2x-12 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Ábrázoljuk a következő függvényeket.

\( f(x)=x^2 \)

\( f(x)=x^3 \)

\( f(x)=x^4 \)

\( f(x)=x^5 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=\sqrt{x-5} \)

b) \( f(x)=\sqrt{6-2x} \)

c)  \( f(x)=-\sqrt{3x+6} \)

d)  \( f(x)=\sqrt{2x-4}+3 \)

e)  \( f(x)=\sqrt{4x-12}+1 \)

f)  \( f(x)=\sqrt{4-2x}-3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=|x-5| \)

b) \( f(x)=|7-x| \)

c)  \( f(x)=|6-2x| \)

d)  \( f(x)=|x+5|-3 \)

e)  \( f(x)=|3x-12|+1 \)

f)  \( f(x)=2-|4-2x| \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=|x^2-4| \)

b) \( f(x)=|x^2-5x| \)

c)  \( f(x)=||x|-3| \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=\frac{1}{x-3} \)

b) \( f(x)=\frac{x+3}{x-2} \)

c)  \( f(x)=\frac{2x+5}{x+3} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=3^{x-5} \)

b) \( f(x)=3^{x-2}+3 \)

c)  \( f(x)=-2^{x-3}+4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=e^{x-5} \)

b) \( f(x)=e^{x-2}+3 \)

c)  \( f(x)=-e^{x-3}+4 \)

d)  \( f(x)=e^{3-x}+3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=\ln{(x-5)} \)

b) \( f(x)=\ln{(x-2)}+3 \)

c)  \( f(x)=-\ln{(x-3)}+4 \)

d)  \( f(x)=\ln{(2-x)}+3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

13. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=\sqrt{x+4} \)

b) \( f(x)=\sqrt{5-x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=|x|-3 \)

b) \( f(x)=|x-3| \)

c)  \( f(x)=|x-3|-5 \)

d)  \( f(x)=-|x+1|+2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Ábrázoljuk az $f(x)=|x-3|-5 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Ábrázoljuk az $f(x)=-|x+1|+2 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Ábrázoljuk az $f(x)=-(x-2)^2+1 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Ábrázoljuk az $f(x)=(x-2)^2+5 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Ábrázoljuk az $f(x)=-|x+2|+3 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani

19.

Ábrázoljuk az $f(x)=x^2-6x+13 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani

20.

Ábrázoljuk az $f(x)=|x+2|-3 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani

21.

Ábrázoljuk az $f(x)=x^2+2x+4 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani

22.

Ábrázoljuk az $f(x)=x^2-10x+20 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani

23.

Ábrázoljuk az $f(x)=\frac{1}{x-3} $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani

24.

Ábrázoljuk az $f(x)=\frac{1}{x+2}+5 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Függvények ábrázolása, függvénytranszformációk

Az x2 függvény grafikonja egy parabola.

A parabola csúcsa az origóban van.

Nézzük, mi történik akkor…

ha itt a zárójelen belül levonunk 3-at.

Ennek hatására a parabola eltolódik 3-mal...

A parabola csúcsa mindig oda tolódik,

ahol ez nulla.

Ez pedig akkor nulla, ha x=3.

Ebből tehát látjuk, hogy 3-mal tolódik el…

és azt is látjuk, hogy az x tengelyen.

Olyankor, amikor a 3-at így vonjuk le…

egészen más dolog történik.

Ilyenkor az y tengelyen tolódik 3-mal lefelé.

Az izgalmak növelése érdekében most nézzük, mi van akkor, ha ezt a két dolgot egyszerre csináljuk…

Kezdjük ezzel a résszel itt…

Aztán itt van még ez is.

Ezt úgy hívjuk, hogy belső függvény-transzformáció.

És úgy működik, hogy az x tengely mentén tolja el a függvény grafikonját.

A külső függvény-transzformáció a zárójelen kívül van itt.

Ez pedig az y tengelyen tolja el a függvényt.

Hogyha itt van például ez a függvény:

A belső transzformáció miatt az x tengely mentén eltolódik…

Egészen pontosan ide.

Az y tengely mentén pedig ide.

Most nézzük, mi a helyzet ezzel:

Ez pontosan ugyanúgy néz ki, mint az x2, csak éppen a kétszeresére nyújtva.

