Analízis 3 képsor tartalma:

Elmeséljük mi az Egyenletes eloszlás, az Exponenciális eloszlás és a Normális eloszlás és azt is, hogy mikor melyiket kell használni. Mindezt egyszerű és nagyon szemléletes példákon keresztül. Nevezetes folytonos eloszlások, Folytonos valószínűségi változó, Exponenciális eloszlás, Normális eloszlás, Egyenletes eloszlás, Várható érték, Átlag, Szórás, Valószínűségi változó, Sűrűségfüggvény, Eloszlásfüggvény.

A képsor tartalma

Folytonos valószínűségi változók többnyire időt, távolságot, meg olyanokat mérnek, hogy hány kiló, hány liter, stb. Természetükből adódóan itt nincs értelme olyat kérdezni, hogy mekkora a valószínűség, mert minden ilyen valószínűség nulla. Ez könnyen igazolható, ha mondjuk ellátogatunk egy olyan kocsmába, ahol sört csapolnak. Vagy több sört fogunk kapni, vagy általában inkább kevesebbet, de, hogy pont annyit nem, amennyi elő van írva, az biztos. Nos nem ez a legegzaktabb magyarázat erre a jelenségre, de jegyezzük meg, hogy folytonos valószínűségi változók esetén csak intervallumokat van értelme kérdezni, hogy vagy vagy

A valószínűségeket az eloszlásfüggvény vagy a sűrűségfüggvény segítségével tudjuk kiszámolni, és többnyire mi döntjük el, hogy melyiket használjuk. Azok, akik leküzdhetetlen vágyat éreznek az integrálás iránt, nos ők használják bátran a sűrűségfüggvényt, de szenvedéseink mértéke kisebb, ha az eloszlásfüggvényt használjuk.

1. lépés, hogy a valószínűséget átalakítjuk eloszlásfüggvényre, a 2. lépés pedig az, hogy megkeressük a konkrét eloszlásfüggvényt. EGYENLETES ELOSZLÁS

Valaki egy telefonhívást vár, ami 2 és 7 óra között érkezik, minden időpontban ugyanakkora valószínűséggel. Mekkora a valószínűsége, hogy 4ig hívják?

X=hány óra van

Az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye

most a=10 és b=15

Az, hogy délig hívják:

EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS

Egy bankba általában 12 ügyfél érkezik óránként. Mekkora valószínűséggel telik el 10 perc úgy, hogy nem jön senki?

X=eltelt idő, perc

0 10 perc

Ha 10 percig nem jön senki, akkor a két ügyfél között eltelt idő 10 percnél több.

, tehát a

valószínűséget szeretnénk kiszámolni.

Várhatóan 12 ügyfél érkezik óránként, ezért az ügyfelek közt eltelt idő 60/12=5 perc,

vagyis a várható érték

perc és így

Az exponenciális eloszlás eloszlásfüggvénye

most

Az, hogy 10 percig nem jön senki:

NORMÁLIS ELOSZLÁS

Egy bankban az ügyfelek napi száma normális eloszlású, 560 fő várható értékkel és 40 fő szórással.

Ez azt jelenti, hogy az esetek nagy részében az ügyfelek száma napi 560 fő körül van, de előfordulhat, hogy azért több, vagy pedig, hogy kevesebb.

Az viszont már ritka, hogy sokkal több vagy sokkal kevesebb.

A normális eloszlás sűrűségfüggvénye

Ez egy nagyon remek függvény, csak sajnos van vele egy kis gond.

Nem tudjuk integrálni. Úgy értem nem ma, hanem egyáltalán.

Nem baj, mert a valószínűségeket eddig sem a sűrűségfüggvénnyel, hanem az eloszlásfüggvénnyel számoltuk ki.

Csak sajnos van egy kis gond. Eloszlásfüggvény ugyanis nincs.

Ezt a kis kellemetlenséget úgy tudjuk kiiktatni, hogy bevezetünk egy speciális normális eloszlást, aminek a várható értéke nulla, a szórása pedig egy.

Ezt standard normális eloszlásnak nevezzük.

