A divergencia-tétel

Itt egy vektormező.

És egy zárt göbe.

Az első Green-tétel azt mondja, hogy a vektormező örvénylése egy zárt görbén kiszámolható úgy is…

ha a görbe által határolt tartományon integráljuk a vektormező rotációját.

Az második Green-tétel pedig azt mondja, hogy a vektormező fluxusa egy zárt görbén kiszámolható úgy is…

ha a görbe által határolt tartományon integráljuk a vektormező divergenciáját.

Most pedig lássuk, mi a helyzet estben.

Az első Green-tétel térbeli megfelelője azt mondja, hogy a vektormező örvénylése egy zárt görbén kiszámolható úgy is…

ha a görbe által határolt S felületen integráljuk a vektormező rotációját.

Ráadásul teljesen mindegy, hogy melyik felületen.

Az első Green-tétel térbeli változatát Stokes-tételnek nevezzük.

A második Green-tétel térbeli változata azt mondja…

hogy egy vektormező integrálja az S kifelé irányított zárt felületen…

egyenlő a divergencia integráljával a felület által határolt D tartományon.

A vektormező integrálja ennek a kockának a felületén azt mondja meg, hogy mennyi többlet levegő áramlik ki a kocka belsejéből.

Nos, pontosan annyi, amennyi ott belül keletkezik.

Vagyis amennyi a kocka belsejében lévő divergenciák összessége.

Ezt a tételt divergencia-tételnek, vagy másként Gauss-Osztrogradszkij-tételnek nevezzük.

Maradjunk a divergencia-tétel elnevezésnél…

Divergencia-tétel

Ha S kifelé irányított zárt felület, és D a felület által határolt tartomány, akkor:

Nézzünk erre egy példát.

Van itt ez a vektormező:

És nézzük, mit tud a divergencia-tétel.

Integráljuk a vektormezőt ennek a kockának a felületén.

Aztán pedig integráljuk a vektormező divergenciáját a kocka belsejében.

A divergencia-tétel szerint a két integrálásnak meg kell egyeznie.

A kocka felületén integrálni sajnos egy kicsit időigényes.

Integrálnunk kell külön-külön mind a hat oldallapon.

Kezdjük, mondjuk ezzel.

A felület paraméterezésébe nem érdemes túl sok energiát fektetni.

Ez jó is lesz:

Most jön az a rész, hogy a felület koordináta-függvényeit behelyettesítjük a vektormező x, y és z koordinátáinak a helyére.

Túl nagy változásra ne számítsunk.

A felület normálvektorát most ránézésre meg tudjuk mondani.

Na persze, ha valaki tudományosan is szeretné…

Végül elvégezzük ezt a kis skaláris szorzatot…

És kész is.

Csodás. Ezzel meg is vagyunk a felület hatodával…

A helyzet azért nem teljesen reménytelen.

Ha most például ezen a felületen kell integrálnunk…

akkor minden pontosan ugyanúgy fog történni.

Leszámítva néhány apróságot.

A felület csak annyiban lesz más, hogy a z koordináta ezúttal nulla.

A normálvektor pedig pontosan ugyanaz, mint az előbb.

Vagy mégse?

A divergencia-tétel úgy szól, hogy a felület kifelé van irányítva.

Vagyis a felület normálvektorai mindig kifelé mutatnak.

Úgyhogy ezt most szépen megfordítjuk.

Ezek a változások két dolgot jelentenek.

Egyrészt z=0 miatt ez most nulla lesz.

Másrészt bejön egy mínuszegyes szorzó a normálvektor megfordítása miatt.

Nézzük, hol is tartunk a számolásban.

Van itt ez a 64/5, ami beáramlik a kockába…

és azért negatív, mert a felület irányításával ellentétesen.

Aztán itt fölül ki is áramlik.

És van ez a 8, ami a kocka belsejében keletkezett…

A kocka tetején pedig kiáramlik.

Mindezt a kocka többi oldalára is hasonlóan izgalmas körülmények között tudjuk kiszámolni.

Ez tehát a vektormező felületi integrálja.

A divergencia-tétel arról szól, hogy mindezt sokkal egyszerűbben is megkaphatjuk.

Mégpedig így.

Integrálnunk kell a kockán a vektormező divergenciáját.

Hát erről szól a divergencia-tétel.