Ha $B_1$, $B_2$ és így tovább $B_n$ teljes eseményrendszer, valamint $A$ tetszőleges esemény, akkor
\( P(A) = P(A \mid B_1 )P(B_1) + P(A \mid B_2) P(B_2)+ \dots + P(A \mid B_n) P(B_n) \)
A teljes valószínűség tétele azt mondja ki, hogy ha ismerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamennyi eseményére, akkor ebből az A esemény valószínűsége kiszámítható.
a) Egy király úgy szeretné izgalmasabbá tenni az elítéltjeinek kivégzését, hogy három ládikába helyez 25 arany és 25 ezüst érmét. A kivégzésre szánt rabnak bekötött szemmel húznia kell valamelyik ládából egy érmét. Ha aranyat húz, akkor nem végzik ki, de ha ezüstöt, akkor igen. A király a nagyobb izgalom kedvéért mindig máshogy osztja szét az érméket a ládákban. Egyik alkalommal éppen így:
A kérdés, hogy mekkora esélye van az elítéltnek a megmenkülésre.
b) Egy zöldséges három helyről szerez be almákat. Az első helyről a készlet 20%-át szerzi be, ezek mind jók. A második helyről a 30%-át és itt 5% romlott, de nem baj mert ezt is el tudja adni néhány vak öregasszonynak. A harmadik helyről a maradék 50%-ot szerzi be, és itt 15% romlott. Kiválasztunk egy almát, amiről kiderül, hogy romlott. Mekkora valószínűséggel származik a hármas termelőtől?
c) Egy alkatrészt három különböző helyről szerzünk be. Az első helyről, ahol a selejtek aránya 3% 12 darab származik. A második helyről 5 darab, és itt 4% selejt, míg a harmadik helyről 3 darab és itt 95% nem selejt. Kiválasztunk egy alkatrészt.
Mi a valószínűsége, hogy selejtes?
Ha selejtes, mekkora valószínűséggel származik az első helyről?
