Analízis 3 epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogy mik azok a Givens-forgatások. Megnézzük a Givens-forgatások mátrixait, és az is kiderül, hogy mire jók ezek a forgatások valójában. Nézünk néhány példát is Givens-foratásra, és előállítunk olyan Givens-forgatást, amely egy vektort egy másik vektorba forgat.
Az x és y tengelyek síkjában történő szögű forgatás mátrixát már ismerjük.
Éppen itt is van:
Hogyha van egy harmadik koordinátatengely is…
Az mindegy, a harmadik koordinátával a forgatás nem csinál semmit.
Sőt, tulajdonképpen lehet akárhány koordináta…
Egy négydimenziós térben az első két koordinátatengely síkjában történő forgatás mátrixa így néz ki:
És lehet akár ötödik vagy hatodik dimenzió is.
A forgatást pedig bármely két koordinátatengely síkjában végezhetjük…
Ha például a második és a harmadik tengely síkjában forgatunk…
Akkor a mátrix ilyen lesz:
Hogyha pedig a második és a negyedik tengely síkjában…
akkor ilyen.
Ezeket a forgatásokat, amelyeket két tetszőlegesen választott koordinátatengely síkjában végzünk Givens forgatásnak nevezzük.
Givens egyébként egy ember volt…
A Givens forgatások mátrixa tulajdonképpen egy egységmátrix…
Egykét apró módosítással.
Az i és j koordinátatengelyek síkjában történő Givens forgatás mátrixát úgy kapjuk…
Hogy arra a négy helyre, ahol az egységmátrix i-edik és j-edik sora és oszlopa metszi egymást…
Beírjuk szépen az alfa szögű forgatás mátrixának elemeit.
A Givens forgatásokat arra fogjuk használni, hogy mátrixok bizonyos elemeit kinullázzuk vele.
És hirtelen valamilyen különös vágyat érzünk arra, hogy ez az elem itt nulla legyen.
A Givens forgatásokkal mindez lehetséges…
Az első két koordinátatengely síkjában fogunk forgatni.
Ez pedig itt a forgatás mátrixa:
Egy olyan forgatás kéne, ami ezt a vektort…
szépen elforgatja az x tengely vonalába…
A forgatás szöge .
De van itt még egy kis gond.
A forgatás iránya.
Nekünk éppen az ellenkező irány kéne.
Mondjuk, ezen könnyen lehet segíteni…
Az szöget kicseréljük az ellentettjére, és a forgatás iránya máris megváltozik.
Végül vannak itt ezek az azonosságok…
Az teljesen mindegy, hogy mekkora az szög…
Berakjuk szépen ezeket ide a mátrixba.
És meg is vagyunk.
Hogyha ezt a mátrixot megszorozzuk az A mátrixszal…
Akkor minden álmunk valóra válik.
Ezzel a módszerrel tovább tudjuk folytatni a kinullázást, és az A mátrixot felső háromszögmátrixszá tudjuk alakítani.
Bizonyos mátrixok esetében ez az eljárás a leghatékonyabb különböző mátrixfelbontások végrehajtásához.