A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye

eloszlásfüggvénye pedig egy táblázat formájában létező függvény, aminek jele .

Lássuk a táblázatot.

Nos mindjárt két táblázat is van. De aggodalomra semmi ok, a két táblázat lényegében ugyanaz, mindjárt meglátjuk.

A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye az úgynevezett Gauss-görbe.

Az első táblázat az eloszlásfüggvény értékeit tartalmazza, vagyis azt, hogy mekkora a görbe alatti terület mínusz végtelentől z-ig.

Ha z=0 akkor ez pont a fele a teljes területnek.

Mivel a sűrűségfüggvények görbe alatti területe 1, ezért a fele 0.5

Ha z egy picit nagyobb, mint 0,

akkor a terület is egy picit nagyobb.

Itt jön aztán a másik táblázat, ami csak abban különbözik az előzőtől, hogy a területek 0-tól kezdődnek.

A területek így éppen 0.5-el kisebbek, mint a másikban.

Teljesen mindegy, hogy egy feladat megoldásánál melyik táblázatot használjuk, de ha választani lehet, inkább az elsőt érdemes.

Végül van itt még egy dolog.

tehát a rajzon ez a terület.

pedig ez a terület.

Ha megfigyeljük, ezek éppen a teljes területté egészítik ki egymást.

.

Hát ez remek, és akkor most folytassuk a feladat megoldását.

Most egy olyan normális eloszlásunk van, ahol a várható érték 560 a szórás pedig 40.

Annak valószínűsége, hogy egy adott napon az ügyfelek száma 616-nál kevesebb:

Ha az első táblázatot használjuk, akkor éppen a keresett valószínűséget kapjuk.

Ha a másodikat, akkor még 0.5-öt hozzá kell adni.

Nézzünk meg még egy ilyet.

Mekkora valószínűséggel lesz az ügyfelek száma 480-nál kevesebb?

A folytonos valószínűségi változók többnyire időt, távolságot, meg olyanokat mérnek, hogy hány kiló, hány liter, stb.

Természetükből adódóan itt nincs értelme olyat kérdezni, hogy mekkora a P(X=a) valószínűség, mert minden ilyen valószínűség nulla.

Ez könnyen igazolható, ha mondjuk ellátogatunk egy olyan kocsmába, ahol sört csapolnak. Vagy több sört fogunk kapni, vagy általában inkább kevesebbet, de, hogy pont annyit nem, amennyi elő van írva, az biztos. Nos nem ez a legegzaktabb magyarázat erre a jelenségre, de jegyezzük meg, hogy folytonos valószínűségi változók esetén csak intervallumokat van értelme kérdezni, hogy P(X<a) vagy P(X>a) vagy P(a<X<b)

A valószínűségeket az eloszlásfüggvény vagy a sűrűségfüggvény segítségével tudjuk kiszámolni, és többnyire mi döntjük el, hogy melyiket használjuk. Azok, akik leküzdhetetlen vágyat éreznek az integrálás iránt, nos ők használják bátran a sűrűségfüggvényt, de szenvedéseink mértéke kisebb, ha az eloszlásfüggvényt használjuk.

1. lépés, hogy a valószínűséget átalakítjuk eloszlásfüggvényre, a 2. lépés pedig az, hogy megkeressük a konkrét eloszlásfüggvényt.

 

Exponenciális, Normális és Egyenletes eloszlások

03
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Elmeséljük mi az Egyenletes eloszlás, az Exponenciális eloszlás és a Normális eloszlás és azt is, hogy mikor melyiket kell használni. Mindezt egyszerű és nagyon szemléletes példákon keresztül. Nevezetes folytonos eloszlások, Folytonos valószínűségi változó, Exponenciális eloszlás, Normális eloszlás, Egyenletes eloszlás, Várható érték, Átlag, Szórás, Valószínűségi változó, Sűrűségfüggvény, Eloszlásfüggvény.

Itt jön egy fantasztikus
Analízis 3 képsor.
Végül is miért ne néznél meg
még egy képsort?

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!