Az is megeshet, hogy a háromszorosára nyújtjuk…

Vagy éppen a mínusz kétszeresére.

És az is előfordulhat, hogy egyetlen függvényben minden eddigi rémség egyszerre van benne.

Végül itt jön még ez is:

De szenvedéseink tovább folytatódnak…

Néhány izgalmas kísérletet fogunk elvégezni a  függvény segítségével.

Ha a  elé írunk egy mínusz jelet, akkor ezzel a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.

Hogyha pedig belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.

És ha kedvünk van, tükrözhetjük a függvényt

mindkét tengelyre is.

Lássuk, hogyan néz ki például ez…

A gyökjel előtt nincsen mínuszjel…

Itt belül az x előtt viszont igen.

Na persze még el is van tolva…

Megnézzük, hogy ez itt belül mikor nulla…

Úgy néz ki, hogy 4-gyel tolódik el az x tengelyen.

2-vel pedig fölfelé.

És talán még egy utolsó nem árthat meg:

A parabolát is pontosan ugyanígy tudjuk tükrözni a tengelyekre.

Hogyha az x2 elé írjuk a mínusz jelet, akkor a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.

Hogyha pedig a zárójelen belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.

Csak sajnos ez nem igazán látszik…

mert a parabola az y tengelyre szimmetrikus.

Ezért is végeztük az iménti kísérleteinket a  függvényen.

De azért így a végén még nézzük meg ezt:

Hát így kezdetnek ennyit a függvény-transzformációkról.


Monotonitás, konvexitás, szélsőértékek, értékkészlet

A másodfokú függvény ábrázolása

Hatványfüggvények ábrázolása, függvények paritása

Ha az x különböző hatványait összeadjuk, akkor polinomokat kapunk.

Ez itt például az x5.

És, ha kivonjuk belőle azt, hogy x3…

akkor egy ilyen kanyargós polinomfüggvényt kapunk.

Íme, itt a polinomfüggvények általános alakja.

A polinomfüggvények viselkedése

A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.

És a legmagasabb fokú tag határozza meg a polinomfüggvény viselkedését.

Ha a legmagasabb fokú tag kitevője páros és a főegyüttható pozitív, akkor így néz ki a polinomfüggvény.

Vagy így.

Ha a főegyüttható negatív, akkor ilyen.

A páratlan fokú polinomfüggvények egészen máshogy néznek ki.

Ha a főegyüttható pozitív, akkor innen lentről mennek fölfelé…

Ha negatív, akkor pedig fentről mennek lefelé.

Egy páros fokú polinomfüggvény megteheti, hogy sohasem metszi az x tengelyt.

De egy páratlan fokúnak legalább egyszer biztosan metszenie kell.

Ezért van az, hogy egy páratlan fokú polinomfüggvénynek mindig van zérushelye.

Most pedig néhány művészi rajzot fogunk készíteni.

Kezdjük egy olyan harmadfokú polinomfüggvénnyel, aminek pontosan két zérushelye van.

Egy harmadfokú polinomfüggvénynek legalább egy zérushelye biztosan van.

És maximum három tud lenni.

De egy kis trükk segítségével azért megoldható a kettő is.

Művészi pályafutásunk következő darabja egy olyan negyedfokú polinomfüggvény, aminek három zérushelye van.

Egy negyedfokú polinomfüggvénynek lehet nulla zérushelye…

aztán lehet egy is.

És kettő is.

Sőt lehet négy is.

De négynél több már nem.

Egy n-edfokú polinomfüggvénynek mindig legfeljebb n darab zérushelye tud lenni.

Ha a fokszám páratlan, akkor 1-től n-ig bármennyi lehet.

Ha a fokszám páros, akkor pedig 0-tól n-ig bármennyi.

Most éppen azt szeretnénk, hogy három zérushely legyen.

És íme, itt is van.

Próbáljuk meg kideríteni, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.

Az első grafikon ez a típus.

Egy páratlan fokú polinomfüggvény.

A mi kis függvényünk viszont negyedfokú.

A másik kettő már jobbnak tűnik.

Az ilyen extra kanyarokhoz viszont…

itt még lennie kéne valaminek.

Vagy x3-nek,

vagy x2-nek,

vagy mindkettőnek.

De egyik sincs.

