A Green-tételek

Egy vektormező zárt görbén vett vonalintegrálja azt írja le, hogy hogyan örvénylik a vektormező a zárt görbén.

Ezen a zárt görbén például éppen így.

A vektormező örvényléséről szól a rotáció is.

A rotáció egy adott pontban mondja meg az örvénylés nagyságát, a zárt görbén vett integrál pedig a teljes görbére.

Ha a görbét elkezdjük zsugorítani…

akkor, ahogy a görbe hossza tart nullához…

éppen meg kell kapnunk a pontbeli örvénylést, a rotációt.

De van valami, ami még ennél is érdekesebb.

A sok kis rotáció együttesen képes kiadni a zárt görbe örvénylését.

A zárt görbe örvénylését megkaphatjuk úgy…

ha a görbe által határolt tartományon…

a sok kis örvénylést összeadjuk.

Ezt a tétel hívjuk Green-tételnek.

Van egy másik Green-tétel is, de előbb nézzünk erre egy példát.

Itt ez a vektormező:

És számoljuk ki az integrálját ezen a zárt görbén.

Ez egy nagyon kellemetlen görbementi integrálás…

lenne, ha nem volna itt nekünk a Green-tétel.

A Green-tétel nagyon egyszerűvé teszi az életünket.

Ezt a kettősintegrált kell csak kiszámolni:

Apró gubancok még adódhatnak ugyan ezzel a Green-tétellel…

De aggodalomra semmi ok, nagy veszélyben azért nem vagyunk.

Integráljuk például ezt a vektormezőt ezen a zárt görbén.

Íme, a vektormező:

A Green-tétel szerint pedig a görbementi integrál kiszámolásához elegendő a rotációt integrálni….

ezen a tartományon.

És most jönnek az ígért bonyodalmak.

Ha a görbe irányítását megfordítjuk…

attól még ez az integrál ugyanannyi marad.

Ez azonban probléma, mert a vektormező görbementi integrálja ennek hatására előjelet kellene, hogy váltson.

A Green-tétel helyesen tehát így szól.

Ha a zárt görbe pozitív irányban halad, akkor az integrált pozitív előjellel kell venni…

Ha pedig negatív irányban halad a görbe, akkor negatív előjellel.

A példánkban eredetileg így haladt a görbe.

Ezért aztán a megoldás a mínuszos lesz.

A Green-tétel tehát abban az esetben működik, ha a zárt görbe irányítása pozitív.

Ha a görbe irányítása negatív, nos végülis akkor is működik, csak oda kell biggyeszteni egy mínuszjelet.

Hát ezt tudja a Green-tétel.

Legalábbis az egyik…

Mert van egy másik is.

A másik Green-tétel arról szól, hogy ha az elkerített tartományon integráljuk a vektormező divergenciáját…

Akkor valami olyat kapunk, amit korábban a felületi integrálnál már láthattunk.

Ez a zárt görbére vonatkozó fluxus.

(zárt görbén vett örvénylés)

(zárt görbén vett fluxus)

Az első Green-tétel azt írja le a rotáció segítségével, hogy mekkora egy vektormező örvénylése a zárt görbén.

A második Green-tétel pedig azt írja le a divergencia segítségével, hogy mekkora egy vektormező fluxusa a zárt görbén.

Mindez persze sokkal izgalmasabb térben…