Így hát a nyertes a középső.

Nézzünk meg még egyet.

Döntsük el, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.

Az első grafikon egy páros fokú polinomfüggvényé.

Úgyhogy pápá első grafikon.

A másik kettő páratlan fokú.

Ha lenne itt még egy x…

akkor lehetne itt egy extra kanyar.

De nincs.


Négyzetgyök függvény ábrázolása

Abszolútérték függvény ábrázolása

Trükkösebb abszolútértékes függvények

Az e^x függvény ábrázolása

A logaritmus függvény ábrázolása

FELADAT | Másodfokú függvények

FELADAT | Gyökös függvények

FELADAT | Abszolútértékes függvények

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

Az 1/x függvény ábrázolása

Az exponenciális függvény ábrázolása

Függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet

Van itt ez a két halmaz…

Hogyha az egyik halmaz elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit…

Akkor kiderül, hogy milyen idő lesz a héten.

Az is megeshet, hogy több nap is ugyanolyan lesz az idő…

Ezzel nincsen semmi baj.

De ha szombathoz például két különböző elemet is rendelünk…

Na, akkor most esernyőt vigyünk vagy fürdőruhát?

Hát igen, ez így nem túl egyértelmű…

Egy hozzárendelést egyértelműnek nevezünk, ha minden elemhez pontosan egy másik elemet rendel hozzá.

Teljesen mindegy, hogy melyiket…

egyedül az a fontos, hogy csak egyet.

Ez a hozzárendelés most egyértelmű.

Az egyértelmű hozzárendeléseket úgy hívjuk, hogy függvény.

Az ilyen egyértelmű hozzárendeléseknek az a neve, hogy függvény.

Adott az  és  nem üres halmaz.

Ha az A halmaz bizonyos elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a B halmaz bizonyos elemeit, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Simán előfordulhat, hogy az A halmaznak csak néhány eleméhez rendeljük hozzá…

a B halmaznak néhány elemét.

És az sem okoz problémát, ha több elemhez is ugyanazt rendeljük.

Egyedül az lenne baj, ha egy elemhez rendelnénk hozzá több elemet.

ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

ÉRTÉKKÉSZLET

Az értelmezési tartomány azoknak az elemeknek a halmaza az A halmazban… amikhez a függvény hozzárendel B halmazbeli elemeket.

Az értékkészlet pedig azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban…

amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.

Az értelmezési tartományt a domain szó alapján, ami egyébként azt jelenti, hogy tartomány így jelöljük:

De a gyengébb idegzetűek kedvéért  szokás úgy is jelölni, hogy É.T.

Az értékkészlet jele pedig a range szó alapján, ami azt jelenti, hogy kiterjedés:

Ennek is van egy akadálymentesített jelölése, ami így szól, hogy É.K.

Egy hozzárendelést kölcsönösen egyértelműnek nevezünk, hogyha nem csak az egyik irányba egyértelmű…

hanem a másik irányba is.

Esetünkben ez most nem mondható el.

Az eső ugyanis pénteken és szombaton is esik.

Így aztán a visszafelé irányban az esőhöz a pénteket és a szombatot is hozzárendeljük.

Talán, ha pénteken sütne egy kicsit a nap…

az minden problémát megoldana.

Ez most egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés.

És most lássuk, mire is használhatnánk ezeket a függvényeket, jóra vagy rosszra…

Az  függvény kölcsönösen egyértelmű, ha  akkor .

Vagyis különbözö x-ekhez mindig különböző y-okat rendel.

A kölcsönösen egyértelmű függvények az injektív függvények.

Itt jön aztán egy másik izgalmas tulajdonság is.

Egy  függvény szürjektív, hogyha az egész B halmaz előáll képként, vagyis B minden eleme hozzá van rendelva valamelyik A-beli elemhez.

Hát ez most éppen nem mondható el, a napsütés ugyanis kimarad…

Hogyha mondjuk csütörtökön sütne egy kicsit a nap…

Na, az segítene a dolgon.

Ez a függvény így már szürjektív.

És így is szürjektív.

Hogyha ráadásul még injektív is lenne…

Ehhez egy kicsit változatosabb időjárásra lesz szükség…

Akkor ez egy injektív és szürjektív függvény, amit úgy hívunk, hogy bijektív.


Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim